Kersten-Krasil’shchik 耦合KdV-mKdV 方程的達(dá)布-貝克隆變換

高 鵬,薛玲玲

（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,浙江 寧波 315211）

Korteweg-de Vries(KdV)方程是孤立子理論中非常重要的方程.它有N=1[1]和N=2[2]超對(duì)稱形式,當(dāng)中N=2,a=1超對(duì)稱KdV 方程為[2-6]:

其中,Di=?/?θi+θi(?/?x),(i=1,2)為超導(dǎo)數(shù);Φ=Φ(x,t,θ1,θ2)是依賴于時(shí)間變量t、空間變量x及Grassmann 奇變量θ1與θ2的玻色函數(shù).設(shè)Φ=v+θ2β,其中,β=β(x,t,θ1),v=v(x,t,θ1)分別是費(fèi)米函數(shù)和玻色函數(shù),式(1)可改寫為N=1 的超對(duì)稱形式:

其中,D≡D1.令β=θ1u(x,t),v=w(x,t),式(2)退化為經(jīng)典方程:

當(dāng)w=0時(shí),式(3)約化為KdV 方程ut=(-uxx+3u2)x;當(dāng)u=0時(shí),式(3)約化為wt=-wxxx+3w2wx和(wwxx)x=0,前者是mKdV 方程.因此,人們將方程(3)稱為Kersten-Krasil’shchik 耦合KdV-mKdV方程[7].此外,令w=iφ,u=-φx(i2=-1),式(3)還可約化為3 階Burgers 方程φt=-(φxx+3φφx+φ3)x.

耦合KdV-mKdV 方程(3)的很多性質(zhì)已被研究.Kersten 和Krasil’shchik 證明該方程完全可積性,即存在遞推算子和無窮多對(duì)稱[7].隨后,Kalkanli 等[8]證明它具有Painlevé 性質(zhì)和Lax 對(duì),Hon 等[9]獲得了它的孤子解和雙周期波解,Qin 等[10]得到了它的雙線性形式并給出了N-孤子解.最近,Rui 等[11]構(gòu)造了它的擬周期解,Qasim 等[12]得到了近似解.但據(jù)我們所知,它的達(dá)布變換和貝克隆變換尚未被研究.

達(dá)布變換在孤立子理論和可積系統(tǒng)的研究中起著至關(guān)重要的作用,其可以有效地構(gòu)造出非線性系統(tǒng)不同形式的精確解[13-14].由達(dá)布變換可推導(dǎo)出貝克隆變換,即從一個(gè)已知解出發(fā)對(duì)貝克隆變換積分求得新解.依據(jù)Bianchi 的可交換性定理,由貝克隆變換可以生成非線性疊加公式,從而只需通過微分和代數(shù)計(jì)算便可以求出新解[15].本文將從耦合KdV-mKdV 方程的矩陣形式的線性問題出發(fā),作規(guī)范變換推導(dǎo)達(dá)布變換和相應(yīng)的貝克隆變換,進(jìn)而構(gòu)造非線性疊加公式,從而為進(jìn)一步研究式(3)的解和構(gòu)造式(1)的達(dá)布變換和非線性疊加公式提供理論基礎(chǔ).

1 達(dá)布變換

方便起見,引入變量φ和φ使得w=iφx,u=-φx.由式(3)得到勢(shì)KdV-mKdV 方程:

由式(2)的Lax 對(duì)[6]可以得到式(4)的Lax 對(duì):

fx+φxg-λf=0,

其中,λ為譜參數(shù).引入變量h使得hx=gφx+φxfx,并令Ψ=[f,g,h]T,式(5)可改寫為矩陣形式:

其中,

可以驗(yàn)證式(6)的相容性條件,即零曲率方程

等價(jià)于式(3).注意到,通過規(guī)范變換[13]:

式(6)等價(jià)于文獻(xiàn)[10]給出的Lax 對(duì).

接下來,構(gòu)造線性系統(tǒng)(6)的達(dá)布變換.假設(shè)存在一個(gè)規(guī)范變換:

使得～Ψ滿足:

假設(shè)待定矩陣T關(guān)于λ是一次的,即T=λH+G,其中,H和G是與λ無關(guān)的 3×3 矩陣,并且將M改寫為:

比較式(9)第1個(gè)式子中λ的各次冪系數(shù),得到矩陣方程:

由式(10)可得:

其中,c、s、hij和gij是待定函數(shù),且滿足以下超定方程:

由式(11)知h33為常數(shù).不失一般性,取h33=1.

為得到簡(jiǎn)潔的達(dá)布矩陣,取式(15)的特解,即g21=0.再由式(14)可得g11=k1,其中,k1是積分常數(shù).

將式(16)和式(19)相加,式(17)和式(18)相減,分別得到:

取其特解:

此時(shí)式(16)和式(17)可分別化為:

引入輔助變量r,使得

并取式(24)的特解:

下面將r和其他未知變量用線性系統(tǒng)(6)的解來表示.取Ψ1=[f1,g1,h1]T是線性系統(tǒng)(6)當(dāng)λ=λ1時(shí)的解.特別地,由式(6)的第1 個(gè)矩陣方程得:

先求解式(28).

將式(12)整理為:

為了從式(28)中求出r,擬設(shè)r=r(f1,g1).利用式(27)的前2 個(gè)式子,g12的表達(dá)式可改寫為:

將式(31)代入式(28),并比較φx和h1的系數(shù),分別得到以下方程:

式(32)的解為:

其中,k2是積分常數(shù).將式(33)代入式(28),可得k1=-λ1.

然后,求解式(29)和式(30),分別得到:

利用式(25)、(26)、(33)和(34),比較式(13)和式(35)可得:

最后,由式(20)可得k2=0.可以驗(yàn)證式(21)～(23)成立,式(9)的第2 個(gè)矩陣方程也成立.我們將結(jié)果整理為以下定理.

定理1設(shè)Ψ1=[f1,g1,h1]T是線性系統(tǒng)(6)當(dāng)λ=1λ時(shí)的解,定義

其中,

則式(7)滿足式(8).其中,T是達(dá)布矩陣.

需要說明的是,為了給下一節(jié)做鋪墊,式(38)中的達(dá)布矩陣T已經(jīng)用輔助變量r和ρ來表示,即線性系統(tǒng)(6)的解以及φ.下面我們用場(chǎng)變量φ、φ、來表示達(dá)布矩陣T.利用式(36)和式(37),把輔助變量r和ρ改寫成:

同理,由式(9)的第2 個(gè)矩陣方程可得耦合KdV-mKdV 方程時(shí)間部分的貝克隆變換:

2 非線性疊加公式

貝克隆變換式(40)和(41)建立了勢(shì)耦合KdVmKdV 方程(4)的新解與舊解(φ,φ)之間的聯(lián)系.從一個(gè)已知解出發(fā),對(duì)貝克隆變換進(jìn)行積分一次就可以得到新解,但構(gòu)造大量的新解有一定困難.由達(dá)布-貝克隆變換的可交換性可獲得非線性疊加公式,利用它只需通過微分和代數(shù)運(yùn)算便可以得到新解[14].

利用達(dá)布變換(7)以及式(38)和式(39),我們考慮一對(duì)達(dá)布變換:

其中,

因此,對(duì)于給定方程(4)的3 組解(φ,φ)、和,利用式(44)便可以得到新解.