函數典型例題與解題策略

李祥

由數軸上的點與實數的對應關系到正、反比例函數，由一次方程（組）、不等式（組）到一次函數，由一元二次方程到二次函數等，我們不難發現，函數是貫穿初中數學的一條主線，具有承上啟下的作用。函數是初中數學的重點，也是難點，更是中考命題的主要考查對象。

一、函數的概念與性質

例1 已知一次函數y=（3a-2）x+（1-b），求字母a、b的取值范圍，使得：

（1）y隨x的增大而增大;

（2）函數圖像與y軸的交點在x軸的下方;

（3）函數圖像過第一、二、四象限。

【思路點撥】對于y=kx+c（k≠0）的圖像，當k>0時，y隨x的增大而增大;當c<0時，函數圖像與y軸的交點在x軸的下方;當k<0，c>0時，函數圖像過第一、二、四象限。

解：（1）由一次函數y=kx+c（k≠0）的性質可知：當k>0時，函數值y隨x的增大而增大，即3a-2>0，∴a>[23]，且b可取任何實數。

（2）函數圖像與y軸的交點為（0，1-b）。

∵交點在x軸的下方，

∴[3a-2≠0，1-b<0，]即[a≠23，b>1。]

（3）函數圖像過第一、二、四象限，則必須滿足[3a-2<0，1-b>0，]得[a<23，b<1。]

【總結升華】下面是y=kx（k≠0），y=kx+b（k≠0）的圖像的特點和性質示意圖。如圖1，當k>0時，y隨x的增大而增大;當k>0，b>0時，圖像過第一、二、三象限;當k>0，b=0時，是正比例函數;當k>0，b<0時，圖像過第一、三、四象限。當y=x時，圖像過第一、三象限，且與x軸的夾角為45°。由于常數k、b不同，可得到不同的函數，k決定直線的傾斜程度，b決定直線與y軸交點的位置，由k定向，由b定點。同樣，圖2是k<0的各種情況，請同學們自己嘗試指出它們的特點和性質。

二、函數的圖像及性質

例2 已知一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像經過A（3，18）和B（-2，8）兩點。

（1）求一次函數的表達式;

（2）若一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與反比例函數y=[mx]（m≠0）的圖像只有一個交點，求交點坐標。

【思路點撥】（1）用待定系數法求一次函數的表達式;（2）聯立一次函數表達式和反比例函數表達式，根據題意得到Δ=0，解方程即可得到結論。

解：（1）把（3，18），（-2，8）代入一次函數y=kx+b（k≠0），得

[3k+b=18，-2k+b=8，]解得[k=2，b=12，]

∴一次函數的表達式為y=2x+12。

（2）∵一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與反比例函數y=[mx]（m≠0）的圖像只有一個交點，∴[y=2x+12，y=mx]只有一組解，

所以2x2+12x-m=0有兩個相等的實數根，

∴Δ=122-4×2×（-m）=0，

∴m=-18。

把m=-18代入2x2+12x-m=0求得該方程的解為x=-3，經檢驗符合題意。

把x=-3代入y=2x+12，得y=6，

∴所求的交點坐標為（-3，6）。

【總結升華】本題考查了用待定系數法求一次函數表達式、反比例函數與一次函數的交點問題。第（2）問的關鍵是轉化成關于x的一元二次方程，再根據交點只有一個得出根的判別式為0，從而求出m，進而求出交點坐標。

三、二次函數的綜合運用

例3 二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖3所示，下列結論：①ab>0;②a+b-1=0;③a>1;④關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根為1，另一個根為[-1a]。其中正確結論的序號是。

【思路點撥】根據拋物線的開口方向和對稱軸判斷a與b的符號，由拋物線與y軸的交點得出c的值，然后根據拋物線與x軸交點的個數及x=1時二次函數的值的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷。

解：①由二次函數的圖像開口向上可得a>0，對稱軸在y軸的右側，b<0，∴ab<0，故①錯誤;

②由圖像可知拋物線與x軸的交點為（1，0），與y軸的交點為（0，-1），

∴c=-1，∴a+b-1=0，故②正確;

③∵a+b-1=0，∴a-1=-b，

∵b<0，∴a-1>0，

∴a>1，故③正確;

④∵拋物線與y軸的交點為（0，-1），

∴拋物線的方程為y=ax2+bx-1，

∵拋物線與x軸的交點為（1，0），

∴ax2+bx-1=0的一個根為1，根據根與系數的關系，另一個根為[-1a]，故④正確。

故答案為②③④。

【總結升華】本題考查的是二次函數與圖像結合的綜合運用，掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵。

（作者單位：江蘇省無錫市新安中學）