勻變速運行軌道車輛非平穩隨機振動分析

殷明娟，趙巖

(1. 大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028；2. 大連理工大學 工程力學系，遼寧 大連 116023)*

車軌耦合振動是一類典型的動力學問題，由于軌道不平順具有隨機的本質，由其誘發的軌道車輛振動具有顯著的隨機振動特征，并顯著影響列車的運行舒適性和疲勞可靠性[1-3].車輛軌道耦合系統振動的頻率成份與軌道不平順波長和車輛行駛速度密切相關.車輛行駛速度在很多文獻中被假設為一個常量，這對于軌道車輛平穩運行分析是恰當的.而實際軌道車輛運行必然經過加速或減速過程，此時由于速度的變化，軌道車輛的隨機振動成為非平穩過程.在變速移動載荷對于結構振動行為的影響方面，Zibdeh等[4-5]研究了移動隨機荷載作用下復合梁結構振動問題，討論了載荷移動的速度效應和材料鋪層的方向效應.Michaltsos等[6]采用常幅值、變速特征移動載荷模擬雙軸車輛載荷，討論了加速和減速等不同情形下結構動力學響應.Yin等[7]基于協方差等效原則研究了變速車輛作用下橋梁非平穩隨機振動問題.

本文開展了勻變速運行軌道車輛非平穩隨機振動研究.分別采用多剛體模型、三層離散點支撐有限元模型模擬車輛和軌道系統，并通過赫茲接觸關系建立了車輛-軌道耦合運動學方程.在考慮軌道車輛勻變速運動過程中，提出從空間平穩軌道不平順功率譜轉換時域非平穩不平順功率譜方法，能夠在每一時間段內有效模擬速度的連續變化過程.考慮不同車輪多點完全相干效應，應用虛擬激勵法將非平穩振動分析轉換為確定性的時域逐步積分分析，通過構造適當的精細積分格式實現了有效的求解.

1 車軌耦合系統動力學方程

1.1 車輛動力學方程

考慮如圖1所示車軌耦合系統，將車輛系統動能和勢能分別表示為系統自由度的函數，考慮阻尼以及系統所受外載荷，可得相應的車輛系統運動方程

圖1 車軌耦合系統

(1)

其中，[Cv]為車輛系統的阻尼陣；{p}為車輛系統的外載荷向量；[Ev]為作用力指示矩陣.

1.2 軌道系統動力學方程

軌道系統采用三層離散點支撐模型，鋼軌服從Euler梁假定，采用有限元進行軌道模型離散，可得軌道系統動力學方程

(2)

1.3 車軌耦合系統運動方程

通過輪軌關系建立車軌耦合系統運動方程，假設車輪與彈性軌道之間的相互作用按線性赫茲理論連接.對于圖1所示的車軌耦合系統動力學模型，4個耦合接觸力可表示為

pi=kh(uti+ri-uwi),i=1,2,3,4

(3)

其中，khutiuwi和ri分別為接觸剛度、接觸點軌道位移、車輪位移和軌道不平順.輪軌接觸點軌道位移uti由形函數分解得到.

基于式(3)給出的耦合力邊界條件，可以得到車輛與軌道耦合系統動力學方程

(4)

2 車軌耦合系統非平穩隨機振動

2.1 勻變速行駛下演變軌道不平順譜

假設軌道不平順r(x)為以空間坐標為自變量的零均值平穩隨機過程，其相應的以空間圓頻率Ω為自變量的自功率譜密度函數Sr(Ω)已知.通過速度與位移之間關系式x=vt可以將隨機軌道不平順由空間域轉換到時間域r(t).在t∈[t0,t0+Δt]的區間內，假定列車勻變速v(t)=v0+at行駛，其中v0為初速度，a為常加速度.利用一階攝動可以得到勻變速運動情形下軌道功率譜St.

2.2 車軌耦合系統非平穩隨機振動分析

方程(4)可以應用Newmark方法等進行時域逐步積分計算，但精細積分方法具有一定優勢，對于線性、多項式、三角函數等類型載荷，可以獲得高精度數值解[8-9].下面建立勻變速行駛下車軌耦合系統時域分析的精細積分格式，將運動方程(4)表示成狀態空間形式

(5)

假定已知tk時刻車軌耦合系統的狀態向量為{v(tk)}，則在tk+1=tk+Δt時刻，系統的狀態向量{v(tk+1)}可以按下式進行計算

(6)

其中，[T(Δt)]=exp([H]Δt)是指數函數矩陣，{vp(t)}是特解向量.

給出特解{vp(t)}的推導，方程的外載荷向量為

(7)

在t∈[tk,tk+1]時間內，考慮四個接觸輪位置軌道不平順的相干效應，基于虛擬激勵法構造勻變速虛擬軌道不平順

(8)

其中，ti(i=1,2,3,4)為不同車輪之間軌道不平順作用的滯后時間，g(ω,vtk,t)為調制項.

將虛擬軌道不平順(8)代入方程(7)，得到

(9)

(10)

由功率譜密度響應，進一步可計算響應的時變標準差.

3 數值算例

3.1 方法驗證

圖2 車體垂向加速度響應對比

假定列車為勻加速運動，加速度為3.89 m/s2.初始速度為50 km/h，勻速行駛5 s，之后加速行駛15 s，速度達到260 km/h，再勻速行駛5s.圖2給出了Mote Carlo方法與本文提出方法進行變速運動下車體垂向自由度非平穩標準差響應的對比驗證結果.其中蒙特卡羅方法分別計算了100個樣本和10 000個樣本.從圖中可以看到對于100個樣本的蒙特卡羅方法存在一定跳躍偏離，而對于10000個樣本的蒙特卡羅方法與本文給出的隨機振動方法計算結果符合非常一致，驗證了本文方法的正確性.

3.2 勻變速過程演變功率譜響應

分析頻率區間為fl=0.1，fu=10，采用50個分析頻點.初始速度為50 km/h，進行勻加速運動，加速度分別為2.41 m/s2，0.56 m/s2，最終運行速度達到180 km/h.采用本文分析方法進行上述勻變速情況車輛非平穩隨機振動分析.計算結果如圖3所示.圖3(a)和3(b)分別為加速度等于2.41 m/s2和0.56 m/s2時車體垂向加速度功率譜響應計算結果，從圖中可以看出隨著時間的變化功率譜的形狀與峰值都發生相應的變化.當加速度比較小時，功率譜響應單位時間的變化會更平穩；而加速度比較大時，功率譜響應單位時間的變化會增大.

(a) 加速度為2.41 m/s2

(b) 加速度為0.56 m/s2圖3 車體垂向加速度功率譜

3.3 輪軌激勵的完全相干特性

列車在軌道上行駛受到軌道不平順的激勵，4個車輪所受激勵都具有同樣載荷作用特性，也即激勵之間是完全相干的，但存在相位差的載荷作用特性.假定分析頻率區間為fl=0.1，fu=10，采用50個頻點.進行勻加速度運動，加速度為1 m/s2；初始速度為5 km/h，最終速度為20 km/h.從圖4中可以看出功率譜在時-頻空間分布更為復雜，出現了無規律分布的多個峰值.假定車輪1和車輪2為第一組，車輪3和車輪4為第二組.如果兩組所受激勵是同向的，則車體垂向響應會出現波峰；如果兩組所受激勵是反向的，則車體垂向響應會出現波谷.同向激勵情況的激勵相位相差為2kπ,k=1,2,…,n；反向激勵情況的激勵相位相差為(2k+1)π,k=1,2,…,n.

圖4 完全相干效應對車體垂向響應的影響

4 結論

本文建立了軌道不平順作用下勻變速運動情形車軌耦合系統的非平穩隨機振動分析方法.采用剛體車輛動力學模型與離散點支撐軌道有限元模型相互耦合的動力學系統進行了隨機振動響應分析，計算結果與Mote Carlo方法對比，表明所建立的方法正確性.勻加速運動情形車輛非平穩隨機振動分析表明，隨著時間的變化功率譜的形狀與峰值都發生相應的變化.分析了車輪所受激勵的相干特性，該特性是形成時-頻空間功率譜分布復雜性的一個主要原因.這些工作為進一步采用更為精細的彈性體模型模擬實際車輛系統，并進行變速情形下系統的動力學行為特征分析打下了一定的基礎.