ROC分析在變點(diǎn)檢測(cè)中的應(yīng)用

廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 朱鴻斌

變點(diǎn)檢測(cè)方法普遍應(yīng)用于各個(gè)工程領(lǐng)域，但是，傳統(tǒng)的變點(diǎn)檢測(cè)方法使用的是參數(shù)法，該方法在復(fù)雜環(huán)境下存在一定的局限性。為克服該問題，本文介紹一種基于AUC統(tǒng)計(jì)量非參數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)方法。ROC曲線下的區(qū)域（AUC）指標(biāo)可用于描述二分類器性能，數(shù)據(jù)信號(hào)的分離程度。其中，AUC統(tǒng)計(jì)量和Mann-Whitney U（曼-惠特尼）統(tǒng)計(jì)量是等價(jià)的。因其具有簡(jiǎn)單，計(jì)算方便等優(yōu)點(diǎn)，因此本文將介紹該指標(biāo)在變點(diǎn)檢測(cè)中問題的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法具有一定的有效性和實(shí)用性。

1 AUC簡(jiǎn)介和變點(diǎn)檢測(cè)介紹

1.1 AUC簡(jiǎn)介

ROC分析起源于20世紀(jì)50年代初期，目前已成為一種重要的工具，并廣泛應(yīng)用在不同的科學(xué)工程領(lǐng)域，包括機(jī)器學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)視覺、信號(hào)處理、生物信息學(xué)和能源探測(cè)器信號(hào)處理中的一些未解決的問題等。ROC曲線是由在不同判決門限下真陽性率和假陽性率所構(gòu)成的，接收機(jī)工作特性曲線下的面積（Area Under the Curve，以下簡(jiǎn)稱AUC）可以評(píng)估分類器能否有效地將特定問題中的陽性類樣本和陰性類樣本區(qū)分出來，也可用來判斷兩類樣本是否存在差異。若AUC的數(shù)值越大，說明兩類樣本的重合度越低，這也意味著分類器的分類性能越好，或者兩類數(shù)據(jù)分離程度較高。

1.2 變點(diǎn)檢測(cè)介紹

變點(diǎn)在工程上也被稱為異常點(diǎn)，指一個(gè)信號(hào)或者模型突然發(fā)生變化的點(diǎn)。變點(diǎn)檢測(cè)是判斷信號(hào)或數(shù)據(jù)序列是否發(fā)生變化，以及突變的時(shí)刻。變點(diǎn)檢測(cè)技術(shù)目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域中。比如：工業(yè)故障檢測(cè)、氣候方面的突發(fā)事件分析、人工智能領(lǐng)域的圖像的邊緣檢測(cè)和分割技術(shù)以及語音辨析技術(shù)等。傳統(tǒng)的變化點(diǎn)檢測(cè)方法可分為離線檢測(cè)方法和在線檢測(cè)方法。相比離線檢測(cè)，在線檢測(cè)需要考慮眾多的因素，例如：數(shù)據(jù)流的到達(dá)的頻率。本文主要研究離線情況下變點(diǎn)檢測(cè)。若將突變點(diǎn)前后的數(shù)據(jù)看作二類問題，曼-惠特尼統(tǒng)計(jì)量將可以對(duì)二類問題進(jìn)行分析，并且判斷是否出現(xiàn)變點(diǎn)，以及變點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)刻。

2 相關(guān)理論

2.1 曼-惠特尼統(tǒng)計(jì)量

令獨(dú)立同分布的樣本序列X1，X2，……Xm和Y1，Y2，……Yn分別服從于累積概率密度函數(shù)FX、FY。從D.Bamber,“The area above the ordinal dominance graph and the area below the receiver operating characteristic graph”可知，計(jì)算AUC的經(jīng)驗(yàn)無偏估計(jì)量為：

其中：

由上式可知，當(dāng)X1，X2，……Xm與Y1，Y2，……Yn完全分離時(shí)，AUC的估計(jì)值為0或者1；當(dāng)X與Y完全重疊時(shí)，AUC的估計(jì)值為0.5。

2.2 變點(diǎn)模型

令Z為長(zhǎng)度等于K的隨機(jī)時(shí)間序列，即Z=[Z1,Z2,..,ZK]，且服從以下分布：

式中，μ，δ2分別為序列的均值和方差。本文僅研究均值突變的情況，即δ2保持不變。

若在某一時(shí)刻，序列Z的均值發(fā)生突變，其數(shù)學(xué)模型可以表示為：

而Δ指的是序列均值突變的幅度。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 實(shí)驗(yàn)步驟

為驗(yàn)證本文所介紹方法的有效性，在本實(shí)驗(yàn)中，我們產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度K=1000的序列，該序列由均值分別為0、5，方差為1的隨機(jī)數(shù)據(jù)組成，其中，突變的區(qū)間范圍為[600,100]。

（2）逐步增加q，即讓窗口由左向右滑動(dòng)。此時(shí)，我們可以獲得各個(gè)時(shí)刻的θq的估計(jì)值，如圖1所示。

圖1 基于滑窗方法的AUC統(tǒng)計(jì)序列圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

如圖1所示，當(dāng)兩個(gè)窗口的數(shù)據(jù)不存在均值突變時(shí)，即Δ=0，此時(shí)θq的值的變化不明顯，且僅在一定的范圍內(nèi)波動(dòng)；當(dāng)窗口y中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)入突變后區(qū)域，此時(shí)θq的值會(huì)逐漸增大；當(dāng)窗口x完全處于突變點(diǎn)之前、且窗口y完全處于突變點(diǎn)之后，θq的值將達(dá)到最大；此后θq的數(shù)值將會(huì)隨著窗口x進(jìn)入突變后的區(qū)域而逐漸減小。

4 討論

本文主要介紹了如何將曼-惠特尼統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于變點(diǎn)檢測(cè)問題，并且做了均值突變的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)數(shù)據(jù)序列發(fā)生均值突變時(shí)，使用曼-惠特尼統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析能夠判斷數(shù)據(jù)序列是否出現(xiàn)變點(diǎn)，因此，本文的方法具有一定的合理性和實(shí)用性。然而，本文尚存在一些不足，對(duì)閾值設(shè)定和窗口大小的選取還沒有系統(tǒng)的理論方法，因此還能夠從以下幾個(gè)方面進(jìn)一步改進(jìn)，例如：閾值的選取、滑窗大小的設(shè)定、多變點(diǎn)檢測(cè)以及變點(diǎn)發(fā)生的時(shí)刻的估計(jì)等。