基于GABP和改進NSGA-Ⅱ的高速干切滾齒工藝參數多目標優化決策

劉藝繁 閻春平 倪恒欣 牟 云

重慶大學機械傳動國家重點實驗室,重慶,400030

0 引言

高速干切滾齒加工是一種符合齒輪加工發展方向的加工技術，相比傳統濕式滾齒加工，高速干切滾齒的加工效率明顯提高，同時避免了切削液的使用，加工過程更加環保[1]。高速干切滾齒加工過程中，切削熱量高且釋放不均勻，工藝參數的調整會影響加工刀具與工件的受熱分布情況，進而影響加工能耗、刀具壽命和加工質量[2]，故需要研究高速干切滾齒加工過程中刀具壽命、加工效率、加工能耗、工件質量等與工藝參數之間的關系，在延長刀具壽命的同時，降低加工能耗、加工時間與加工成本，實現高速干切滾齒加工特性的最優化[3]。

目前國內外學者針對滾齒加工參數優化研究的主要目標包括加工時間、切削精度、切削振動、刀具壽命及加工成本等。KANE等[4]建立滾齒加工參數與加工成本的函數模型，對滾刀轉速和進給量進行了優化。KARPUSCHEWSKI等[5]通過試驗研究了加工參數對滾刀刀具磨損、刀具壽命的影響規律，并將其用于提高齒輪的加工精度，得到最優的滾刀轉速和進給量范圍。YANG等[6]分析切削熱傳遞三階段，以滾刀轉速、進給量和空氣流速等加工參數為變量，建立面向切削時間和切削熱量的優化模型。SANT’ANNA等[7]構建了滾刀沖擊頻率與加工參數的優化函數模型，通過試驗分析加工參數對滾齒切削振動的影響規律。SUN等[8]應用改進粒子群算法建立了滾齒加工工藝參數與齒輪幾何偏差的關系模型，通過減小最小齒形幾何誤差來提高齒輪加工精度。

隨著能源消耗問題日趨嚴峻，已有學者針對滾齒加工參數能耗優化問題進行了深入研究。CAI等[9]通過滾齒加工試驗對滾齒切削時間和比能進行優化研究，發現在一定范圍內提高切削轉速能縮短切削時間和降低切削消耗。CAO等[10]通過試驗研究建立滾齒加工成本和能耗的優化模型，提出一種蟻獅搜索算法對加工參數進行優化以降低切削能耗。LIU等[11]提出一種模糊自適應控制方法，通過加工試驗實時優化改變滾刀軸向進給速率，使切削扭矩恒定來縮短加工時間和降低切削過程能耗。鐘健等[12]提出一種基于實例推理的優化決策方法以降低滾齒切削能耗。

上述研究主要揭示加工參數對滾齒切削能耗的影響規律，針對特定的滾齒機床及加工環境下單個目標的工藝參數優化問題，通過實驗研究獲取最優參數或最優參數范圍，從而構建加工參數與能耗的數值優化模型。隨著機床產品性能迅速提升，包括高速干切滾齒機床在內的加工機床已成為主流加工機床。高速切削不僅需要更多能源消耗，同時對刀具的高速切削性能提出更為嚴苛的要求。一方面，高速切削時刀具的切削溫度隨之升高，若數控程序或切削參數設置不當，會造成刀尖溫度快速上升，加工滾刀磨損嚴重，從而直接導致刀具壽命急劇下降；另一方面，滾刀切削壽命與工藝參數之間并不存在線性映射關系，研究滾刀切削壽命、加工能耗與加工參數的關系，構建較精確的綜合優化模型是高速干切滾齒加工的必然發展方向，也是企業實際加工的迫切需求。

本文針對具體的高速干切滾齒工藝參數決策優化問題，基于第二代非支配排序遺傳算法(nondominated sorting genetic algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ)構建主體優化模型，以加工能耗最小、刀具壽命最大為優化目標，基于DBSCAN(density based spatial clustering of applications with noise)算法得到與滾齒工藝問題的加工條件相近的實際加工樣本集，獲取多目標優化模型輸入區間，利用遺傳-反向傳播算法(genetic algorithm-back propagation, GABP)神經網絡構建加工優化目標值的預測模型并作為適應度函數，迭代優化出與待優化滾齒工藝問題匹配的Pareto最優解。

1 高速干切滾齒工藝參數優化問題的總體分析

1.1 問題描述

將待優化工藝問題記為U=(R0,P0,R,P,OP,S)，其中，R={r1,r2,…}記為加工條件集,P={p1,p2,…}記為加工工藝參數集，OP={W1,T1;W2,T2；…}記為優化目標集，S={s1,s2,…}記為約束參數集，R0、P0分別為滾齒工藝問題的加工條件與加工工藝參數，Ti為刀具壽命，Wi為加工能耗，si為每一個工藝樣本中的約束參數集。

1.2 優化變量

在工藝參數決策中，不僅需要確定切削深度、進給量和切削速度，為了精確優化加工能耗與滾刀壽命，還需要確定滾刀頭數、軸向進給速度、主軸轉速等參數。由于切削深度對機床床身、滾刀、工件變形影響小，不足以影響滾刀切削壽命，故不考慮將切削深度作為優化變量；而在車間實際加工過程中，由于機床性能的提高，為了提高生產效率，通常采用最大切削深度和進給量進行滾齒粗加工，故不考慮將進給量作為優化變量。切削速度、滾刀頭數、軸向進給速度、主軸轉速對加工優化目標影響較為明顯，因此，將滾刀頭數、切削速度、滾刀轉速、軸向進給速度確定為優化變量。

1.3 優化適應度函數

本文主要從加工能耗和刀具壽命兩個方向進行優化，將適應度函數記為

F(ri,pi)=QWT

(1)

其中，QWT為由能耗值與刀具壽命值組成的二維矩陣。通過輸入具體的加工條件與工藝參數，得到預測的加工能耗與刀具壽命，從而支持優化模型進一步篩選迭代。ri由加工條件下參數具體值組成，見表1；pi由具體優化變量值組成，見表2。

表1 加工條件

表2 優化變量

1.4 約束條件

高速干切滾齒機床工藝參數的選擇，是在機床自身性能和保證滾齒機床加工零部件質量等前提條件下進行的[13]，需要滿足包括滾刀主軸轉速、軸向進給速度、切削速度、加工質量、加工時間、機床性能等多種約束條件。由于相似加工樣本集內樣本與滾齒工藝問題的加工條件具有較理想的匹配度，在同一滾齒機床與場地條件下，機床性能相同，故本文排除機床性能不同產生的影響；工藝樣本集是基于同一類型滾刀加工的數據，因此不考慮刀具類型不同所產生的影響；本文中滾刀主軸轉速、軸向進給速度、切削速度等作為輸入變量并通過DBSCAN算法獲取取值區間，因此不作為約束條件。本文將加工質量和加工時間作為優化模型的約束條件。

2 基于GABP神經網絡和改進NSGA-Ⅱ算法的多目標優化模型構建

2.1 多目標優化模型概述

本文基于改進NSGA-Ⅱ算法構建優化模型，通過聚類算法從工藝樣本集中獲取輸入輸出約束，以基于GABP神經網絡構建的預測模型作為適應度函數，不斷生成并迭代更新工藝參數集，最終輸出Pareto最優解。

2.2 GABP神經網絡預測模型的生成

反向傳播(BP)神經網絡作為一種具有連續傳遞函數的多層前饋人工神經網絡,廣泛應用于預測與分類領域，其缺點在于：隱含層神經元個數仍然沒有標準的選取規則；在訓練神經網絡的過程中，若使用隨機生成的原始網絡結構，易于產生局部最優解，進而影響精度。GABP神經網絡作為一種基于遺傳算法(GA)改進的神經網絡，利用遺傳算法的全局尋優能力強、收斂效率高的特性，對神經網絡的原始結構參數進行編碼與迭代優化，能夠有效改進傳統BP神經網絡的不足之處，進而提高預測的準確性。

(2)

式中，K為樣本數目。

為了消除不同輸入項的量綱影響，對樣本值進行歸一化處理：

(3)

式中，d、d′分別為轉換前后的值；dmin、dmax分別為樣本值轉換前的最小值、最大值,處理后數值區間為[0,1]。

GABP算法優化神經網絡結構參數的個體由以下4部分組成：OF與LF連接權值、LF閾值、LF與IF連接權值、IF閾值，將這些數值進行10位二進制編碼，連接起來作為一個個體編碼。為降低BP神經網絡預測誤差，選擇預測樣本的輸出值與期望值的誤差范數式作為適應度函數的輸出，即

(4)

式中，xi為預測能耗和刀具壽命與其實際值之差；X為由xi組成的一維矩陣。

面向高速干切滾齒加工效果預測的GABP算法主要流程如下：基于神經網絡結構生成初始種群，考慮到控制個體長度和個體數據項的精度，需要為個體進行二進制編碼，將每次BP神經網絡訓練的輸出誤差的范數輸出作為遺傳算法的適應度函數值，經遺傳算法產生新一代種群后，再次進行神經網絡解碼訓練，最終得到最優的神經網絡原始結構參數，見圖1。面向高速干切滾齒加工效果預測的GABP算法主要步驟如下：①基于神經網絡結構生成初始種群；②針對當前種群，考慮到控制個體長度和個體數據項的精度，需要為每個個體進行二進制編碼，將當前種群個體作為神經網絡結構參數進行訓練，每次BP神經網絡訓練的輸出誤差的范數輸出作為遺傳算法的適應度函數值；③根據適應度函數值進行交叉、變異，產生新一代種群后，若不滿足終止條件則返回步驟②再次進行神經網絡訓練；否則轉下一步驟；④解碼當前種群個體后，最終得到最優的神經網絡原始結構參數。

圖1 面向高速干切滾齒加工效果預測的GABP神經網絡結構Fig.1 GABP neural network structure for predictionof high speed dry hobbing results

2.3 相似加工樣本集的生成

通過改進NSGA-Ⅱ算法迭代尋找最優的工藝參數時，首先需要確定生成新個體工藝參數的取值區間。本文基于滾齒加工樣本集，尋找與待決策滾齒工藝問題相似度較高的樣本集，將相似樣本集中的各項工藝參數上下限值作為NSGA-Ⅱ算法生成新個體的工藝參數取值區間，因此，需要一種聚類算法完成相似工藝樣本集的獲取。

DBSCAN算法是一種常用于非連續數據集的聚類算法，具有較強的篩噪能力、主動聚類能力和搜索能力，其主要思想如下：向當前某個對象簇中不斷添加距離小于某個值E、包含對象數不小于某個閾值mpts的對象，直到不存在符合條件的對象，再對其他對象進行相同的遞歸操作，從而對該對象簇進行擴展。

本文的多目標優化模型需要從工藝樣本集中抽取待優化滾齒工藝問題的相似加工樣本集，進而確定優化模型的輸入區間，DBSCAN算法對滾齒工藝樣本的零散數據能夠較好地進行識別并分類，故以DBSCAN聚類算法作為相似加工工藝樣本集的抽取算法?；贒BSCAN算法的滾齒相似加工工藝樣本集抽取方法的相關定義如下：

定義1Ti鄰域的公式化定義為

NE(ti)={tj∈T|Tdist(ti,tj)≤E}

(5)

式中，E為工藝樣本數據集的密度半徑;T為給定的加工條件集與工藝參數集的并集;ti={ri,pi}，ti的鄰域由所有與其距離Tdist不超過E的工藝樣本集構成。

定義2 任意兩個工藝樣本的距離Tdist(ti,tj)定義為

Tdist(ti,tj)=

(6)

式中，ti1～tik、tj1～tjk分別為ti、tj的k個加工條件項。

定義3 對于ti∈T，如果ti的鄰域滿足

COUNT(NE(ti))≥mpts

(7)

則ti為核心加工條件，如果同時滿足

ti∈NE(ti)

(8)

式中，COUNT表示計算鄰域元素個數；mpts為鄰域密度閾值。

則ti到tj是直接密度可達。 式(8)表示加工條件tj在ti的E鄰域范圍。

定義4 在加工條件集R內，對于任意樣本ti、tj、tk，若滿足ti到tj是直接密度可達的，且tj到ti是直接密度可達的，則稱ti到tk是密度可達的，一個加工條件集ti與其所有密度可達的對象構成一個聚類。

面向高速干切滾齒工藝樣本集，將具體的滾齒工藝問題加入工藝樣本集中，采用DBSCAN算法獲得與滾齒工藝問題的加工條件參數相似度最高的工藝樣本集。DBSCAN算法主要步驟如下:

(1)隨機選取對象。從工藝樣本集中選擇任意一個工藝樣本ti，利用式(2)計算出樣本集中剩余樣本與ti的距離Tdist，如果距離值小于E，則將此樣本加入ti的鄰域NE(ti)中。

(2)核心樣本判斷。若NE(ti)中的樣本數目大于mpts，則標記為核心樣本，建立對應的簇C，否則標記為邊界點或者噪聲，返回步驟(1)。

(3)對簇C中的其余工藝樣本tk進行鄰域計算，如果存在某樣本ti也為核心對象，且其鄰域點tk不在簇C中，則將ti加入簇C中。

(4)待所有工藝樣本都迭代完畢并被標記以后，得到多個工藝樣本聚類，按約束條件對包含待決策工藝問題的聚類進行篩選，得到相似工藝樣本集。

2.4 基于改進NSGA-Ⅱ的工藝參數多目標優化

NSGA-Ⅱ是一種廣泛應用于多目標優化的算法[14-16]。該算法時間復雜度低，具有較高的種群多樣性，全局搜索能力強，通過引入第一前端的概念，保證篩選范圍的同時保留最優個體，增強了算法的穩定性和魯棒性。

本文考慮滾齒工藝參數優化決策的特點，采用改進的NSGA-Ⅱ算法(improved NSGA-Ⅱ)，相比傳統的NSGA-Ⅱ算法，最大的改進是引入最優前端個體系數和動態保留系數的概念，面向不同前端個體集，應用了不同的篩選策略，從而對優化后的Pareto非劣解集容量進行動態的控制：改進NSGA-Ⅱ算法能夠基于各前端個體集的擁擠情況，對最優前端個體系數和動態保留系數進行動態的調控，從而保證算法中的優質個體得以保留，同時淘汰部分值域密集的前端個體集，以避免陷入局部最優的狀況。

定義5 個體A支配個體B的判斷準則是：若A的優化目標AO至少有一個元素比B的優化目標BO好且AO其余元素不比BO差。

定義6 非支配排序函數偽碼為

FOR(inti=1;i<=N;++i){

FOR(intj=1;j<=K;++j)

IF(對Fj中的元素都無法支配Rti‖Fi==?)Fj×Add(Rti);}

式中，N為種群個體數；Rti為種群中的某個體。

定義7 前端保留數目計算函數為

Rt(Fi)=

(9)

其中，pf、gr、co為控制前端個體保留數目的比例系數，取值區間為[0,1]；Nu為非支配排序后的前端總數；ceil()為圓整函數。面向高速干切滾齒工藝參數多目標優化的改進NSGA-Ⅱ算法流程圖見圖2，其主要步驟如下：

(1)t從0開始，將第t代種群Pt通過交叉、變異等篩選，產生下一代種群Qt，Qt與其父代Pt組合成種群Rt，其中，Qt和Pt的容量均為N。

(2)對Rt進行非支配排序，生成多個前端Fi。

(3)單獨設置一個最優前端個體系數(Pareto-fraction)，用以初步計算最優前端放入下一代種群的個體數目，對于其他前端的個體，則使用動態保留系數co計算該前端下一代種群數目。

(4)計算各個前端的擁擠度。前端內部擁擠程度越高，數據同質化程度高，則保留系數越低。通過設置不同的參數比例實現進一步優化。

圖2 改進的NSGA-Ⅱ多目標優化算法流程Fig.2 Multi-objective optimization algorithm flow ofimprove NSGA-Ⅱ

(5)如果所有前端的保留數目之和小于N，則從最劣前端開始，以一個增量比例in擴大該前端的保留數，直到總保留數目大于或等于N。

(6)根據擁擠度高低從前端Fi中截取N-Pt+1個個體，使Pt+1種群大小為N，然后通過約束條件篩選產生下一代種群Pt+1，當迭代次數達到max_gen時，輸出種群Pt+1，否則返回步驟(1)。

2.5 工藝參數多目標優化模型的求解

針對高速干切滾齒工藝參數優化，將工藝參數集P作為種群的個體，個體pi包含4個工藝參數：滾刀頭數pi1、切削速度pi2、軸向進給速度pi3、滾刀轉速pi4，改進NSGA-Ⅱ的適應度函數是GABP神經網絡構建的預測模型，其輸入是迭代優化后的工藝參數集PF，優化目標為OP。綜上，面向加工能耗與刀具壽命的高速干切滾齒工藝參數優化數學模型為

F{GABP(R,P,OP),DBSCAN(P{pi1,pi2,…})}=
(maxT,minW)

(10)

pijmin≤pij≤pijmaxj=1,2,3,4

(11)

si1≤MAX_Tsi2=ELI_Q

(12)

其中，F表示改進NSGA-Ⅱ優化模型輸入與輸出的非線性映射關系；pij表示個體pi的工藝參數項；pijmax、pijmin分別是個體pi中各項工藝參數的最大值、最小值；si1、si2分別為pi中的加工時間與加工質量值；MAX_T、ELI_Q分別為加工時間下限值和質量合格值。具體流程如圖3所示，高速干切滾齒工藝參數多目標優化決策主要步驟如下：

(1)滾齒工藝問題的確定。獲取具體的工藝問題參數，采用DBSCAN算法得到與工藝問題的加工條件最相近的工藝樣本集，經約束條件篩選后，構建多目標優化模型的輸入區間。

(2)設定GABP算法參數，包括個體總數、個體長度、交叉概率、變異概率、各層節點數、迭代次數等。

(3)將樣本集分為訓練組和測試組樣本，訓練并驗證GABP神經網絡，得到最優的原始網絡結構參數，再次使用加工工藝樣本訓練，構建加工效果預測模型。

(4)設定改進NSGA-Ⅱ的算法參數，包括迭代次數、個體總數N、個體長度L、交叉概率、變異概率、第一前端個體系數、動態保留系數等。

(5)隨機初始化種群初始位置，得到一個N×L矩陣，對優化變量采用10位二進制編碼，對每次輸入和更新的種群分別進行編碼與解碼，由于優化變量有4個，所以個體長度是40位；種群每個個體數值在式(11)區間范圍內，調用GABP神經網絡計算適應度函數值，并記錄這些解。

(6)通過選擇、變異等篩選獲得新一代種群，與父代種群合并后再進行支配度排序，設置各前端個體系數，根據個體擁擠度，將種群規模修剪至N。

(7)將當前種群在式(12)范圍進行篩選，如果K

(8)獲取最后一代種群中第一前端的工藝參數集PM與對應的優化目標數值集OPM，PM即針對待決策問題的Pareto最優解。

圖3 高速干切滾齒工藝參數多目標優化決策流程Fig.3 Multi-objective optimization and decision flowof high speed dry hobbing parameters

3 實例驗證

本文以十一軸四聯動數控高速干切滾齒機的84個工藝樣本作為工藝樣本集進行優化實驗驗證，為便于模型構建，將加工質量s2的合格值ELI_Q記為1，不合格值記為0，見表3。通過MATLAB程序來構建GABP神經網絡預測模型。考慮到本文中神經網絡的輸出數為4，包括加工能耗、刀具壽命、加工質量、加工時間，將60個工藝樣本作為訓練組，12個工藝樣本作為驗證組，12個工藝樣本作為測試組。此時IF節點數為12，OF節點數為2，根據式(2)取LF節點數為23，均方差曲線見圖4，當最優循環次數為6時，均方差為10-6，最佳驗證值為0.000 428 12，表明該網絡穩定性較強。再使用測試組數據對比GABP神經網絡與傳統的BP神經網絡的預測誤差，結果如圖5、圖6所示，當GABP神經網絡的輸出平均誤差為3.237和0.003 188時, BP神經網絡的平均誤差為2.701和0.004 908, 相比后者, 刀具壽命誤差減小了16.56%, 加工能耗誤差減小了35.04%。相比傳統的BP神經網絡，GABP神經網絡進一步提高了網絡的預測精度。神經網絡算法迭代過程中的預測誤差變化曲線見圖7，由圖7可知，GABP算法的收斂性較好。

表3 工藝樣本集

圖4 GABP優化后的均方差曲線Fig.4 Mean variance curve after GABP optimization

圖5 GABP模型與BP模型關于預測刀具壽命的誤差曲線Fig.5 Error curves of predicting tool life in GABPand BP models

圖6 GABP模型與BP模型關于預測能耗的誤差曲線Fig.6 Error curves of predicting energy consumptionin GABP and BP models

圖7 GABP模型的預測誤差變化曲線Fig.7 Prediction error change curve of GABP model

滾齒工藝問題的加工條件集R0={42,2,20,26.5,14.4,106.5,5.48}。對表3中工藝樣本集采用DBSCAN算法，取mpts=4，得到容量為5的相似工藝樣本集，見表4。

表4 相似工藝樣本集

已知待優化滾齒工藝問題的相似工藝樣本集R0，設約束條件的加工時間上限值MAX_T為相似工藝樣本集的最大值。基于GABP和改進NSGA-Ⅱ算法的高速干切滾齒工藝參數多目標優化模型為

F{GABP(R,P,OP),DBSCAN(P{pi1,pi2,…})}=
(maxT,minW)

(13)

(14)

改進NSGA-Ⅱ算法的參數設置如下：個體總數N=100，迭代次數T=200，前端個體系數pf=0.15，gr=0.3，co=0.4，某個體pi的各項工藝參數pi1、pi2、pi3、pi4的約束范圍見式(14)。經多目標優化模型迭代后，得到關于工藝問題的Pareto最優解集，其加工效果如圖8所示。將得到的Pareto解集與相似工藝樣本集進行加工效果對比，見表5。由表5可知，從加工效果來看，Pareto解集的加工效果整體優于相似加工樣本集，因此，多目標優化模型達到了加工能耗與刀具壽命的綜合最優。

圖8 針對具體工藝問題的Pareto最優解集的加工效果Fig.8 Processing effect of Pareto optimal solution setfor specific process problems

表5 加工效果對比

4 結論

(1)本文建立了以最大刀具壽命和最小加工能耗為優化目標，以滾刀頭數、滾刀轉速、切削速度和軸向進給速度為優化變量，以加工時間、加工質量為約束的多目標優化模型。

(2)本文從實際加工工藝樣本出發，通過DBSCAN聚類算法獲取滾齒工藝問題對應的相似加工樣本集，構建多目標優化模型輸入區間，利用GABP神經網絡構建加工優化目標值的預測模型并作為多目標優化模型的適應度函數，使用改進NSGA-Ⅱ算法對多目標優化模型進行迭代求解，通過優化結果對比，證明該方法能夠實現加工能耗與刀具壽命的綜合最優。

(3)本文實例驗證部分以60個樣本作為訓練集，考慮到實際加工生產的情況較為復雜，企業實際準備的樣本較少，對于小樣本(樣本容量小于40)的情況，基于本文方法提出兩點建議：首先需要增加隱含層神經元個數，從而提高神經網絡的擬合能力，但需要注意避免過擬合，同時，增加隱含層神經元個數需要付出訓練時間增加的代價；其次，篩選工藝樣本作為訓練集時需要保證訓練集能夠覆蓋值域，以提高訓練集的全面性。

由于數控加工刀具類型多樣，本文主要對特定刀具的高速干切滾齒工藝參數優化進行了研究，在實際生產過程中，同一批次的工件往往也需要應用多種刀具進行加工，因此，考慮到具體刀具材料特性等不盡相同，如何將本文方法有效應用到通用類型刀具的加工參數優化決策過程中，是下一步研究的重點。