一種基于鍵合圖模型的未知輸入觀測器設計

楊大鵬，馬付建,劉宇,張生芳，沙智華

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)*

隨著控制系統結構和操作的日益復雜化，尤其是系統時變(time-varying LTV)、非線性(non linear)等特性越發明顯，經典的線性定常系統(linear time-invariant system LTI)理論已經不能很好地適用于控制系統的特性分析及綜合問題[1].系統的復雜化也帶來了系統干擾問題，而干擾的存在會誘發系統故障.能否在故障發生時及時地識別故障狀態，確定故障位置及故障嚴重程度對于故障診斷及消除顯得尤為重要.由于建模的簡化處理,且系統存在一些未知的輸入干擾及環境噪聲, 各方因素都會直接影響到系統性能,會導致誤報.近幾十年以來，學者針對故障診斷問題在航空、機電及能源等系統做了大量的研究[2-4].

在解耦干擾方面, 未知輸入方法已發展出了很多方法, 如頻域方法、未知輸入觀測器方法、幾何方法等[5].其中未知輸入觀測器(unknown input observer UIO)是系統故障解耦重構的有效方法.其基本思路是通過系統輸出的測量來實現系統的重構, 將觀測器與系統的輸出之差作為殘差來判斷系統是否存在干擾[6].在進行未知輸入觀測器設計時，需要對系統結構特性進行分析.其中，系統的不變零點特性對應觀測器的存在條件.而通過研究有限結構特性，殘差方程的固定極點特性對系統穩定性影響至關重要[7].針對線性時不變系統，未知輸入觀測器的主要研究方法有幾何法[8]、代數法[9]、鍵合圖方法[10-11]等.由于時變特性帶來的系統有限結構尤其是不變零點特性的改變，模論方法結合系統鍵合圖模型方法可有效解決線性時變系統未知輸入觀測問題[11-12].目前，滑模控制[13-14]、線性矩陣不等式[15]、自適應[16]等方法已在非線性系統UIO設計中得到較多的應用.

本文主要針對線性定常與線性時變系統的未知輸入觀測問題進行研究.在建立系統鍵合圖模型并進行系統特性分析后，采用廣義逆矩陣構建系統未知輸入觀測器.該觀測器的設計可以有效運用到系統滿足匹配條件的狀況.通過對一直線電機模型進行仿真分析，在不同系統及未知輸入特性狀態下可有效對未知輸入進行觀測，證明了所提出方法的可行性和有效性.

1 問題描述

考慮一類具有未知輸入的線性系統

(1)

式中：x(t)∈Rn,y(t)∈Rp,u(t)∈Rm分別為系統的狀態、測量輸出和控制輸入;d(t)∈Rq為系統干擾和建模不確定性等未知輸入; 控制輸入u(t)和未知輸入d(t)有界且無限連續可導.當不存在系統干擾時，線性定常模型用∑(C,A,F)表示，而∑(C(t),A(t),F(t))對應線性時變系統.假設矩陣B，F為列滿秩矩陣，矩陣C為行滿秩矩陣.

系統強的可探測性(strong detectability)與未知輸入觀測器的存在與否相關.而強可探測性與最小相條件相關，系統∑(C,A,F)需滿足系統零點δ∈(復平面)同時滿足如下條件：

(2)

當系統滿足強可探測性，并同時滿足rank[CF]=rank[F]=q時被稱為滿足觀測器匹配條件(observer matching condition)，該條件為某些未知輸入觀測器的充要條件.但該條件不能總是得到滿足.針對不滿足匹配條件的系統，滑模觀測器方法可有效解決該問題，并從線性系統擴展到非線性未知輸入觀測器問題.

2 觀測器設計

針對線性系統，文獻[17]運用代數學方法提出如下狀態觀測器：

(3)

對于矩陣Am×n，如果其列為線性不相關，那么矩陣ATA可逆.矩陣A的廣義逆矩陣可表示為A+=(ATA)-1AT.此時該廣義逆矩陣為矩陣A的左逆矩陣：A+A=In.

如果其行為線性不相關，那么矩陣AAT可逆.矩陣A的廣義逆矩陣可表示為A+=AT(ATA)-1.此時該廣義逆矩陣為矩陣A的右逆矩陣：AA+=Im.

2.1 線性定常系統觀測器設計

針對式中的線性定常系統∑(C,A,F)，根據假設條件未知輸入矩陣F滿足列線性獨立.所以矩陣F的廣義逆矩陣F+為其左逆矩陣，即F+F=Iq.式中的狀態方程可以表達為：

(4)

(5)

(6)

式中矩陣N，J，H，E的計算方法及步驟可通過文獻[18]查得.通過廣義逆矩陣結合代數學方法得到的系統及未知輸入觀測器系統框圖如圖1所示.

圖1 系統及未知輸入觀測器系統框圖

2.2 線性時變系統觀測器設計

線性時變系統∑(C(t),A(t),F(t))通過廣義逆矩陣構建狀態及未知輸入觀測器的方法及步驟與上述對線性定常系統∑(C,A,F)類似.區別主要在各矩陣參數具有時變特性，進而影響系統特性，尤其是不變零點.而不變零點與系統的逆系統的極點相關聯，從而影響系統穩定性.線性時變系統的狀態及未知輸入觀測器如下式所示：

(7)

令P(t)=I+E(t)C(t)，線性時變系統∑(C(t),A(t),F(t))存在全階觀測器的條件為：

(1)N(t)為Hurwitz矩陣；

(3)P(t)F(t)=0；

(4)H(t)=P(t)B(t).

(8)

(9)

2.3 鍵合圖方法確定系統強可探測性

如上所述，設計系統狀態及未知輸入觀測器的第一步便是確定系統是否滿足強可探測性.這一過程主要分為兩步：一是判定匹配條件rank[CF]=rank[F]是否滿足，二是系統可探測性是否滿足.對于一般系統，此條件的判定過程較為復雜.

鍵合圖是針對多種系統的一種圖形化的建模工具，在系統分析過程中有獨特的優勢.對于單輸入輸出系統∑(C,A,F)，當其鍵合圖模型中僅存在一條因果路徑(causal path)時系統即滿足匹配條件.而系統的可探測性與系統的不變零點屬性相關. 對于線性定常系統∑(C,A,F)，是否存在零值的不變零點可通過鍵合圖模型進行快速判斷.而零值的不變零點的存在不滿足強可探測性條件.所以對于系統鍵合圖模型的分析，首先應確定是否存在零值的不變零點.鍵合圖模型可以根據系統分析目的的不同采用不同的因果關系(causality)設置.采用積分因果關系的鍵合圖模型(BGI)可以確定是否存在不變零點.而具有微分因果關系的鍵合圖模型(BGD)可用來確定是否存在零值的不變零點.進一步通過采用雙向因果關系的鍵合圖模型(BGB)來確定不變零點的值，當不變零點的實部小于零，強可探測性即得到滿足.

3 實驗仿真

本節通過一個直流電機系統來驗證本文方法的有效性，該系統建模后得到如圖2所示的鍵合圖模型，其數學模型如式所示.

圖2 系統鍵合圖模型(積分因果關系)

(10)

通過對系統鍵合圖模型在不同因果關系下的因果路徑進行分析，可知該系統可觀可控.系統參數如表1所示.

表1 直流電機系統各參數值

通過對系統BGI、BGD及BGB鍵合圖模型分析可知，系統存在一不為零的負值不變零點(δ= -500)，所以系統滿足匹配條件及強可探測性條件.由此可見，系統存在如式的未知輸入觀測器.

3.1 線性定常系統仿真

通過計算可得式中各參數矩陣的具體數值：

圖3 系統∑(C,A,F)狀態觀測殘差分析

圖4 系統實際未知輸入變量與未知輸入觀測量對比

通過圖3和圖4的仿真結果可以看出，所構建的系統狀態及未知輸入觀測器可以快速準確的對系統∑(C,A,F)的狀態及干擾輸入變量進行觀測.

3.2 線性時變系統仿真

針對線性時變系統仿真，令表1中的參數k=cos(t)+1.2,系統∑(C,A(t),F)變為時變系統，即矩陣A(t)具有時變參數.因為時變特性引起的系統零極點屬性的改變，時變系統的難點在于極點配置.通過矩陣計算，時變系統∑(C,A(t),F)的不變零點仍滿足δ= -500.系統∑(C,A(t),F)具有式形式未知輸入觀測器，通過矩陣計算各參數矩陣為：

圖5 系統∑(C,A,F)狀態觀測殘差分析

圖6 時變系統未知輸入實際與觀測量對比

通過圖5和圖6的仿真結果可以看出，對時變系統∑(C,A(t),F)所構建的系統狀態及未知輸入變量觀測器也可以快速準確的對的狀態及干擾輸入變量進行觀測.

4 結論

本文提出了一種針對滿足匹配條件的線性定常和線性時變系統狀態變量及未知輸入變量觀測器設計方法.該方法利用廣義逆矩陣結合代數學方法構建未知輸入觀測器.針對系統是否滿足匹配條件，利用線性系統鍵合圖模型給出了圖形化判定方法.同時給出了利用鍵合圖模型對線性定常和時變系統不變零點及觀測器極點配置的方法.本文所提未知輸入觀測器方法不需要復雜的計算,適用范圍更廣. 最后,將本文設計的未知輸入觀測器應用到直流電機系統的未知輸入重構中,仿真結果表明了本文所提方法的可行性和有效性.