基尼相關(guān)在有色噪聲中的性能分析

廣東工業(yè)大學(xué) 黃海深 徐維超

研究已知信號和混有噪聲的接收信號之間的相關(guān)性問題是統(tǒng)計(jì)信號處理的一個(gè)重要研究課題。由于實(shí)際工作環(huán)境中，信號混有的噪聲大多以脈沖噪聲為主，因此信號檢測器需要具有抗脈沖干擾性，同時(shí)由于現(xiàn)有文獻(xiàn)對有色噪聲下的相關(guān)性分析比較少，為了拓寬這方面的理論分析，本文基于帶脈沖干擾的有色噪聲下，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在此模型下對比了基尼相關(guān)器（GC）與其他幾種相關(guān)系數(shù)的性能，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了基尼相關(guān)的性能優(yōu)勢以及適用場景，對深入了解基尼相關(guān)具有深遠(yuǎn)意義。

相關(guān)分析始于十九世紀(jì)八十年代，并逐漸發(fā)展為研究課題，用以探討隨機(jī)變量之間統(tǒng)計(jì)關(guān)系。時(shí)至今日，相關(guān)分析仍然是統(tǒng)計(jì)信號處理領(lǐng)域中的研究難點(diǎn)與重點(diǎn)，相關(guān)系數(shù)按照特性來分主要有兩類，正相關(guān)關(guān)系和負(fù)相關(guān)關(guān)系，數(shù)值上都表征了兩個(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱程度，正相關(guān)關(guān)系指的是當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量之間，其中一個(gè)隨機(jī)變量數(shù)值變化與另一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)值變化方向是一致的，也就是同增同減；反之，負(fù)相關(guān)關(guān)系指的是兩個(gè)隨機(jī)變量在數(shù)值變化時(shí)遵循一增一減的原則。根據(jù)目前的文獻(xiàn)中，常用的相關(guān)系數(shù)有下文描述的幾種，分別是皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)（Pearson’s Product Moment Correlation Coefficient，PPMCC）、肯德爾相關(guān)系數(shù)（Kendall’s tau，KT）和斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)（Spearman’s rho，SR）。這三種相關(guān)系數(shù)在目前的學(xué)術(shù)領(lǐng)域和實(shí)際應(yīng)用中使用最寬泛。其中PPMCC在各領(lǐng)域的理論研究和實(shí)際應(yīng)用發(fā)揮著標(biāo)桿的作用。回歸到我們目前的現(xiàn)實(shí)生活中，常用的電子設(shè)備例如雷達(dá)等在通信過程中時(shí)常會受到脈沖噪聲的干擾，因此在做信號處理的時(shí)候由于數(shù)據(jù)伴隨一些極大的異常值，常常會災(zāi)難性地破壞設(shè)備的精確度，在以往的研究資料中，我們可以得知，PPMCC對脈沖干擾噪聲的抗性很差，即使待檢測信號中脈沖干擾的成分極其少，也會造成PPMCC的檢測性能發(fā)生急劇的惡化，嚴(yán)重時(shí)可導(dǎo)致其失效。因此PPMCC對脈沖的干擾不具備相對的穩(wěn)健性。可以通過研究材料得知，當(dāng)出現(xiàn)以下情況，PPMCC性能會被急劇影響：已知實(shí)際數(shù)據(jù)的觀測值，但是混有極少量的脈沖噪聲，即使大部分?jǐn)?shù)據(jù)服從二元高斯分布。另外，若不知數(shù)據(jù)的觀測值，僅知道數(shù)據(jù)的秩次同樣會使PPMCC失去原有的性能。這種時(shí)候，SR和KT就表現(xiàn)出良好的性能，其對于脈沖噪聲具備一定的穩(wěn)健性。根據(jù)參考的資料，我們可以得知SR和KT的方差和均值的數(shù)學(xué)表達(dá)式已經(jīng)被推導(dǎo)出來了，即使這兩個(gè)相關(guān)系數(shù)在二元高斯模型下的性能比不上PPMCC，且目前還沒求得其概率密度函數(shù)，但基于這兩個(gè)相關(guān)系數(shù)的原理，在實(shí)際研究的時(shí)候，SR和KT的定義式只用到了數(shù)據(jù)的秩次，這說明了他們在脈沖噪聲下比PPMCC具備更好的穩(wěn)健性。在研究相關(guān)系數(shù)的領(lǐng)域上，這三種經(jīng)典的相關(guān)系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到實(shí)際應(yīng)用和理論研究的需要，因此，學(xué)者們也拓寬了研究范圍，提出了一些其他相關(guān)系數(shù)。如本文主要論述的基尼相關(guān)（Gini Correlation,GC），GC是以色列經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出的相關(guān)系數(shù)，目前在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域獲得了比較廣泛的應(yīng)用，并且具備向社會科學(xué)、生物學(xué)和信號處理等應(yīng)用領(lǐng)域延伸的趨勢。在徐維超及其合作者的努力研究之下，基于二元高斯樣本，GC的均值和方差的數(shù)學(xué)表達(dá)式也已經(jīng)獲得了證明。本文在基于脈沖干擾性的有色噪聲下，研究GC的性能。

基于雷達(dá)場景下，對觀測信號和發(fā)射信號的分析是比較常見的問題，從觀測信號中獲取需要的信息尤為重要。觀測信號往往包含發(fā)射信號以及環(huán)境的噪聲，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上，可以將其進(jìn)行建模如下：

其中y[i]表示發(fā)射信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式，λ為信號衰減系數(shù)，Z和X[i]分別為噪聲以及觀測信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

噪聲往往帶有脈沖干擾性，在本文中，有色噪聲可以將其分布定義為如下：

為了衡量幾個(gè)相關(guān)系數(shù)在有色噪聲下的性能，本文針對效度進(jìn)行了對比，效度定義如下：

圖1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

從實(shí)驗(yàn)圖中可以看出，即使有色噪聲中脈沖比例很小，匹配濾波器（MF）的效度也很很小，說明其結(jié)果的性能很差，相較之下，其他三個(gè)相關(guān)系數(shù)的效度比較大，都表現(xiàn)了對帶脈沖的有色噪聲的較好性能。尤其GC的效度表現(xiàn)最好。

綜上所述，可以在實(shí)驗(yàn)中直觀地分析到MF、SR、KT和GC四種相關(guān)系數(shù)在有色噪聲下的性能指標(biāo)，因此，本文得出如下的結(jié)論：

（1）在理論上純二元高斯分布的樣本下，目前學(xué)者們的理論成果顯示了MF是性能最優(yōu)的，但是如果數(shù)據(jù)參雜脈沖噪聲時(shí)，無論脈沖噪聲的占有比例多少，都會導(dǎo)致MF基本失效。

（2）SR、KT和GC在有色噪聲下都具有良好的性能，帶脈沖噪聲時(shí)，GC在實(shí)驗(yàn)中性能表現(xiàn)最優(yōu)。