燃料電池混合動力系統的極小值控制策略

高慧中，王志杰，尹韶平，路 駿，郭兆元

(中國船舶集團公司第七〇五研究所，陜西 西安 710077)

0 引 言

在過去的數十年中，越來越多的國家致力于實現無人水下航行器（UUV）從試驗室研究向藍海應用的技術飛躍，使UUV憑借其具有的技術優勢，在世界各國的海洋資源開發活動中正扮演著越來越重要的角色[1-2]。由于UUV通常具有航速低、航程長、低噪聲、大深度的特征，從而對動力系統提出了靜音、可快速啟停等一系列要求，基于以上原因，蓄電池驅動的電動力系統成為現階段UUV普遍采用的能源形式。然而，隨著UUV關于航程、航速、航程等技術指標的不斷提高，蓄電池在能量密度方面的技術瓶頸卻遲遲無法突破[3]，為UUV未來的應用前景蒙上了一層陰影。

近年來為了有效解決這一問題，行業內的眾多專家紛紛致力于開發出具有高能量密度的動力形式以代替蓄電池，進一步提升UUV的工作性能。從現階段的發展情況來看，以燃料電池為代表的新型高能量密度供電技術憑借轉化效率、能量密度、循環壽命等方面的優勢，被視為未來UUV使用的最佳能源形式[3-4]。然而值得注意的是，受到電化學轉化速率制約，燃料電池存在響應滯后、輸出特性軟等缺點，若以燃料電池為系統中的唯一供能單元，將難以及時響應UUV的負載需求，還會在大幅度負載功率變化的條件下出現水淹電極、缺水，甚至催化劑中毒等極端情況，大大降低燃料電池效率、縮短燃料電池壽命，而這對執行長時間巡航任務的UUV來說是不可接受的。為了充分發揮出燃料電池的優勢，許多學者對“燃料電池+能量存儲裝置”形式的混合動力系統進行了廣泛的研究[5]。由于兼具2種能量單元的技術特點，混合系統有效彌補了過往單一能源在使用中存在的技術缺陷，極大改善了工作特性，因而被認為是未來UUV的最佳動力系統形式。

采用混合動力的UUV通常使用燃料電池作為主要能源，通過蓄電池平衡瞬時動態負載達到“削峰填谷”的效果，保證燃料電池始終工作在最優區間，從而優化系統工作特性。在這一思路下，系統需要設計出高效的能量管理策略實現混合能量單元之間的動態分配[6]。在實際應用中，為了提升控制效果，需要在算法設計過程中充分考慮負載需求、系統約束等因素，通過精確調節DCDC變換器的輸出電流實現能量分配，從而保證動力系統工作在最優區間。近年來關于能量管理算法的研究百花齊放，專家學者們對諸如規則化方法[7-9]、最優化方法[10-12]、智能方法[13-14]等進行了分析對比和驗證。極小值原理作為一種經典最優控制理論，最初由蘇聯數學家龐特里亞金提出，該方法通過將動態規劃描述的約束優化轉化為Hamilton無約束優化，同時將求解全局最優轉化為求解局部最優[15]。從已有的研究工作中可以看到[16]，相比于動態規劃方法，極小值原理不需要整個航程信息作為先驗知識，依靠當前時刻和過去時刻的信息就能完成局部優化問題求解，因而更適合于實時能量控制系統的開發。

1 燃料電池混合動力系統

在燃料電池混合動力系統中，根據連接方式不同可分類為直接連接和間接連接。

在圖1的結構中，在蓄電池和母線之間設置一個雙向DCDC變換器，因此可以通過控制雙向DCDC變換器對蓄電池進行充放電管理。但根據相關研究表明，這一結構雖然在母線電壓調節上效果顯著，但電壓調節范圍上卻有所損失。除此之外，2個DCDC變換器的存在還使得系統無功功率增大，系統復雜度、重量及成本隨之提高，這對內部空間本就狹小、重量控制精準、工作效率要求嚴苛的UUV使用造成了障礙。

圖1 間接匹配拓撲Fig.1 Indirect match topology

為了簡化拓撲結構，提出如圖2所示的拓撲結構，在這一結構中蓄電池不經過DCDC調壓直接掛接在母線上，母線電壓與蓄電池輸出電壓保持一致。該型拓撲的優勢在于燃料電池能夠充分發揮長時間工作的特點，平穩工作在更加高效的狀態，從而延長其使用壽命[17]。同時由于只使用了一個DCDC，減小了系統的無功功率損耗，能夠實現控制對象少、轉換效率高的目標，更適合在UUV動力系統中進行應用。

圖2 直接匹配拓撲Fig.2 Direct match topology

1.1 燃料電池模型

不同于大巴上使用的氫-空燃料電池，UUV上使用的氫-氧燃料電池使用純氧作為氧化劑，因而導致其陰極內部壓力分布也有所不同。此外，氫氧電堆中質子交換膜厚度增加、排水流道不同等因素會導致電堆的輸出特性也有所不同[18]，在建立氫-氧燃料電池的數學模型的過程中，為了簡化數學運算過程，通常會對電堆做出如下合理假設[19-24]：

1）理想的氣體流動過程；

2）液相流體的不可壓縮流動；

3）流體流動為層流；

4）電解質、電極和雙極性材料各向同性且均勻分布；

5）陽極內水蒸汽壓力是飽和蒸汽壓力的50%，陰極內水蒸汽壓力和飽和蒸汽壓力一致；

6）反應氣體為純氫、純氧。

根據燃料電池的電化學理論，單片燃料電池的輸出電壓可描述為能斯特方程與活化極化、歐姆極化的差值，如下式：

其中的能斯特分量Enernst、活化極化分量Vact、歐姆極化分量Vohm可根據式（2）～式（8）計算得到。

其中： ξi為活化極化系數；rmem為質子交換膜的電阻率；Tbody為電堆內部溫度；tmem為質子交換膜的厚度；Acell為電堆內燃料電池個數。

進一步根據熱力學理論，可結合環境工作溫度根據式（9）～式（11）計算出對應的飽和蒸汽壓力，以及氫氣、氧氣的有效分壓pH2和pO2。

根據以上分析計算可知，燃料電池輸出電壓可以根據以上計算得出的單片燃料電池電壓Vcell和電堆內電池的片數Ncell計算得出：

1.2 蓄電池模型

內阻模型是一種在蓄電池相關研究中廣泛應用的數學模型，它通過將蓄電池等效為一個理想電壓源和電阻的串聯準確描述蓄電池的實際工作效果，其原理圖如圖3所示。

圖3 內阻模型Fig.3 Internal resistance model

根據相關研究成果可知，蓄電池的等效內阻在充電、放電過程中是不斷變化的，具體數值和電池的荷電狀態（state of charge, SOC）相關。通常當蓄電池的輸出功率取為P時，數學模型中對應的電流、電壓可根據式（13）和式（14）求解得到：

式中的蓄電池開路電壓Vocv和內阻Rint均為SOC的函數，因而可表示為：

進一步分析可知，蓄電池當前時刻的SOC可由它的初始值SOC0，輸出電流Ibat，電池容量Qbat計算得出，具體計算方法如下式：

2 極小值原理在混合動力能量管理系統中的應用

2.1 極小值原理

作為一項在最優控制領域得到廣泛應用和充分驗證的數學方法，極小值原理能夠給出提供約束條件下全局最優問題的必要條件。雖然不是充分條件，但最優解必定在這些極值點當中，且滿足必要條件的極值點數有限，因此可以通過對比直觀的得到問題的最優解[25]。綜上所述，最優問題可定義為尋找一組能夠使系統方程x(t)=f[x(t),u(t),t]沿著最優軌跡線x*達到最優性能指標J的控制變量u*，對應性能指標函數如下式：

式中的L[x(t),u(t),t]是一個標量值函數，反映系統在瞬時時刻下的性能指標，它的積分量則被稱為積分性能指標函數，直接決定了狀態量x(t)和控制量u(t)在整個計算區間內的特性。另一方面，式中的 Φ [x(tf),tf]則稱為終端性能指標函數，用于評價系統的終端狀態。在極小值原理方法中，進一步給出了Hamilton方程的定義，其形式如下式：

式中的Lagrange乘子 λt稱為協態變量，通過選取合適的數值，就能得到規范化方程和極小值成立條件如下：

極小值原理通過構建Hamilton方程將全局最優問題轉化為帶有等式和不等式約束的局部最優問題，因而在UUV混合動力系統的能量管理策略中，極小值方法能夠快速的尋找出滿足約束的極值，從而進一步篩選出能夠使性能指標最小的最優解。

2.2 極小值在能量管理中的應用

燃料電池汽車在工程化應用中為了盡可能降低使用成本、增加續航能力、控制系統體積，大都采用直接從外部吸入空氣作為氧化劑的氫-空燃料電池。UUV作為長時間工作在水下的無人系統，無法在任務中從外部環境獲取空氣，因此必須使用自身攜帶的純氫、純氧為燃料電池提供所需的能量。由于UUV內部空間狹小、氫氧儲量有限，因而設計出最優的能量控制策略將能大大提高系統工作效率和能量利用率，從而增大工作半徑、延長續航時間。具體到混合動力系統中，可以將UUV全航程所消耗的氫氣總量最小作為優化目標。由于蓄電池內阻效應的存在，其在充電-放電過程中必然存在一定的能量損失，因此在混合系統工作中應盡量減少使用燃料電池向蓄電池充電的過程，并充分合理的使用蓄電池內部儲備的能量，從而降低使用的氫氣總量。在本文提出的能量管理策略中，利用等效氫耗量方法將蓄電池的輸出能量折算為等效的氫氣消耗量，從而實現功率分配任務下的氫耗量優化。根據以上分析便可以建立起UUV能量管理系統的優化目標方程如下：

同時需要滿足以下約束條件：

1）SOC(0)=SOCH；

2）SOC(tf)=SOCL；

3）SOCL＜SOC(t)＜SOCH,t∈[0,tf]；

5）Pdc∈[Pdc,min,Pdc,max]。

結合系統特性和理論分析，可進一步建立起動力系統的狀態方程如下：

式中：Qbat為蓄電池容量；Ibat為蓄電池的輸出電流。根據蓄電池工作特性，其輸出電流計算如下式：

式中：Voc為蓄電池的開路電壓。

此外，蓄電池的等效氫耗量m˙bat和它的輸出功率有關，可描述為如下的函數關系：

在得到以上方程后，就可以構建起實時系統中完成功率調節的總體思路，即控制器在每個采樣時刻把負載需求功率作為輸入量，將DC/DC變換器的輸出功率Pdc和蓄電池SOC分別作為系統的控制量和狀態量完成計算，最終得到使氫氣消耗量最小的功率分配方案，根據極小值原理的定義，就可以建立起UUV混合動力系統Hamilton方程如下：

由此就將整個航程下的全局優化問題轉化為局部優化問題，而對應的電堆最優輸出功率也應該滿足以下條件方程：

通常情況下，蓄電池內阻隨SOC的變化趨勢要遠小于輸出電流隨開路電壓的變化趨勢，因此可合理假設內阻阻值為常數，則式（29）可進一步整理得：

在每個采樣時刻，控制器都會計算得到能夠使當前時刻的Hamilton方程達到最小的最優控制量，即

由此就可以根據動力系統的負載需求功率和約束條件，求出當前時刻的最優蓄電池輸出功率為：

2.3 能量管理問題的數值求解

UUV的實時在線控制系統需要計算得到當前時刻的最優控制，而不需要探尋不同時刻最優控制之間的數學關系，因此多采用數值化方法求解能量管理問題。在求解過程依據極小值方法建立的Hamilton方程時，則通常首先將最優控制問題轉化為一個兩點邊值問題，再使用數值化方法迭代求解。作為求解差分方程問題的經典數值化方法，打靶法在很多問題求解中得到廣泛應用，而對Hamilton方程應用打靶法的核心步驟就是尋找最優協變量初始值，這是因為協變量是反映功率循環特征的重要參量，因此對蓄電池SOC的變換軌跡有著很大影響。也就是說，只有找到最優的初始協變量，才能通過打靶法得到理想的SOC變化結果。在本問題中，割線法在每次打靶過程中能夠不斷調整協變量初始值，直到SOC最終值滿足SOC(tf)=SOCL，其求解形式如下：

式中： λi為第i次打靶過程中的協變量初始值；SOCi,tf為第i次打靶過程中的SOC最終值。

在求解過程中，蓄電池的SOC和協變量 λ隨其導數值的規律變化如下：

綜上所述，根據每次計算偏差值就可以建立起來一套基于實時數據的數值化迭代算法。在求解過程中，每一個瞬時時刻均可以通過計算得到一個Hamilton值從而組成一個向量，而其中的最小元素所在位置對應該時刻DCDC輸出功率向量中的最優功率輸出值。

3 仿真計算和討論

UUV作為水下攻防系統的重要組成單元通常工作在特定的循環工況下，這時燃料電池混合動力系統就要在任務執行階段及時滿足能量和功率需求。不同于陸上行駛的車輛，UUV在功率變化通常較為溫和，同時不具備利用制動裝置回收能量的條件。由此可見，最優能量管理策略將會對提高UUV系統的能源利用率具有非常重要的作用。

為了充分驗證基于極小值原理能量管理策略的有效性，將利用某小型UUV的典型功率曲線開展模擬計算，并對計算結果進行深入分析。觀察如圖4所示功率曲線可以看出，整個航程由多個周期循環組成，整個續航時長約6 000 s，其中UUV在同時供應測繪、探測、航行所需的能量時，峰值功率可達到8 000 W，最后混合動力系統和極小值原理的具體參數如表1所示。

從圖5～圖7所展示的變化曲線可以清晰看出，隨著協變量初值 λ0的改變，蓄電池的SOC也隨之有所不同。同時，協變量 λ 的迭代過程也會隨著初始值的改變而受到影響。

圖4 負載功率循環曲線Fig.4 Load power cycling curves

表1 系統參數Tab.1 System parameters

圖5 協變量初值Fig.5 Co-state initial value

從仿真計算結果可以看到，本文建立的極小值控制算法能夠精確控制UUV航行任務過程中的能量分配，從而使得蓄電池SOC從初始狀態持續下降至允許范圍內的最小值。正是由于在航行過程中充分利用了蓄電池內部存儲的能量，相應減少了燃料電池的工作變化頻次和工作總時長。由于蓄電池在輸出同等功率或能量時的等效氫耗量低于燃料電池，因此系統的等效總消耗量得到了有效控制。

圖6 協變量初值Fig.6 Co-state initial value

圖7 協變量初值Fig.7 Co-state initial value

進一步來看，圖5～圖7所示的打靶過程盡管初始協變量不同，但是最終都收斂至最優協變量所處的某個鄰域內（ λ0=-10時收斂至-14.83， λ0=-15時收斂至-14.84， λ0=-20時收斂至-14.86），這也就說明了打靶法求解極小值問題時具有非常好的魯棒性，相對應的SOC也均下降至25%±0.1%所在的區間內。從圖8所示的3條協變量最優軌跡對比圖可以看出，不同初始條件下的最優解趨勢相同、近乎重合，這就說明，混合動力系統工作過程中的最優能量分配方案是唯一的，而提出的基于極小值原理的能量分配策略總能從不同的起始點收斂至唯一的最優解。除此之外，仔細對比仿真計算結果可以發現，伴隨著 λ 的增大，蓄電池SOC逐步減小，這也從側面印證了協變量對Hamilton方程求解過程和數值解的影響。最終，根據求得的最優協變量和最優軌跡就可以得到每個時刻下的最優能量分配方法。

圖8 協變量最優軌跡Fig.8 Optimal co-state trajectory

4 結 語

本文從燃料電池的輸出特性入手，對極小值原理在混合動力系統的能量管理領域的應用進行了分析，以實現等效氫耗量最小為目標，通過建立Hamilton方程求出了滿足約束條件的最優能量數值解計算方法。為了驗證方法的可行性，在報告最后利用某小型UUV典型功率負載曲線完成了模擬計算，結果顯示提出的能量控制策略能夠實現在線實時能量最有分配，使得系統的等效氫氣消耗量最小化，蓄電池SOC達到預期值。

1）針對UUV工作場景的特征，分析氫氧燃料電池和氫空燃料電池工作特性差異，提出了將等效氫耗量作為混合動力系統能量管理的優化方向；

2）在分析極小值原理的數學特性后，將UUV能量管理系統的約束優化問題轉化為Hamilton方程，從而把求解全局最優解轉變為求解局部最優解，為實現在線能量控制提供了可能；

3）針對實時系統中解析解不利于計算的缺陷，提出了使用數值化方法求解Hamilton方程的思路。算法將SOC作為目標量，蓄電池輸出電流作為控制量，通過使用數值優化方法迭代優化協變量初始值，最終求解出最優協變量初值和軌跡，實現UUV上不同能量單元之間的實時最優能量調節。

極小值原理的應用大大提高了系統的能量轉換效率，而且改變了以往動態規劃法或神經網絡法不適用于實時系統的不足，可用于未來UUV混合動力系統的能量管理開發。