基于J積分的含裂紋加筋板在單軸拉伸載荷下的極限強度計算

夏世林，磨季云

(武漢科技大學 理學院，湖北 武漢 430065)

0 引 言

加筋板結構是船舶、航空航天領域最為常用的結構類型之一。對于此類結構，當結構受力達到材料屈服強度后，其仍有一定的承載能力，直至載荷水平達到其極限強度。在加筋板結構設計中，極限狀態（ULS）設計已經被公認為優于傳統的許用應力方法，因為前者能更真實反映結構的安全極限[1]。加筋板結構在服役年限中不可避免遭受不同種類的損傷，裂紋損傷就是影響結構失效行為的重要因素之一。在加筋板結構中，裂紋經常在焊接和應力集中區域萌生，例如在加強筋和底板的交接處。在加筋板壽命周期中，這些裂紋可能在不同載荷狀態下擴展，結果形成不同的尺寸和位置。

按載荷形式的不同，含裂紋加筋板的剩余強度問題可分為壓縮載荷下加筋板的屈曲強度、拉伸載荷下加筋板的極限強度和剪切載荷下加筋板的剩余強度。對于此類問題，傳統的有限元方法是將裂紋建立成類似于狹縫的幾何模型，并在裂紋尖端進行網格加密，從而將斷裂力學問題簡化為一般靜力學問題。Sadek等[2]用數值模擬的方法分析了含裂紋加筋板在壓縮應力下的屈曲特性，分析中考慮了裂紋的演化發展；Cao等[3]根據歐洲規范EN1990，EN1991和EN1993，對環向和經向制造裂紋的圓形鋼筒倉的屈曲性能進行了評估；Duc等[4]通過數值模擬計算，建立了基于裂紋有限元分析的靜穩定板模型。Brighenti等[5]研究了裂紋損傷對拉伸、壓縮、剪切載荷下的矩形板屈曲強度的影響，其中裂紋長度、裂紋方向和材料泊松比是變化的，結果表明裂紋方向垂直拉伸和壓縮載荷方向時是最危險的工況。Margaritis Y等[9]研究了含裂紋加筋板的極限和失效響應，詳細檢查了裂紋閉合對結構響應的作用。Paik等[10]對完整和含裂紋加筋板的極限剪切強度進行了數值研究，并基于完整加筋板方程發展了預報含裂紋加筋板的極限剪切強度方程。Saad-Eldeen等[11]對含中心橢圓開口和封閉裂紋的薄壁鋼板剩余強度進行了試驗研究，試驗中的試件是從服役期中的實際結構構件中取得的，而不是新建試件。

與傳統的一般靜力學分析方法相比，J積分方法具有以下優勢：一是不需要建立裂紋模型，而是從斷裂力學機理出發，直接定義裂尖和裂紋方向，這更加符合裂紋模型的實際情況；二是J積分方法避開了直接求解裂端塑性應力場的困難。Cherepanov[6]和Rice[7]各自獨立提出了一種與積分路徑無關的J積分，用于綜合度量裂端應力應變場強度。它對彈塑性斷裂力學發展起到了重要的作用。

通過以上文獻可以看出，以前的研究主要關注含裂紋結構在典型拉伸載荷下的失效行為或塑性屈曲強度評估。含裂紋結構在軸向拉伸下的剩余極限強度在近年來得到了廣泛關注，但是該領域的研究仍然是有限、不充分的。因此，需要進行更多的研究來更深理解含裂紋缺陷結構構件的失效行為。本文的主旨在于發現含裂紋損傷的加筋板在單調軸向拉伸下的極限強度行為。假定板橫向裂紋位于加筋板內截面，或只位于板單元上，或位于板單元和加強筋上。需要指出的是，本文不考慮裂紋擴展和斷裂相關的臨界裂紋長度。

加筋板材料為Q345B高強度鋼，為了達到目的，進行了含一系列不同尺寸、位置裂紋加筋板在單軸拉伸載荷下的非線性彈塑性大變形分析。

1 力學分析方法

1.1 J積分及其有限元列式

J積分理論避開了直接計算裂紋尖端附近的彈塑性應力、應變場，而用遠場J積分作為表示裂紋尖端應力應變集中特征的平均參量。對于二維問題，J積分可定義為[3]：

其中： Γ 為由裂紋下表面某點到裂紋上表面某點的簡單的積分路徑；W為彈塑性應變能密度；Ti為作用于積分回路單位周長上的主應力；ui為積分回路邊界上的位移；ds為積分回路線的弧長。

在線彈性斷裂力學中，J積分與應力強度因子KI有如下關系式：

式中：對于平面應力，彈性模量E′=E，對于平面應變E′=E/1-μ2。

可以解析證明，J積分與積分路線 Γ 的選取無關，即J積分滿足路徑守恒。因此，可選取應力應變場較易求解的線路得到J積分值，而此值與積分路徑非常靠近裂端的結果是相同的。J積分有著明確的物理意義，它代表著裂紋沿x方向擴展單位長度時的能量釋放率。

由于J積分與選擇的路徑無關，并能描述裂紋尖端的應變狀態。這一特點使J積分計算可以在離開高應力、高應變梯度的裂紋尖端區外的任意回線進行。對于二維體的J積分列式可以寫為[11]：

其中：

將平面上定義的二維J積分沿著裂紋縫線逐點積分可得裂紋線的三維J積分為：

式中：L為裂紋縫線長度；dA為包繞裂紋縫線的圓柱曲面上的面積微元， dA=dsdΓ；n為微元dA的外法線方向； λ (s)為裂紋縫線s點處的長度。

J積分的計算必須采用數值積分，如果回線經過單元積分點，可以采用有限元中的高斯積分策略。從遠離裂紋尖端的應力場、應變場計算J積分，只能在無體力、初始應變和裂紋表面拉力情況下能用。當有體力或初始應變時，J積分要加入封閉表面的積分。此時路徑無關性將喪失，必須從完整的應力和應變結果中計算，包括裂紋尖端的高應力區。

J積分的主要優點是不需要用很細的網格對裂紋尖端區進行分析。路徑無關性的非線彈性材料也存在，真實的彈塑性材料與非線彈性材料類似。J積分也可以用于描述彈塑性材料的裂紋尖端的應力場和應變場，材料用增量塑性理論描述并不允許有卸載，以免W的加載歷程相關性，J值的增量可以從每個載荷步的應力和應變增量計算得到。

1.2 精度驗證算例

以緊湊拉伸(CT)式樣為例進行說明，材料選用304不銹鋼，厚度為5 mm，對其進行單項拉伸，CT式樣尺寸如圖1所示。為了效驗計算結果的準確性，將各方法的計算結果與(2)式用應力強度因子法計算的理論值做比較。根據上述計算J積分的方法，對該實例進行計算，結果如圖2所示。

圖1 CT試樣尺寸Fig.1 Dimension of the CT specimen

圖2 J積分計算結果圖Fig.2 The scheme of J-integral calculation result

由圖2可知，各種J積分計算方法的結果具有相同的增長趨勢且相差不大，通過與理論值的對比，驗證了各種常用J積分計算方法的準確性與可行性。

1.3 有限元模型

1.3.1 幾何和材料

本文的分析對象為含2根加強筋（截面對稱）和1個板單元的加筋板，其長細比范圍為4～6，如圖3所示。在圖3中，板的尺寸用a×b×t表述，加強筋的尺寸用hw×tw表述。底板和加強筋的詳細尺寸見表1。

圖3 加筋板的模型尺寸Fig.3 Model dimension of the stiffened-panel

表1 加筋板的幾何特征Tab.1 Geometrical features of the stiffened-panel

其中長細比β是控制加筋板屈曲/失效行為的重要參數，定義如下[13]：

其中：b為板寬；t為板厚； σs為材料屈服強度；E為楊氏模量。

本文使用的材料為Q345B鋼。一般來說，鋼結構具有應變硬化正切模量Et，其典型取值范圍為楊氏模量的5%～15%。顯然應變硬化對加筋板的的非線性行為有一定影響。影響的程度是包括板長細比在內的眾多因素的函數。在本文中，板的材料行為建模成應變硬化率為E/65的雙線性彈塑性行為（見圖4），該應變硬化率的值是Khedmati[14]通過大量彈塑性大變形分析得到的。詳細材料屬性如表2所示，材料的應力-應變行為如圖4所示。

1.3.2 裂紋損傷研究工況

為了考慮裂紋的不同位置，本文應用了3種不同的模型，如圖5所示。這些模型按裂紋位置分類，如裂紋只在底板上，裂紋在底板和加強筋上，裂紋只在加強筋上。

裂紋在加筋板中的深度取決于多種因素，其中裂紋深度等于板厚時最為危險。在工程中，在相對較薄的加筋板中，裂紋一般被認為貫穿板厚。因此，在本文研究中，底板和加強筋上的裂紋都假設貫穿厚度。在所有的3種模型中，不論裂紋在底板上還是加強筋上，都沿板的橫向。為了考慮不同裂紋長度，假設加筋板上的裂紋長度c是對應板寬的某一特定比例，其比值c/b的變化范圍為0.05～0.15，而圖5（b）和圖5（c）中在加強筋上的裂紋長度等于加強筋高度。表3描述了本文考慮的不同幾何參數。

表2 Q345B鋼材料屬性匯總Tab.2 A summary of Q345B steel material properties

圖4 材料的理想彈塑性應力-應變行為Fig.4 Ideal elastic-plastic stress-strain behavior of the material

圖5 3種裂紋模型Fig.5 3 types of crack models

表3 FE模型幾何參數值匯總Tab.3 A summary of FE models’ geometrical parameters

1.3.3 載荷和邊界條件

在進行FE分析之前，在FE模型上施加合適的邊界條件盡可能合理模擬結構實際響應是十分重要的。一個常規的方法是在極限狀態評估中在橫向邊緣施加簡支或夾持邊界條件。本文主要關注的是加筋板在單軸拉伸載荷下的極限強度。通常認為加筋板橫剖面會受到均勻的拉伸外載荷力，可采用位移控制的方式來實現加筋板均勻軸向載荷的逐步加載。圖6描述了含裂紋加筋板模型的載荷和邊界條件，其中t為時間。

圖6 含裂紋加筋板載荷和邊界條件Fig.6 Loads and BCs of the stiffened-panel with cracks

1.3.4 單元和網格尺寸

結構極限強度計算是非線性問題。在本文的研究中，含裂紋加筋板的失效行為和極限強度評估使用有限元軟件Abaqus，評估中同時考慮幾何和材料非線性。在Abaqus包含可使用的單元庫中，選擇8節點S8R單元來離散加筋板模型。S8R適合屬于加筋板結構范疇的適度薄壁殼結構。其適合線性、大應變和大轉動非線性應用。

在FE分析中，計算精度和速度在很大程度上取決于單元大小或網格密度。網格尺寸必須足夠精細來捕捉含裂紋加筋板的屈曲/塑性失效行為。另一方面，更為精確的網格引起更大的計算代價。從這一點來說，必須進行精度和計算時間的平衡。對于含裂紋加筋板，精確網格必須分配在局部裂紋區域來模擬更早的屈服和由于應力集中引起的高應力梯度。

進行不同網格尺寸的收斂性研究決定相對合適的非線性有限元分析網格模型。最終，沿板寬方向b和板長方向a的殼單元數目指定為20。對于加強筋腹板在高度方向hw單元數量為1。同時在裂紋附近進行網格細化。裂紋區域網格細化的含裂紋加筋板網格劃分實例如圖7所示。

圖7 含裂紋加筋板網格實例Fig.7 Mesh example of the stiffened-panel with cracks

2 分析和討論

使用Abaqus有限元軟件進行一系列彈塑性大變形分析研究含裂紋加筋板在單軸拉伸載荷下的失效行為。在分析中，使用牛頓-拉普生方法來解決非線性控制方程，考慮上文描述的3種裂紋模型。而且改變裂紋長度和板厚來研究其對含裂紋加筋板極限強度特性的影響。

2.1 長細比的影響

考慮表3中所列的不同板厚來研究其對含裂紋加筋板極限強度特性的影響。選擇裂紋長度c/b=0.1和裂紋縱向位置固定于加筋板的中橫剖面。將加載試驗中采集的軸向荷載和軸向拉伸變形進行換算，即將軸向荷載除以實測的試件截面積，得到截面的平均應力值；將軸向拉伸變形除以試件的實測初始長度，得到試件的平均應變值[15]，圖8給出了不同長細比的模型（a）應力-應變曲線（裂紋長度c/b=0.1）。圖中也包含了相關無裂紋損傷完整加筋板作為參考模型。應力-應變曲線的峰值即為加筋板的極限拉伸強度，當載荷水平達到該值時，含裂紋加筋板的應力云圖（以β=5為例）如圖9所示。可以看出，當載荷水平達到含裂紋加筋板極限強度時，加筋板中橫剖面幾乎所有單元的等效米塞斯應力都達到材料的抗拉強度，加筋板失去抗拉能力。

為了測量裂紋損傷對加筋板極限拉伸強度的影響，將結果與相關無裂紋損傷完整加筋板進行對比是必要的。從這一點出發，引入極限強度縮減系數，如下式：

圖8 不同長細比的模型（a）應力-應變曲線（裂紋長度c/b=0.1）Fig.8 The stress-strain curve of Model (a) with different slenderness (crack length c/b=0.1)

圖9 含裂紋加筋板的應力云圖（β=5）Fig.9 The stress distribution of the stiffened-panel with cracks（β=5）

其中： σu為含裂紋加筋板極限強度； σu0為相關完整加筋板極限強度。

3種長細比下極限強度縮減系數分別為0.914，0.902，0.895，含裂紋加筋板極限拉伸強度隨加筋板長細比的增大略有減小，說明當加筋板厚度越大，裂紋損傷對加筋板極限強度的影響越明顯。總體來看，加筋板長細比對極限強度的影響不大，這是因為在本文的算例中，當加筋板板厚增大時，裂紋深度也隨之增大，表明含貫穿型裂紋的加筋板在單軸拉伸載荷下的剩余強度對加筋板長細比不敏感。

2.2 裂紋長度的影響

為了研究裂紋長度對加筋板失效行為的影響，選擇板厚為10 mm，裂紋位于加筋板中橫剖面的工況，改變底板上裂紋的長度。加強筋上沒有裂紋。圖10演示了裂紋長度對應力-應變關系的影響。可知裂紋長度的增加影響加筋板結構響應，極限強度和剩余強度都隨裂紋長度的增大而減小。而且，從圖中還可以看出極限應變（失效點應變）隨裂紋長度的增大而減小（3種工況下極限應變分別為0.158，0.152，0.142）。3種裂紋長度下極限強度縮減系數分別為0.939，0.902，0.793，含裂紋加筋板極限拉伸強度隨裂紋長度的增大而減小，且減小的幅度逐漸增大，說明含裂紋加筋板在單軸拉伸載荷下的極限強度對裂紋長度較為敏感。

圖10 裂紋長度對應力-應變關系的影響Fig.10 The influence of crack length on the stress-strain behavior

2.3 裂紋位置的影響

為了檢查裂紋位置對含裂紋加筋板極限強度行為的影響，設計了裂紋只出現在底板上、裂紋只出現在加強筋上、裂紋同時出現在底板和加強筋上3組仿真試驗。圖11和圖12分別為裂紋在加強筋上和裂紋同時在底板和加強筋上時的應力云圖，圖13為3種工況下含裂紋加筋板應力-應變曲線。3種工況下極限強度縮減系數分別為0.939（裂紋只出現在底板上）、0.975（裂紋只出現在加強筋上）、0.924（裂紋同時出現在底板和加強筋上），說明加強筋上的裂紋對含裂紋加筋板極限強度的影響小于底板上的裂紋，而裂紋同時出現在底板和加強筋上時對含裂紋加筋板極限拉伸強度的影響最大。這是因為裂紋只位于底板和加強筋上時，裂紋區域在單軸拉伸載荷下的變形都受到加強筋或底板的限制，而裂紋同時位于底板和加強筋上時，裂紋在底板和加強筋相交的位置能夠自由變形。

圖11 裂紋在加強筋上時的應力云圖Fig.11 The stress distribution when the crack locates on the stiffener

圖12 裂紋同時在底板和加強筋上時的應力云圖Fig.12 The stress distribution when the crack locates on both the stiffener and the plate

圖13 三種工況下含裂紋加筋板應力-應變曲線Fig.13 The stress-strain curve of the stiffened-panel with cracks under 3 different cases

3 結 語

本文建立了一系列不同長細比、不同裂紋長度、不同裂紋位置的含裂紋加筋板有限元模型，基于J積分理論對含裂紋加筋板在單軸拉伸載荷下的極限強度進行了計算分析，得到以下結論：

1）長細比對含貫穿型裂紋的加筋板在單軸拉伸載荷下的剩余強度影響不大；

2）含裂紋加筋板極限拉伸強度隨裂紋長度的增大而減小，且減小的幅度逐漸增大，極限拉伸強度對裂紋長度較為敏感；

3）加強筋上的裂紋對含裂紋加筋板極限強度的影響小于底板上的裂紋，而裂紋同時出現在底板和加強筋上時對含裂紋加筋板極限拉伸強度的影響最大。

本文在進行含裂紋加筋板極限強度計算時沒有考慮裂紋擴展，這或多或少與實際情況存在一定的差異。裂紋擴展對含裂紋加筋板極限強度的影響，是下一步研究的方向。