無限維模李超代數H和SHO的階化模

張華雁,徐曉寧

(1.遼寧大學 數學院，沈陽 110036；2.聊城頤中外國語學校，山東 聊城 252000)

0 引言

李代數是于19世紀由挪威數學家M.S.Lie創立李群的時候引進的數學概念。1974年Wess和Zumino為了建立物理學中相對的費米子和玻色子的統一理論而提出了超對稱性，將普通時空滿足的Poincare李代數(即非齊次Lorentz代數)擴充為超Poincare李代數。自此李超代數的研究便有了迅速發展。根據基域的不同，將李超代數分為特征為零的域上的李超代數和素特征域上的李超代數，即非模李超代數和模李超代數。

文獻[1]研究了δ-李三系的廣義導子。V.G.Kac在1977年完成了特征為零的域上有限維單李超代數的分類[2]。1998年，V.G.Kac將特征為零的域上無限維單的線性緊致李超代數進行了分類[3]。目前非模李超代數的研究已經取得了系統的研究結果[2-8]，但是模李超代數的研究結果尚少。1992年D.Leites，Y.Kochetkov和V.M.Petrogradski開始探究模李超代數[9-10]。Petrogradski還引入了(p,2p)-結構，限制型李超代數由此產生。1996年Farnsteiner又對限制型李超代數及Frobenius擴張做了進一步研究[11-12]。1997年，張永正構造出了4類Cartan型模李超代數W，S，H和K[13]。接著Cartan型模李超代數HO，SHO，KO和SKO也被構造出來[14-17]。同時，這八類單模李超代數的表示的課題應運而生[18-22,24-25]，本研究主要探究無限維Cartan型模李超代數H，SHO的階化模。

1 基本概念

在本研究中總設基域F的特征p>2，為非負整數集，m表示中任意m個整數組成的集合，Z2表示整數模2的剩余類環。設U(m)是具有生成元集{xα|α∈m}的F上的除冪代數。用Λ(n)表示具有n個不定元xm+1,…，xs的外代數，其中s=m+n。令Λ(m,n)=U(m)?Λ(n)。顯然，U(m)的平凡Z2-階化與Λ(n)的自然Z2-階化誘導了Λ(m,n)的一個Z2-階化，使得Λ(m,n)成為一個超代數。設f∈U(m)，g∈Λ(n)，簡記Λ(m,n)中的元素f?g為fg。于是在Λ(m,n)上的乘法運算可定義為

Di(x(α)xu)={x(α-ei)xu(i∈Y0),

x(α)·(?xu/?xi) (i∈Y1),

[aDi,dDj]=aDi(b)Dj-(-1)d(dDi)d(bDj)bDj(a)Di，

其中：a,b∈Λ(m,n)；i,j∈Y；Di,Dj∈DerΛ(m,n)。

設d=(d1,…,dm)∈m，記中元素xm+1,…,xm+n用X表示，Xi1,…，ir表示X刪去因子xi1,…,xir所得到的元素。令θ=〈i1,…，ir〉，xθ=xi1…xir。首先定義Λ(m,n)上的一個Z-階化為其中Λ(m,n)i=spanF{xαxu‖α|+|u|=i,α∈m,u∈B(n)}，同時這個Z-階化可以誘導出W(m,n)的一個Z-階化：其中

2 混合積及H的階化模

由于d(Eij)=τ(k)+τ(j)，所以

[Ekj,Eil]=Ekl-(-1)τ(k)+τ(j))(τ(i)+τ(l))Eij。

引理2.1[23]159若A∈W(m,n)θ，B∈W(m,n)μ，θ,μ∈Z2，設C=[A,B]，則有

下面介紹李超代數中的伸張。

[a?x,b?y]=(-1)d(x)d(b)ab?[x,y],a,b∈Λ(m,n),x,y∈pl(m,n),

(A?1)(a?x)=A(a)?x,a∈Λ(m,n),x∈pl(m,n),

因此[A,B]∈Ω，則Ω是W(m,n)的子代數。仿照文獻[23]我們稱Ω為在W(m,n)中的P-伸張。當P為單位陣時我們稱Ω為L在W(m,n)中的伸張。

顯然W(m,n)就是pl(m,n)在W(m,n)中的伸張。

設ρ是pl(m,n)的子代數L(P)在Z2-階化空間V上的表示，則將ρ擴充成李超代數Λ(m,n)?L(P)在Λ(m,n)?V空間上的表示ρ1。

ρ1(a?x)(b?v)=(-1)d(x)d(b)ab?ρ(x)(v) (a,b∈Λ(m,n),x∈L,v∈V)。

定義李超代數H(m,n)，要求m為偶數，設m=2k，令

定義線性映射DH∶Λ(m,n)→W(m,n)使得對?f∈hg(Λ(m,n))有

其中：

fi=σ(i′)(-1)τ(i′)d(f)Di′(f),?f∈Y。

(1)

顯然，d(fi)=d(f)+τ(i′),?i∈Y，由式(1)可得

Di(fj′)=σ(i)σ(j)(-1)τ(i)τ(j)+(τ(i)+(τ(j))θDi(fi′)=0,

其中i,j∈Y。令H(m,n)=spanF{DH(f)|f∈hgΛ(m,n)}。可證得H(m,n)是W(m,n)的無限維子代數。

則I是pl(m,n)的一個子代數。

置

Y1={Eij′-σ(i)σ(j)Eit′|1≤i≤j≤m}，Y2={Eij+Eji|m+1≤i≤j≤s}，

Y3={Eij-σ(i)Eji′|1≤i≤m,m+1≤j≤s}，

引理2.4[23]164對于i,j∈Y,定義ψ(DH(xixj))=σ(j)(-1)τ(j)Tij′是一個線性算子。則ψ是H(m,n)0到L的李超代數同構。

引理2.5[23]165H(m,n)是L在W(m,n)上的P-伸張。

由引理2.5可得下述推論：

它的素根系為

L={Λ1-Λ2},…，(Λq-1-Λq),(Λq-1+Λq),(Λn+1-Λn+2),…，(Λn+r-1-Λn+r),(Λn+r-Λ1},

其中:Λi(i=1,2,…，q,n+1,…，n+r)是〈Ell,…，Ess〉的線性函數，使得Λi(Ejj)=δij。其基本權為

(2)

令E1=E1t-Et′1′，E2=E1t′-Et1′，E3=E1t′-Et′1，E4=E1t-Et′1′，通過計算可得以下等式

(3)

z=(-1)n2X?ρ(P(E1t-Et1)P-1)ρ(P(E1′t′-Et′1′)P-1)vλ-
(-1)n2X?ρ(P(E11′-E1′1)P-1)ρ(P(Et′t′-Et′t′)P-1)vλ+
(-1)n2X?ρ(P(E1t′-Et′1)P-1)ρ(P(Et1′-E1′t)P-1)vλ。

(4)

(-1)n2X?(μ2b1btvλ)=(-1)n2bt(1+b1)X?vλ。

(5)

首先證明

(6)

所以有

由以上定理2.8和定理2.9可得以下定理。

3 SHO的階化模

HO(n,n)={TH(F)|f∈Λ(n,n)}，

這里α∈Z2，可得HO(m,n)是一個單李超代數。令HO(m,n)i=spanF{xαxu‖α|+|u|=i+2,α∈n,u∈β(n)}，則是一個Z-階化的李超代數。

對i∈Y，定義線性算子div(f(Di))=(-1)τ(i)d(f)Di(f)，這里fDi∈W(m,n)，則div是W(n,n)的超導子。置

S′(n,n)={fDi∈W(n,n)|div(fDi)=0}。

則S′(n,n)是W(n,n)是的一個Z-階化超導算子，并且其導代數是一個單李超代數。定義

SHO′(n,n)=HO(n,n)∩S′(n,n),

SHO(n,n)=[SHO′(n,n),SHO′(n,n)]。

SHO(n,n)i=HO(n,n)i∩SHO(n,n)。

令

SJ1={Eij-Ej′i′,Eii-Ei′i′-Ell+El′l′|i,j,l∈Y0,i≠j}，

SJ2={Eij+Ej′i′|i∈Y0,j∈Y1},SJ3={Eij-Ej′i′|i∈Y1,j∈Y0},

則SJ1∪SJ2∪SJ3是SL的基。

引理2.13 對任意的i,j∈Y，定義線性映射ψ(xiDj)=Eij。則ψ是SHO0到SL的同構映射。

推論2.14HO∩S′是SL在W上的P-伸張。

而Eij-(-1)τ(i)τ(j′)+τ(j′)Eji′∈SL,故有

因為Eij′?SL，因此有

對i=j(其中i，j∈Y0),有Eij′∈SL。則-Di(fi′)+(-1)τ(i)Di(fi′)=-Di(fi′)+Di(fi′)=0。綜上可得，Ω=SHO′。

易知SL的標準Cartan子代數為

SH=spanF{Eii-Ei′i′-Enn+En′n′|i∈Y0}，

SL的素根系為

SL={(Λi-Λi+1),(Λi+Λi+1)-(Λk+Λk+1),-(Λk-Λk+1)}，

其中：1≤i≤n-1，n+1≤k≤2n-1，Λi(Ejj)=δij。其基本權為

令A=TH(x2εiXi′)，則