數(shù)學形態(tài)學下的多尺度灰度圖像增強應用分析

謝 瑾

（蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 蘭州 730100）

數(shù)學形態(tài)學在圖像處理方面的基本原理是將圖像當做一個集合，以某種形狀的結構因子與圖像加以求補、移位、交、并的集合運算，不同的集合運算形成了不同形態(tài)的數(shù)學運算結果[1-2]。數(shù)學形態(tài)學在圖像處理中可以分為二值數(shù)學形態(tài)學和灰度數(shù)學形態(tài)學，二值數(shù)學形態(tài)學處理圖像的原理是數(shù)學集合的交與并的運算，而灰度數(shù)學形態(tài)學主要關注極大值與極小值的運算。

1 灰度數(shù)學形態(tài)學在圖像運算中的腐蝕與膨脹

假設原灰度圖像為 f（x，y），結構元素為 b（x，y），其中整數(shù)集合為 Z，另設 （x，y）為 Z×Z 中的元素，則 f（x，y），b（x，y）分別為圖像及結構元素位于（x，y）的灰度值。

定義 1結構元素 b（x，y）對原灰度圖像 f（x，y）的形態(tài)學腐蝕用f?b 表示為

式中：Df與Db分別表示 f（x，y），b（x，y）的定義域。

所謂腐蝕，即腐蝕變換，指的是在結構元素確定的鄰域塊中選取圖像值和結構元素值進行減運算得到的最小值。

定義 2將結構元素 b（x，y）對原灰度圖像 f（x，y）的數(shù)學形態(tài)學膨脹描述用f⊙b 表示為

式中：Df與Db分別表示 f（x，y），b（x，y）的定義域。

根據(jù)腐蝕的含義，腐蝕變換是在結構元素確定的鄰域塊中選取圖像值和結構元素值進行減運算得到的最大值。灰度圖像的腐蝕與膨脹變換對比，見圖1。

圖1 灰度圖像的腐蝕與膨脹變換對比圖

選取3×3 的結構元素，對原灰度圖像分別進行腐蝕和膨脹運算，從圖1-b 能夠明顯得到腐蝕變換加深了圖像整體暗度的結論，同時使圖像的邊緣更加細膩；從圖1-c 能夠得到膨脹變換對圖像處理結果與腐蝕變換相反的結論[3-4]。

2 對多尺度灰度圖像增強算法分析

灰度數(shù)學形態(tài)學變換的原理，即從原輸入圖像中所得的差進行開運算，得到的圖像能夠表現(xiàn)出某些明顯的特征，本文根據(jù)所選圖像將此變換定義為Lady-Hat （LH）增強變換，可以表示為

式中：b表示結構元素；f表示原輸入圖像。進行開運算的目的是盡量過濾掉小于結構元素尺寸的高亮部分。利用式 （3）獲取圖像中的峰值信號，因此也可以把式 （3）叫做亮Lady-Hat （HLH）增強變換，主要作用是可以獲取圖像中小于結構元素尺寸的亮特征。除此之外，還可將式 （3）定義算子的對偶算子表示為

閉運算可以過濾掉小于結構元素尺寸的灰暗點，利用式 （4）獲取圖像中的波谷信號，把式（4）叫做暗Lady-Hat （LLH）增強變換，主要作用是可以獲取圖像中小于結構元素尺寸的暗特征。

Bai X Z 等[5]將多尺度分析應用于圖像的銳化增強處理中，采用的思路是先選擇特定形態(tài)的結構元素基于Lady-Hat 增強變換提取圖像中的亮、暗詳細特征，分別對亮、暗詳細特征進行增強運算，再將分開得到的結果結合，重新構成符合原灰度圖像結構的增強圖像，其運算原理表示為

式中：g 為增強變換之后的最終圖像；f 為原輸入圖像；i 為尺度。這種圖像增強變換方式會對圖像產生增強效果，但是考慮到結構元素的尺度以及灰度圖像的多尺度問題，仍可以對算法進行優(yōu)化。在灰度數(shù)學形態(tài)學的變換中，在結構元素的選擇上如果尺度過小，在圖像的變換中可能產生多余噪聲；相對應的，如果尺度過大，又會導致在圖像變換中必要細節(jié)的缺失，邊緣變得模糊。避免以上問題的關鍵在于結構元素的尺度選擇要合理，選擇多尺度的結構元素可以有效地解決以上問題，多尺度結構元素可以表示為

式中：b0表示小尺度結構元素；n 表示膨脹次數(shù)。則較大尺度的結構元素可以由小尺度的結構元素經(jīng)過（n-1）次膨脹獲取。把多尺度的思路應用到Lady-Hat 增強變換中去，于是獲取了多尺度Lady-Hat 增強變換算法。HLH 增強變換的表達式為

LLH 增強變換的表達式為

根據(jù)式 （7）和式 （8）能夠獲取原輸入圖像不同尺度下的亮部與暗部的詳細特征。圖2 為示例圖像的多尺度Lady-Hat 增強變換下獲取的詳細特征。

圖2 多尺度增強變換詳細特征對比圖

隨著尺度i 數(shù)值的增大，結構元素的尺寸隨之增加，從得到圖像的結果能夠看出獲取到的小尺度的圖像細節(jié)特征逐漸增多，冗余也越來越明顯。如果能夠得到不同尺度下的有效細節(jié)特征，進而提出冗余得到優(yōu)化的細節(jié)特征[6]，提煉算法表示為

圖3 為根據(jù)式 （9）和式 （10）為示例圖像的多尺度Lady-Hat 無冗余下獲取的詳細特征。

圖3 多尺度無冗余詳細特征對比圖

在最大尺度為n 時可以按照式 （9）和式 （10）對原灰度圖像做Lady-Hat 增強變換，同時獲取多尺度的有效亮部和暗部的詳細特征，具體表示為

在獲取原灰度圖像的亮部及暗部詳細信息后就可以對圖像進行重構計算，達到圖像增強的目的。圖像的詳細特征載體主要是像素以及其區(qū)域背景的對比度，要想實現(xiàn)圖像的增強，要對圖像的亮部和暗部細節(jié)以相同的比重構建[7]，在本算法中主要體現(xiàn)在相同尺度下二者選取相同的權值，將本文所用的多尺度Lady-Hat 增強變換的最終算法表示為

式 （13）中的權值λi決定了圖像轉換后亮部與暗部詳細信息的比例，通常取值為[1/2，1]，實際比例會因為各個尺度的變換而變化。因此，在運算中需同時考慮尺度i 和權值λi。在現(xiàn)實生活中，人的視覺往往在多尺度范圍較小的Lady-Hat 增強變換獲取的細節(jié)中表現(xiàn)出顯著的敏感性，那么就需要在圖像的增強運算中，為小尺度的Lady-Hat 增強變換賦予相對較大的權值，為大尺度的Lady-Hat 增強變換賦予相對較小的權值，于是可以用λi表示尺度為i 的權值，表示為

得到尺度i 與權值λi的對應數(shù)據(jù)表，見表1。

表1 尺度與權值取值的對應表

多尺度灰度圖像優(yōu)化算法下的圖像轉換效果見圖4，可以看出經(jīng)過多尺度優(yōu)化后的算法對圖像進行轉換，亮、暗顯著優(yōu)于簡單尺度的增強效果。

圖4 多尺度優(yōu)化算法下的Lady-Hat 圖像轉換效果對比圖

3 結束語

多尺度灰度圖像的增強算法是基于灰度數(shù)學形態(tài)學的基本原理，通過仿真實驗發(fā)現(xiàn)，多尺度灰度圖像的細節(jié)增強方法使得增強后的圖像細節(jié)突出、信息含量增加，圖像綜合質量明顯好轉，但是仍存在部分亮、暗細節(jié)模糊的問題，值得對模糊原因及清除方法進行更深入地研究。