推理題中的冪運算

莊嚴

學習了“冪的運算”之后，同學們對同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法的運算法則已經掌握，并能很好地運用。但當遇到和算理相關的計算推理題時，有些同學還是會不知所措。針對“冪的運算”中的代數推理題，我們結合例題進行分析，希望可以幫助同學們加深理解。

一、演繹推理題

例1 課堂上，我們發現am·an=[a·a…·am個]·[a·a…·an個]=[a·a…·am+n個]=am+n，從而得到同底數冪的乘法法則。請用兩種方法計算am·an·ap（m、n、p是正整數）。

【分析】（1）觀察算式am·an·ap（m、n、p是正整數），我們不難看出，此題屬于同底數冪的乘法運算，和算式am·an的不同之處在于多了個因式ap，但并不影響法則的運用，計算可以依據同底數冪的乘法法則進行。（2）此題要求用兩種方法計算，那么除了運用同底數冪的乘法法則計算外，我們還可以回到乘方的定義進行計算。乘方是特殊的乘法運算，所謂特殊，是指每一個因式都相同。如果我們將am·an·ap還原成乘法運算，再根據乘方的定義進行轉換也是可以的。（3）此題還可以嘗試用符號表示若干個同底數冪相乘的法則。

解：（方法1） am·an·ap=am+n·ap=am+n+p。

（方法2） am·an·ap=[a·a…·am個]·[a·a…·an個]·[a·a…·ap個]=[a·a…·am+n+p個]=am+n+p。

二、合情推理題

例2 在“8.2冪的乘方與積的乘方”中，我們探索得到了積的乘方的法則：（ab）n=anbn（n是正整數）。請類比該法則的推導過程，解決下列問題：（1）計算（[ab]）n（n是正整數）;（2）嘗試用文字表述第（1）小題中得到的結論。

【分析】（1）回顧探索積的乘方法則的過程，利用乘方的定義和乘法的交換律、結合律得出（ab）n=anbn（n是正整數）的結論。根據已有的事實，我們進行觀察、比較、聯想、歸納、類比，最終提出（[ab]）n=[anbn]的猜想。根據已有的經驗，我們嘗試將[ab]改成a·[1b]，即將除法化歸成乘法，然后用積的乘方法則、乘方的定義和乘法結合律解決問題。（2）有了積的乘方法則的文字語言表述的經驗，類比它們的相同點和不同點，嘗試用文字語言表述商的乘方的法則。

解：（1）（[ab]）n=（a·[1b]）n=an·（[1b]）n=an·（[1b·1b…·1bn個]）=an·[1bn]=[anbn]。

（2）文字語言表述：商的乘方等于把被除數和除數分別乘方，再把所得的冪相除。

（作者單位：江蘇省南京市文樞初級中學）