正交多相碼波形設計方法

西安電子工程研究所 扈月松 史小斌 楊千禾 張苡寧

數字陣列雷達通過發射、接收和分離正交波形實現多目標搜索和跟蹤，而雷達正交波形的正交性對后續的數據處理環節有很大影響。研究序列二次規劃算法、代數法兩種正交波形產生方法后，提出了自適應遺傳算法產生正交波形的方法，并分別闡述了三種方法的優缺點和改進點。

數字陣列雷達是雷達發展的方向之一，它通過發射、接收和分離正交波形實現多目標搜索和跟蹤。相比于傳統的相控陣雷達，數字陣列雷達有更強的多目標搜索和跟蹤能力，更高的距離分辨力。

數字陣列雷達的波形需要使用正交波形來抑制不同目標回波的互相干擾，實現從回波中提取每一個目標的獨立信息。波形的正交性極大的影響了后續的脈沖壓縮及恒虛警處理環節。在數學上一般用自相關旁瓣峰值和互相關峰值來描述波形的正交性。

2004年，Deng采用了模擬退火算法設計了正交四相碼波形，自相關旁瓣峰值為-14.8dB，互相關峰值為-13.5dB；2006年，劉波等使用遺傳算法設計的正交波形進一步降低了信號的自相關旁瓣峰值和互相關峰值；2011年，胡亮兵采用約束非線性規劃算法設計的正交多相碼，其正交性優于文獻；2014年吉林大學孫明亮使用混沌序列設計二相編碼信號，運算速度和波形的多樣性都有了提升。

本文擬對正交多相碼波形設計的遺傳算法，序列二次規劃算法和代數法三種方法進行研究，分別仿真得到正交多相碼波形，并在波形的正交性、算法的復雜度等方面比較三種算法的優缺點，提出三種算法的改進方法。

1 數學模型

一般的相位編碼信號形式為u(t)=a(t)ejφ(t)，其中a(t)為矩形脈沖，φ(t)為信號的相位。假設一個正交數字陣列雷達有L個子陣，每個子陣的發射天線發射一個正交信號集中的不同正交信號。若信號集種所有的正交信號符合一般的相位編碼信號形式，且為恒模信號，則該信號集形式為。

正交信號重要的性質之一是正交性，與它相關的兩個參數如式(1)所示，其中A(φl,k)為自相關函數，C(φp,φq,k)為互相關函數。

理想狀態下，A(φl,k)和C(φp,φq,k)需要滿足波形的自相關旁瓣峰值均為0，波形的互相關峰值均為0。但在實際信號中，不存在完全正交的一組正交信號，所以在設計時只能讓波形的自相關旁瓣峰值和互相關峰值或者自相關積分旁瓣能量和互相關積分能量盡量小，如式(2)所示。

式(2)中E1為極小化峰值電平準則，E2為極小化積分旁瓣能量準則。在實際設計中，因為設計要求不同可以選擇不同準則使用。本文中將介紹兩種正交多相碼波形設計的方法，以及在傳統遺傳算法基礎上改進的自適應遺傳算法方法。

2 序列二次規劃（SQP）算法

準則E1和E2是帶約束的非線性規劃問題，SQP算法是一種解決非線性規劃問題非常有效的算法，它的形式如式(3)所示。

式(3)中f(x)為目標函數，ceq(x)是等式約束條件，c(x)是不等式約束。應用在設計正交連續相位波形中，問題模型變形后如式(4)所示。

式(4)中t為輔助變量，也是目標函數。w為一可調參數，當設計要求自相關峰值旁瓣較低時則w＜1，要求互相關峰值較低時則w≥1。SQP算法通過該模型可以設計出正交連續相位編碼。

仿真驗證時，假設信號組中的正交波形個數為L=4，每個信號的編碼長度為N= 40，參數w=1。使用matlab中的fmincon函數進行序列二次規劃算法仿真設計正交多相碼波形設計，最終得到的信號組中所有信號的自相關函數和互相關函數圖如圖1所示。從圖中可以看出，使用SQP算法設計的正交連續相位編碼信號組中信號的自相關旁瓣峰值為-17.48dB，互相關函數旁瓣峰值為-17.48dB，自相關性和互相關性都非常好。

SQP算法的缺點是計算量巨大，且只能設計連續相位編碼信號。在SQP算法計算過程中涉及到求解海森矩陣等復雜運算，因此當信號組中信號數L增大或者相位編碼數N增大時，SQP算法的時間復雜度和空間復雜度會大大增加。解決這一問題的關鍵在于尋找算法過程中替代求解海森矩陣的算法，比如使用線性擬合，這樣可以大大降低SQP算法的時間復雜度。

3 代數法

代數法通過求解k階本原多項式，進而得到一系列序列碼如最長序列碼M和序列族F等等來設計正交相位編碼。代數法避免了數值優化的過程，在計算量、效率和空間復雜度上占有優勢。最長序列碼M是正交二相編碼，序列族F是正交四相編碼，本文中為了方便與其他兩種算法進行比較，選擇序列族F進行研究。

圖1 SQP算法得到的正交信號組的歸一化自相關函數和互相關函數圖

圖2 代數法得到的正交信號組的歸一化自相關函數圖

序列組F的產生是由本原多項式開始的。假設Z2是以2為模的余數集{0,1},Z2[x]是以Z2為系數的多項式集合。Z2(x)中的不可約多項式稱為本原多項式。若本原多項式的最高階數為k，則稱該本原多項式為k階本原多項式。Z4是以4為模的余數集{0,1,2,3}，Z4(x)是以Z4為系數的多項式集合。將Z4(x)的系數進行模2運算，得到對應的Z2(x)多項式，這一操作稱為規約。與之對應的，由Z2(x)得到Z4(x)的操作稱為逆規約。

為了得到序列族F，需要將本原多項式經過如下步驟操作：

（1）將Z2(x)中的k階本原多項式通過逆規約得到f(x)。

（2）接著令H(x2) =f(x)f(－x)，再對H(x2)進行變量代換得到H(x)。

（3）當k為偶數時，令P(x) =H(x)；當k為奇數時，令P(x) =－H(x)。

（4）再求解以P(x)為特征多項式的線性迭代方程，最終得到一組序列族F編碼。這一過程可以用移位寄存器的方法實現。

（5）將序列族F編碼通過映射關系exp(j{0,1,2,3}/4*2π)變為相位形式編碼，就得到了我們最終需要的正交信號編碼。

序列族F可以設計的正交信號個數L=2k+1和正交信號編碼長度N=2k－1也與本原多項的最高階數k有關。

仿真驗證時，通過matlab的gfprimfd函數產生一個k=5的5階本原多項式g(x)=x5+x2+1，再由g(x)產生多項式P(x)=x5+3x2+2x+3。用matlab實現移位寄存器來求解以P(x)為特征多項式的線性迭代方程得到序列族F，通過映射關系由該序列族F得到了一組正交信號相位編碼。該信號組相位編碼長度N=25－1=31，信號組中信號數L=25+1。

信號組中所有信號的自相關函數和互相關函數如圖2所示。信號組的所有正交信號的自相關旁瓣峰值平均值為-12.93dB，所有正交信號間的互相關峰值平均值為-12.04dB。

盡管代數法設計的信號在自相關和互相關性能上不及SQP算法，但是在算法時間和空間消耗上遠遠優于SQP算法。上述代數法在仿真耗時不超過1s，而如果使用SQP算法設計正交信號數為L= 33,N= 31的正交信號組，耗時將至少是代數法耗時的105倍，空間消耗同樣更加巨大。而且隨著正交信號數量需求L增大，理論上信號組的整體正交性必然會降低，兩種算法結果的正交性差距會越來越小。所以代數法適合正交信號數較大，信號長度較長的正交離散相位編碼設計。代數法的關鍵在于如何設計出更好的編碼，使得映射后得到的正交信號組正交性更好，比如應用混沌序列，多相互補碼等等。

圖3 遺傳算法得到的正交信號組的歸一化自相關函數圖

4 自適應遺傳算法

SQP算法和代數法在設計正交波形問題上均有波形類型的限制，在智能算法中，遺傳算法對解決準則E1和E2這類復雜的非線性優化問題有較好的效果，并且遺傳算法設計正交波形自由性更大。參考傳統遺傳算法，將每個信號集S作為算法中的個體，信號集中的正交波形作為染色體，波形信號中的相位編碼作為基因。為了盡可能降低信號的自相關旁瓣峰值和互相關峰值，結合準則E1和E2，使用式(5)作為算法的代價函數：

式(5)中[w1,w2,w3,w4]為權值，其數值需要根據實際情況進行調整。如果想要自相關性更高的波形，則需要增大w1,w3權值；如果需要互相關性更高的波形，則需要增大w2,w4的權值。

本文中為了使遺傳算法中的進化速度加快，同時避免遺傳算法陷入過早陷入局部最優解，加入了自適應算子，將交叉概率Pc和變異概率Pm做如式(6)調整，這樣使得算法在前期產生多種變異和組合，后期可在小范圍內搜索最優解。

在基因變異環節和基因交換中使用了父子競爭法，使得每次變異和交換環節產生種只有正交性較好的新個體才能進入新種群，進一步加快了算法的收斂性。但這樣做可能會破壞群體的活性，因此在最佳個體選擇環節中每次新增少數隨機生成的新個體，避免群體收斂過快陷入局部最優解。在算法中最佳個體長期無法進化的時候，使用貪心算法強制對最佳個體的每一位基因改變，并觀察正交性是否更佳，使得算法在后期也可以讓最佳個體進化，產生更好的正交波形。

通過上述自適應遺傳算法可以產生任意相位的正交多相碼波形，本文為了方便和上述方法進行比較，選擇產生正交四相碼波形。

仿真驗證時，假設信號組中的正交波形個數為L=4，信號編碼長度為N=40，相位編碼方式為離散四相編碼。給定遺傳算法種群總數P=500，算法迭代次數G=1000，權值[w1,w2,w3,w4]為[10, 20, 4, 3]。最終得到的信號組中所有信號的自相關函數和互相關函數如圖3所示。從圖中可以看出，本文設計使用的自適應遺傳算法的自相關旁瓣峰值最大值為-16.76dB，互相關峰值最大值為-13.72dB，正交性較好。

遺傳算法設計正交信號的最大特點是較為靈活。通過修改代價函數，遺傳算法可以設計任意波形個數L、任意信號編碼長度N和任意相位數M的正交波形信號組，還可以實現信號的多普勒敏感性改善等功能。缺點是算法的效果較為一般，且算法耗時較長。遺傳算法可以通過增大信號編碼長度N、展寬主瓣和增加信號的相位數M，增強信號的正交性。

結束語：本文仿真和比較了兩種現有的正交多項碼波形設計方法，并提出了設計性更加靈活的自適應遺傳算法。其中SQP算法設計的正交信號組在正交性上表現最好，但是只能設計連續相位編碼信號，且時間空間復雜度較高。代數法時間空間復雜度最低，可以實現在線設計，但目前只能設計正交二相碼或正交四相碼等正交離散編碼信號，且信號編碼長度N只可取固定幾種值。自適應遺傳算法比較靈活，可以設定任意信號數目L、信號相位數M和信號編碼長度N的正交相位編碼信號組，但信號組正交性較為一般。為了加快算法的進化速度，同時避免算法過早陷入局部最優解，本文采用了自適應算子，父子競爭法和貪心算法等對遺傳算法進行改進，改進后的算法產生正交波形的速度更快，正交性更好。三種方法各有利弊，需要在實際應用中斟酌使用。