基尼相關在有色噪聲中的性能分析

廣東工業(yè)大學 黃海深 徐維超

研究已知信號和混有噪聲的接收信號之間的相關性問題是統(tǒng)計信號處理的一個重要研究課題。由于實際工作環(huán)境中，信號混有的噪聲大多以脈沖噪聲為主，因此信號檢測器需要具有抗脈沖干擾性，同時由于現(xiàn)有文獻對有色噪聲下的相關性分析比較少，為了拓寬這方面的理論分析，本文基于帶脈沖干擾的有色噪聲下，建立了相應的數(shù)學模型，在此模型下對比了基尼相關器（GC）與其他幾種相關系數(shù)的性能，通過實驗結果，驗證了基尼相關的性能優(yōu)勢以及適用場景，對深入了解基尼相關具有深遠意義。

相關分析始于十九世紀八十年代，并逐漸發(fā)展為研究課題，用以探討隨機變量之間統(tǒng)計關系。時至今日，相關分析仍然是統(tǒng)計信號處理領域中的研究難點與重點，相關系數(shù)按照特性來分主要有兩類，正相關關系和負相關關系，數(shù)值上都表征了兩個隨機變量之間相關關系的強弱程度，正相關關系指的是當兩個隨機變量之間，其中一個隨機變量數(shù)值變化與另一個隨機變量的數(shù)值變化方向是一致的，也就是同增同減；反之，負相關關系指的是兩個隨機變量在數(shù)值變化時遵循一增一減的原則。根據(jù)目前的文獻中，常用的相關系數(shù)有下文描述的幾種，分別是皮爾遜積矩相關系數(shù)（Pearson’s Product Moment Correlation Coefficient，PPMCC）、肯德爾相關系數(shù)（Kendall’s tau，KT）和斯皮爾曼相關系數(shù)（Spearman’s rho，SR）。這三種相關系數(shù)在目前的學術領域和實際應用中使用最寬泛。其中PPMCC在各領域的理論研究和實際應用發(fā)揮著標桿的作用。回歸到我們目前的現(xiàn)實生活中，常用的電子設備例如雷達等在通信過程中時常會受到脈沖噪聲的干擾，因此在做信號處理的時候由于數(shù)據(jù)伴隨一些極大的異常值，常常會災難性地破壞設備的精確度，在以往的研究資料中，我們可以得知，PPMCC對脈沖干擾噪聲的抗性很差，即使待檢測信號中脈沖干擾的成分極其少，也會造成PPMCC的檢測性能發(fā)生急劇的惡化，嚴重時可導致其失效。因此PPMCC對脈沖的干擾不具備相對的穩(wěn)健性。可以通過研究材料得知，當出現(xiàn)以下情況，PPMCC性能會被急劇影響：已知實際數(shù)據(jù)的觀測值，但是混有極少量的脈沖噪聲，即使大部分數(shù)據(jù)服從二元高斯分布。另外，若不知數(shù)據(jù)的觀測值，僅知道數(shù)據(jù)的秩次同樣會使PPMCC失去原有的性能。這種時候，SR和KT就表現(xiàn)出良好的性能，其對于脈沖噪聲具備一定的穩(wěn)健性。根據(jù)參考的資料，我們可以得知SR和KT的方差和均值的數(shù)學表達式已經被推導出來了，即使這兩個相關系數(shù)在二元高斯模型下的性能比不上PPMCC，且目前還沒求得其概率密度函數(shù)，但基于這兩個相關系數(shù)的原理，在實際研究的時候，SR和KT的定義式只用到了數(shù)據(jù)的秩次，這說明了他們在脈沖噪聲下比PPMCC具備更好的穩(wěn)健性。在研究相關系數(shù)的領域上，這三種經典的相關系數(shù)遠遠達不到實際應用和理論研究的需要，因此，學者們也拓寬了研究范圍，提出了一些其他相關系數(shù)。如本文主要論述的基尼相關（Gini Correlation,GC），GC是以色列經濟學家提出的相關系數(shù)，目前在經濟學領域獲得了比較廣泛的應用，并且具備向社會科學、生物學和信號處理等應用領域延伸的趨勢。在徐維超及其合作者的努力研究之下，基于二元高斯樣本，GC的均值和方差的數(shù)學表達式也已經獲得了證明。本文在基于脈沖干擾性的有色噪聲下，研究GC的性能。

基于雷達場景下，對觀測信號和發(fā)射信號的分析是比較常見的問題，從觀測信號中獲取需要的信息尤為重要。觀測信號往往包含發(fā)射信號以及環(huán)境的噪聲，在數(shù)學領域上，可以將其進行建模如下：

其中y[i]表示發(fā)射信號的數(shù)學表達式，λ為信號衰減系數(shù)，Z和X[i]分別為噪聲以及觀測信號的數(shù)學表達式。

噪聲往往帶有脈沖干擾性，在本文中，有色噪聲可以將其分布定義為如下：

為了衡量幾個相關系數(shù)在有色噪聲下的性能，本文針對效度進行了對比，效度定義如下：

圖1 實驗結果圖

從實驗圖中可以看出，即使有色噪聲中脈沖比例很小，匹配濾波器（MF）的效度也很很小，說明其結果的性能很差，相較之下，其他三個相關系數(shù)的效度比較大，都表現(xiàn)了對帶脈沖的有色噪聲的較好性能。尤其GC的效度表現(xiàn)最好。

綜上所述，可以在實驗中直觀地分析到MF、SR、KT和GC四種相關系數(shù)在有色噪聲下的性能指標，因此，本文得出如下的結論：

（1）在理論上純二元高斯分布的樣本下，目前學者們的理論成果顯示了MF是性能最優(yōu)的，但是如果數(shù)據(jù)參雜脈沖噪聲時，無論脈沖噪聲的占有比例多少，都會導致MF基本失效。

（2）SR、KT和GC在有色噪聲下都具有良好的性能，帶脈沖噪聲時，GC在實驗中性能表現(xiàn)最優(yōu)。