函數(shù)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張 學(xué) 福

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000）

在概率統(tǒng)計(jì)和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到下述形式的含有參數(shù)α 的廣義積分

可以證明，當(dāng)α ＞0 時(shí)，該積分收斂，積分值隨α 的變化而變化，稱之為Γ 函數(shù)［1］，記作Γ(α)，即

此函數(shù)的學(xué)習(xí)和在概率統(tǒng)計(jì)及工程技術(shù)中的應(yīng)用，教學(xué)中受知識(shí)梯度和認(rèn)知水平的影響，一般安排在一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算、極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算和概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中分別進(jìn)行.受教學(xué)時(shí)間跨度長(zhǎng)、知識(shí)點(diǎn)零散、銜接不緊密等影響，在知識(shí)掌握和應(yīng)用上顯得系統(tǒng)性不強(qiáng)、效果不佳.所以有必要對(duì)其性質(zhì)和重要結(jié)論以及各種應(yīng)用作以歸納總結(jié)，使其零散的教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)完整，分段掌握的知識(shí)能夠形成一個(gè)整體，同時(shí)展示Γ 函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)和工程技術(shù)中的應(yīng)用和彰顯Γ 函數(shù)計(jì)算一類反常積分方便、快捷的優(yōu)勢(shì).

1 Γ 函數(shù)收斂性

2 Γ 函數(shù)性質(zhì)

2.1 遞推公式

Γ(α+1)=αΓ(α)(α ＞0)，由分部積分法容易得到

一般地，對(duì)任何正整數(shù)n，有

因此，Γ 函數(shù)可以看成是階乘n!的推廣.

2.2 當(dāng)α →0+時(shí)，Γ(α)→+∞. （Γ 函數(shù)在α ＞0 時(shí)連續(xù)）

2.3 余元公式［2］

在Γ 函數(shù)的定義式中，令x=t2，則有

3 Γ 函數(shù)的應(yīng)用

3.1 計(jì)算反常積分

等等.

3.2 計(jì)算概率論中隨機(jī)變量分布中參數(shù)、數(shù)學(xué)期望及方差

例1 設(shè)隨機(jī)變量X 服從麥克斯韋分布［4］，其密度函數(shù)為

解 由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知

代入已知條件得

其中σ ＞0 是常數(shù)，求E(x)和D(x).

3.3 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)常用分布中的應(yīng)用

（1） χ2分布

設(shè)n 個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明函數(shù)

的概率密度為以上三種分布中的概率密度所含的廣義積分都可歸結(jié)為Γ 函數(shù)的計(jì)算.