談拉格朗日方程在高中物理競賽中的應用

孫 偉

(南京市雨花臺中學,江蘇 南京 210012)

對高中物理力學競賽題的處理基本上是以牛頓運動定律來求解的,而用牛頓運動定律來求解質點組的運動問題時,常常要解算大量的微分方程組.如果質點組受到約束,則因約束反力都是未知的,所以并不能因此減少而且甚至增加了問題的復雜性.為此,利用分析力學的思路解決這類問題往往相對簡單.下面對拉格朗日方程的應用做簡單介紹.

1 完整約束

某些約束僅對力學系統的幾何形象加以限制,即僅對系統的位形加以限制,而對質點的速度沒有限制,這種約束稱為幾何約束.對于涉及力學系統運動情況的約束,即對速度也有限制的,則稱為運動約束.可積分的運動約束與幾何約束在物理實質上沒有區別,合稱為完整約束.

2 保守力系的拉格朗日方程

3 應用步驟

題1.(第30屆決賽)質量均為m的小球1和小球2由一質量可忽略、長度為l的剛性輕桿連接,豎直地靠在墻角,如圖1所示.假設墻和地面都是光滑的.初始時給2一個微小的向右的初速度.問系統在運動過程中,當桿與豎直墻面之間的夾角為何值時,球1開始離開墻面?

圖1

解析: 球1開始離開墻面前兩球各自沿直線運動,它們的運動受到一個剛性桿的限制,因此系統只有1個自由度.建立如圖2所示的坐標系,取桿與豎直墻面的夾角θ為廣義坐標,此時球1的y軸坐標為

y=lcosθ.

(1)

圖2

球2的x軸坐標為

x=lsinθ.

(2)

(1)(2)式分別對時間求導得:球1的的速度

(3)

球2的速度

(4)

主動力為兩球的重力,它們為保守力.系統的動能

(5)

系統勢能

V=mglcosθ.

(6)

拉格朗日函數

L=T-V.

(7)

由(3)～(7)式得

(8)

由拉格朗日方程得

(9)

由(9)式得

(10)

對(10)式積分并代入初始條件得

(11)

球1脫離墻面時,桿對兩球沒有作用力,球2的加速度為零,對(4)式求導得

(12)

聯立(10)～(12) 3式得

(13)

題2.(第33屆決賽)如圖3所示,AB為一根均質細桿,質量為m,長度為l2;桿上端B通過一不可伸長的軟輕繩懸掛到固定點O,繩長為l1.開始時繩和桿均靜止下垂,此后所有運動均在同一豎直面內.

圖3 圖4

(1) 現對桿上的D點沿水平方向施加一瞬時沖量I,若在施加沖量后的瞬間,B點繞懸點O轉動的角速度和桿繞其質心轉動的角速度相同,求D點到B點的距離和B點繞懸點O轉動的初始角速度ω0.

(2) 設在某時候,繩和桿與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2(如圖4所示),繩繞固定點O和桿繞其質心轉動的角速度分別為ω1和ω2,求繩繞固定點O和桿繞其質心轉動的角加速度α1和α2.

解析: (1) 設在施加沖量后的瞬間桿的質心C速度為vC,由沖量定理得

I=mvC.

(1)

由剛體轉動定理得

(2)

B、C點以同一角速度繞O點轉動,B點速度滿足

(3)

由(1)(2)(3)式得

(4)

(2) 系統有2個自由度,以繩和桿與豎直方向的夾角θ1和θ2作為系統的廣義坐標.建立以點O為原點,水平向右為x軸,豎直向下為y軸的坐標系,則桿的質心坐標為

(5)

(5)式對時間求導得質心速度

(6)

主動力為桿的重力,是保守力.系統的動能為

(7)

系統的勢能

(8)

拉格朗日函數

L=T-V.

(9)

由拉格朗日方程得

(10)

(11)

由(10)、(11)式得

(12)

(13)

圖5

題3.(第33屆復賽)兩根質量均勻分布的桿AB和BC,質量均為m,長均為l,A端被光滑鉸接到一固定點(即AB桿可在豎直平面內繞A點無摩擦轉動).開始時C點有外力保持兩桿靜止,A、C在同一水平線AD上,A、B、C3點都在同一豎直平面內,∠ABC=60°.某時刻撤去外力后兩桿始終在豎直平面內運動．

(1) 若兩桿在B點固結在一起,求

(i) 初始時兩桿的角加速度;

(ii) 當AB桿運動到與水平線AD的夾角為θ時,AB桿繞A點轉動的角速度.

(2) 若兩桿在B點光滑鉸接在一起(即BC桿可在豎直平面內繞B點無摩擦轉動),求初始時兩桿的角加速度以及兩桿間的相互作用力.

解析: (1) (i) 設兩桿的角加速度為α,兩桿繞A點做定軸轉動,由剛體轉動定理得

(1)

由(1)式得

(2)

(ii) 系統勢能的減少量為

(3)

系統動能的增加量為

可以將激勵與考核機制設置為：按應收賬款賬齡或者應收賬款逾期天數為標準來計算，把賬齡分為不同的區間，再結合公司應收賬款金額的具體情況和公司薪酬的狀況來設計相應的比例，在不同的區間按不同的比例扣除薪酬。該措施是為了引導與應收賬款管理相關的部門正確合理運用信用管理，將信用額度控制在合理范圍內，從而降低企業發生壞賬的風險，實現公司利益最大化。

(4)

整個過程機械能守恒

ΔEp減=ΔEk增.

(5)

由(3)～(5)式得

(6)

(2) 系統有2個自由度,以AB桿和BC桿與豎直方向的夾角θ1和θ2作為系統的廣義坐標,設AB桿和BC桿的角加速度分別為α1和α2.建立以點A為原點,水平向右為x軸,豎直向下為y軸的坐標系,則BC桿的質心坐標為

(7)

(7)式對時間求導得質心速度

(8)

主動力是兩桿的重力,是保守力.系統的動能為

(9)

系統的勢能

(10)

拉格朗日函數

(11)

由拉格朗日方程得

(12)

(13)

(14)

設BC桿對AB桿的作用力沿x軸和y軸的分量分別為Fx、Fy.

對AB桿,相對于A點,由轉動定理得

(15)

對BC桿,其繞質心轉動,由轉動定理得

(16)

兩桿間相互作用力的大小為

(17)

聯立(14)～(17)式得

(18)

BC桿對AB桿的作用力與豎直方向夾角φ滿足

(19)

題4.(國家集訓隊)蒸汽機的飛球調速器,由兩個質量為m的球通過4根長為l的鉸臂,與套在豎直軸的上、下兩個套筒連接而構成,上面的套筒固定,下面的套筒質量為M,可沿軸無摩擦地上、下滑動,如圖6所示.整個裝置繞豎直軸以恒定角速度ω0勻速轉動,忽略各鉸臂的質量及套筒M的轉動慣量.

圖6

(1) 求套筒M平衡時與上套筒之間的距離；

(2) 求套筒M在平衡位置附近上、下小振動的頻率.

解析: (1) 設套筒M平衡時,在以角速度ω0繞軸旋轉的轉動參考系中,其中一個小球m的受力如圖7所示,其中慣性離心力fi=mω02lsinθ,則有

圖7

(T1-T2)cosθ=mg.

(1)

(T1+T2)sinθ=fi=mω02lsinθ.

(2)

2T2cosθ=Mg.

(3)

由(1)～(3)式得

(4)

上下套筒距離

(5)

當然θ=0也是體系的一個可能平衡狀態,此情況下L=2l.

(2) 系統有1個自由度,以上臂與豎直方向的夾角θ作為系統的廣義坐標,系統動能為

(6)

系統勢能:

V=-2(m+M)glcosθ.

(7)

拉格朗日函數:

L=T-V.

(8)

由拉格朗日方程得

(9)

(m+M)gsinθ=0.

(10)

(11)

故小振動的頻率為

(12)

總結:其實還有不少的競賽題都能用拉格朗日方程求解,比如:第26屆復賽第8題,第30屆復賽第1題,第32屆決賽第1題等,讀者可以嘗試求解并歸類.