用介電質超表面產生準艾里光束

吳雙寶，文 靜

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引 言

艾里波包的概念最早是在1979年由Berry等在量子理論的背景下通過求解薛定諤方程得出的[1]。艾里光束是由Siviloglou等[2]在2007年通過提出截趾因子把無限能量的艾里波包截趾成有限能量才得以第一次引入到光學中，并于同年得到了實驗驗證[3]。此后，艾里光束的產生方法和艾里光束的性質被廣泛研究。目前艾里光束的產生方法主要有：利用空間光調制器（ SLM）加載立方相位模片再經過傅里葉變換得到[3-4]；利用光刻膠制作的連續相位板來調制高斯光束得到[5]；通過徑向3/2相位編碼在相位掩模對入射光束的不同位置改變不同衍射角來生成艾里光束[6]；在金屬等表面薄膜上按照艾里函數振蕩振幅分布和交替相位分布刻蝕出相應的光柵圖案來產生艾里形式的表面等離激元[7-9]；利用二次非線性光子晶體[10]產生艾里光束等。同時，由于艾里光束的無衍射和自加速等特性，人們對艾里光束的傳輸性質[11-13]和應用[14-19]都做了大量的研究。對于利用液晶空間光調制器產生艾里光束的方法，SLM較大的體積及其所導致太過龐大的系統，因此不利于粒子操控的微納應用。此外，還需要小心地調整高斯光束的束腰直徑，以使其能和加載到SLM上的相位相匹配。對于表面等離子體激元法，通常產生的都是一維的艾里光束。

為了克服上述產生艾里光束的缺點，本文設計了一種全介電質幾何相位型超表面[20-21]來生成艾里光束，亦稱作準艾里光束。與傳統的通過面形和厚度來實現光調制的光學元件或衍射光學元件相比，本文所設計的超表面器件具有超薄的結構，更利于與其他器件進行集成，同時還擁有更加靈活的相位調控能力等優點。為了說明所設計的超表面的有效性，還使用了有限時域差分（FDTD）算法進行了仿真。

1 介電質超表面產生艾里光束原理

1.1 介電質超表面結構

對于各向異性[22]的超表面，假設其主軸的局域坐標系由u和v構成，與笛卡爾坐標系的夾角為θ，如圖1（a）所示。假定兩個主軸方向的投射復振幅分別是tu和tv，幾何相位的產生可以通過瓊斯矩陣來描述，即

圖1 硅納米柱的幾何尺寸與旋轉角度Fig.1 The geometry and rotation angle of silicon nanopillars

當入射光束是左旋圓偏振光時，光束經過各向異性超表面后，輸出的電場信息可表示為

由式（2）可知，當左旋圓偏振入射光經過各向異性的超表面后，出射的電場含有原左旋圓偏振光的電磁波外，還含有復振幅為 (tu-tv)e2iθ的右旋圓偏振的電磁波，并且多了與夾角θ有關的附加相位。幾何相位型超表面的單元結構對不同的偏振態具有各向異性，tu和tv是不相等的，這也就導致了偏振轉化效率的差異。由此說明，為了能讓器件高效地工作，需要使出射光中含有與入射光旋向相反的光能量盡可能的高。

超表面器件由如圖1（b）所示的單元結構組成。在材料為SiO2的基底上分布有不同旋轉角θ的納米硅柱，圖中周期P為290 nm，長L為190 nm，寬W為95 nm，高H為380 nm，單元結構的偏振轉化效率為83%。當結構幾何尺寸不變而改變旋轉角θ時，器件可以產生0～2π的相位分布。對于左旋圓偏振入射光，器件的偏振轉換效率由出射的右旋圓偏振光功率除以入射光的功率得到。在考慮實際器件加工工藝水平的基礎上，通過有限時域差分（FDTD）算法來優化得到最終器件的長、寬、高、周期的數值，使其能夠在設計的波長處高效率地工作。

1.2 艾里光束產生原理

二維有限能量的艾里光束在初始位置處可以表示為

式中：Ai為艾里函數；x0和y0都為橫向縮放因子，通常情況下x0=y0；a為衰減因子。對初始位置處的光場分布進行傅里葉變換，可以得到其傅里葉頻譜分布，即

式中： F 為傅里葉變換；kx和ky都為空間頻率坐標；b為常數。可以看出，有限能量的艾里光束的傅里葉譜是一個由立方相位調制的高斯型分布。在得到頻譜面的信息后，就可以利用透鏡的傅里葉變換性質來產生艾里光束，產生艾里光束的原理如圖2所示。在透鏡的前焦面上放置一個被適當束腰的高斯光束照亮的具有立方相位分布的衍射屏，這時在透鏡的后焦面上就可以得到艾里光束。但是這個方法使得光學傅里葉變換的系統長度達到了2f，不利于系統集成和小型化。同時該方法還需要調整高斯光束的束腰，使其和立方相位模片的大小相匹配。

圖2 艾里光束產生原理Fig.2 Principle of generation of Airy beam

本文利用文獻[23]中所用到的方法，即利用菲涅耳全息透鏡來實現傅里葉變換。對菲涅耳全息透鏡的相位信息進行編碼并將其疊加到對應的立方相位中，由于編碼是離散的，所以需要滿足奈奎斯特采樣定理，菲涅耳透鏡的焦距[24]應該不小于NP2/λ （λ為波長，N為超表面器件橫向的像素數，P為超表面單元周期長度）。

對于艾里光束的傅里葉譜，其復振幅函數由呈高斯分布的振幅和呈立方分布的相位組成，可以表示為

式中：A(kx,ky) 為高斯振幅；為立方相位。為了得到高斯振幅，通常會采用高斯光束作為入射光，而本文采用平面波作為入射光束，并利用Davis等[25]提出的純相位的編碼方式，將振幅的信息疊加到相位中。當振幅信息疊加到相位中，光束的復振幅函數可表示為

圖3 利用超表面產生準艾里光束Fig.3 Using metasurface to generate quasi Airy beam

2 仿真和結果分析

利用FDTD算法仿真來對本文設計的能夠生成艾里光束的全介質超表面器件進行驗證。由于幾何相位的偏振敏感特性[26]，仿真采用左旋圓偏振狀態的平面波作為光源，光源波長是630 nm，縮放因子x0=y0= 0.3 μm，b= 0.03，起傅里葉變換作用的菲涅耳全息透鏡的焦距是18 μm。由于光源是左旋圓偏振光，根據式（2）可知，出射光束會轉換為與入射光相反旋向的光束。由于受偏振轉換效率的限制，出射光中還會攜帶有原來的左旋圓偏振光的成分，我們將其視作噪聲而將其過濾掉，以下仿真結果均為已過濾噪聲后所得的結果。

以超表面平面作為z= 0平面，如圖4為艾里光束在不同傳播距離處的光場分布，分別記錄了z= 20 μm、25 μm、30 μm、35 μm、40 μm 處的光場信息，所有的強度分布都是經歸一化后的結果，所有橫向白色標尺均為4 μm。其中圖4（a）～（e）是將總相位（將振幅信息進行編碼疊加到相位，再加上菲涅耳透鏡相位得到的總相位）加載到超表面上后經FDTD仿真得到的結果；圖4（f）～（j）是沒有將艾里光束頻譜的高斯分布振幅信息編碼進總相位中，僅僅只有立方相位加上菲涅耳相位的編碼，不包含振幅的信息，其他參數均與（a）～（e）相同。對比兩種仿真結果可以發現，這種通過編碼菲涅耳透鏡到頻譜相位中來進行傅里葉變換進而產生準艾里光束的方式，在缺乏振幅信息的情況下不會對準艾里光束的軌跡和光場分布產生明顯影響。由此說明，對于這種產生艾里光束的方式，振幅信息不是必要的信息，于是可以簡化流程，可以更方便地產生艾里光束。

圖4 振幅相位同時調制和僅相位調制的超表面產生準艾里光束在不同平面處的光場分布Fig.4 The optical field distribution of quasi Airy beams in different planes produced by a metasurface with simultaneous amplitude and phase modulation and only phase modulation

從圖4可以看出，隨著傳播距離的增加，艾里光束（亦稱作準艾里光束）的主瓣和兩翼的尺寸都會逐漸增大。這種逐漸擴散的原因是我們利用了菲涅耳全息透鏡而非一般的球面透鏡來進行傅里葉變換，這種方法縮短了傅里葉變換所需的2倍焦距的長度，但同時也帶來了一個菲涅耳衍射問題。將式（5）乘上透鏡的透射函數并以透鏡位置作為初始平面，則在透鏡后焦面處的復振幅分布可表示為

式（8）表明，在透鏡的后焦面上，除了含有頻譜面復振幅分布的傅里葉變換之外，還含有一個振幅和二次相位分布。我們知道，頻譜面經傅里葉變換后的分布正是艾里光束的復振幅分布，而正是這個附加的二次方相位，使得我們所得到的光束并不是真正意義上的艾里光束，所以我們將其稱之為準艾里光束。

這種方法除了會產生一個類似球差并使光斑放大的效果外，還會使艾里光束的主瓣軌跡發生改變。理論上，艾里光束的主瓣軌跡在y方向可以描述為而利用本文方法產生的準艾里光束的主瓣軌跡[4]為y=cz2/(z+f) （其中c是一個常數）。所以這種方法產生的準艾里光束不再是一個拋物線，如圖5所示。

為了驗證本文方法產生的準艾里光束的自修復性質，我們在前述準艾里光束主瓣的傳播路徑上，放置了一個邊長為1 μm的硅方塊作為障礙物阻礙光束的傳播，并測試了z=20 μm、25 μm、30 μm、35 μm 處的光場分布，結果如圖6所示。從圖6可以看出，準艾里光束在被障礙物阻擋后，很快就恢復了原有的輪廓。

圖5 超表面產生的準艾里光束和相同參數的艾里光束的軌跡對比Fig.5 Comparison of the trajectory of the quasi Airy beam generated by the metasurface and the Airy beam with the same parameters

圖6 準艾里光束的自修復特性Fig.6 Self-healing characteristics of quasi Airy beam

3 結 論

傅里葉變換法是一種典型的產生艾里光束的方法，相較于傳統的利用入射高斯光束獲得振幅信息的方法，我們將振幅信息和相位信息同時編碼并采用平面波作為入射光來產生艾里光束。本文使用全介電質超表面來產生艾里光束，利用FDTD算法驗證了本文設計的全介電質超表面器件在波長630 nm處可以有效的工作。相較于傳統的液晶空間光調制器（SLM）產生艾里光束方法，由于本文所采用的超表面具有亞波長的單元尺寸，可以有效解決液晶空間光調制器的單個像素尺寸較大而使相位梯度較小的限制，同時超表面器件作為一種超薄器件，比液晶空間光調制器更加有利于系統集成。研究發現，利用本文方法產生的準艾里光束其頻譜的高斯振幅可以忽略，這方便了艾里光束的產生。由于本文所設計的超表面器件產生的并不是嚴格意義上的艾里光束，而是隨傳播距離的增加光束輪廓會不斷放大的準艾里光束，因此下一步的研究方向是消除因編碼菲涅耳透鏡相位來做傅里葉變換引入的誤差。