SynRM 混沌系統動力學特性分析及電路實現

安徽理工大學電氣與信息工程學院 李澤宇

根據常微分方程與混沌系統動力學基本理論，采用混沌系統常用分析方法分析了SynRM混沌系統的基本動力學特性并根據系統方程完成了硬件電路設計。

現代混沌的觀念包含著豐富的內涵至今沒有完整、統一的定義，現有的定義也只是從不同的層面描述了混沌行為的特征。混沌作為一種物理現象在自然界中普遍存在，混沌運動具有自己獨特的性質。具體表現在混沌系統的有界性、遍歷性、分維性、確定系統的內在隨機性、對初值的極端敏感性等。

混沌現象廣泛存在于電力電子電路、電機等系統中。同步磁阻電動機具有結構簡單，使用環境要求低，運行效率高和調速范圍廣等諸多優點。本文根據同步磁阻電動機的特點，建立了同步磁阻電機的動力學模型，經時間尺度變換和線性仿射變換得到同步磁阻電機（SynRM）混沌系統。采用數值模擬的方法做出了SynRM混沌系統的相圖、分岔圖和李雅普諾夫指數譜，分析了SynRM混沌系統的基本動力學特性并根據系統方程設計出硬件電路。

1 SynRM混沌系統

1.1 模型建立

SynRM混沌系統來源于同步磁阻電機（SynRM），在理想狀態下，同步磁阻電機對應的系統方程式為：

其中，vas、vbs、vcs為定子相電壓，ias、ibs、ics為定子相電流，ψas、ψbs、ψcs為每相定子磁鏈，Rs為每相定子電阻。經過Park變換，公式(1)可改寫為：

其中，vds、vqs分別表示電壓的直軸（d軸）和交軸（q軸）分量，ids、iqs分別表示電流的d軸和q軸分量，Lds、Lqs分別表示電感的d軸和q軸分量，ψds、ψqs分別表示磁鏈的d軸和q軸分量，ωe為同步磁阻電機轉子角速度。

同步磁阻電機電磁轉矩方程描述如下：

其中，P為電機極數，Te為電磁轉矩。

同步磁阻電機運動方程描述如下：

其中，ωr為轉子轉速，J為轉動慣量，B為粘滯系數，Tl為負載轉矩。

圖1 系統(7)相軌跡圖

由公式(2)，(3)，(4)可得同步磁阻電機的動力學模型：

經時間尺度變換和線性仿射變換得到同步磁阻電機無量綱狀態模型。

圖2 參數r變化時系統(7)的分岔圖

圖3 系統(7)的李雅普諾夫指數圖

表1 平衡點的穩定性

圖4 電路原理圖

公式(7)即為無量綱SynRM混沌系統的數學模型，下面對如公式(7)所示無量綱SynRM混沌系統系統進行動力學特性分析。

1.2 SynRM混沌系統特性分析

該混沌系統存在五個平衡點：S0（0，0，0），S1,2（0.2042，±1.4142，±0.1444），S3,4（9.7958，±1.4142，±6.9267），對應平衡點穩定性如表1所示。選取參數a，b，r分別為，a=2，b=1，r=10時，系統存在混沌吸引子，輸入初值x=2，y=3，z=1，相軌跡圖如圖1所示。

當a=2，b=1，r∈[9，18]時，系統(7)關于x軸方向的分岔圖如圖2所示，系統(7)的李雅普諾夫指數圖譜如圖3所示，該系統存在混沌現象。

2 電路實現

采用模塊化設計方法設計模擬電路，驗證系統的動態行為，系統由運算放大器、模擬乘法器等電子元件構成。

由于系統(7)狀態變量的變化范圍超出模擬元器件允許的電壓范圍，且為便于在電路輸出信號中觀察到混沌現象，需對原系統進行變量比例壓縮變換和時間尺度變換。所得方程如下：

其中t=τ0t1，，a=2，b=1，r=10，τ0=500，所設計電路如圖4所示。

結論：采用數值模擬的方法做出了SynRM混沌系統的相圖、分岔圖和李雅普諾夫指數譜，分析了SynRM混沌系統的基本動力學特性并根據系統方程設計出硬件電路，仿真結果表明SynRM混沌系統中存在混沌現象。