MATLAB三維可視化求解在土力學(xué)教改中的應(yīng)用★

吳雪婷 陳 斌

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

1 土力學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀及教學(xué)改革

土力學(xué)是一門建立在數(shù)學(xué)、力學(xué)基礎(chǔ)之上偏于計(jì)算同時(shí)又和工程實(shí)踐緊密結(jié)合的學(xué)科，傳統(tǒng)的土力學(xué)教材中，從模型的建立，到公式的推導(dǎo)，再到實(shí)際工程案例的解決已形成了完整的邏輯體系。為了克服公式繁瑣、計(jì)算量大的問題，傳統(tǒng)解法主要采用將計(jì)算參數(shù)表格化，通過查表的方式來簡(jiǎn)化計(jì)算。盡管如此，還是給學(xué)生留下土力學(xué)計(jì)算機(jī)械重復(fù)、枯燥無味的印象，很難調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教學(xué)效果欠佳。

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)技術(shù)的普及和數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的快速發(fā)展，為土力學(xué)教學(xué)中改善以上問題提供了新思路[1]。MATLAB是一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，不僅可以實(shí)現(xiàn)矩陣的加、減、乘、除、可逆，以及轉(zhuǎn)秩的各項(xiàng)功能運(yùn)算；而且可以運(yùn)用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)并以此解決眾多實(shí)際問題。同時(shí)，其可視化功能可以實(shí)現(xiàn)二維、三維圖形的繪制，以便于對(duì)需要解決的問題進(jìn)行直觀分析[2]。因此，可以將MATLAB應(yīng)用到土力學(xué)計(jì)算、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、建模等土力學(xué)的教學(xué)中[3-5]，來改革傳統(tǒng)的土力學(xué)教學(xué)模式[6-8]。

基于此，本文以土力學(xué)中豎向集中荷載作用下地基中的附加應(yīng)力為例，在對(duì)其傳統(tǒng)一般解法進(jìn)行梳理的基礎(chǔ)上，對(duì)于繁瑣的計(jì)算、可視化呈現(xiàn)等方面，借助MATLAB軟件，將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來，讓學(xué)生能夠關(guān)注土力學(xué)問題本身，幫助學(xué)生理解計(jì)算結(jié)果的物理和工程意義。

2 地基附加應(yīng)力的傳統(tǒng)查表法求解

附加應(yīng)力計(jì)算中的半無限空間受法向集中力作用的問題是由法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家布辛奈斯克(Boussinesq)在1885年依據(jù)彈性理論求解得出。目前在計(jì)算地基中的附加應(yīng)力時(shí)都是借助于此方法，把地基看成是均質(zhì)的彈性半空間，應(yīng)用彈性力學(xué)理論求解[9]。

如圖1所示，在地基表面作用有豎向集中荷載p時(shí)，在地基內(nèi)任意一點(diǎn)M(x，y，z)會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)力分量及位移分量。豎向(z軸方向)地基附加應(yīng)力值σz為：

(1)

其中，p為作用在坐標(biāo)原點(diǎn)O的豎向集中荷載；x，y，z均為地基內(nèi)任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，z為M點(diǎn)的深度，且r2=x2+y2,R2=x2+y2+z2。

(2)

其中，a為集中荷載作用下的地基豎向附加應(yīng)力系數(shù)，是r/z的函數(shù)。根據(jù)不同的r/z值可算出附加應(yīng)力系數(shù)a值，并列成表格。計(jì)算時(shí)再根據(jù)具體的r/z值，查表得到a值，最后再計(jì)算σz。

例如，在p=200 kN，求地基中z=2 m的水平面上不同半徑r處的地基豎向附加應(yīng)力時(shí)，傳統(tǒng)教材和教學(xué)中是通過查表得到相應(yīng)的附加應(yīng)力系數(shù)a，再利用式(2)計(jì)算得到附加應(yīng)力，計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

同樣，在p=200 kN，求地基中r=0 m的豎直線上不同深度z處的地基豎向附加應(yīng)力時(shí)，傳統(tǒng)教材和教學(xué)中也是通過查表求得，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

從上述求解的過程和繪制的圖表可以看出，附加應(yīng)力系數(shù)表格起著非常重要的作用，但給學(xué)生的印象就是機(jī)械地查表和重復(fù)地計(jì)算。同時(shí)，學(xué)生也無法從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)點(diǎn)和二維曲線中想象出地基中附加應(yīng)力的三維空間分布。

3 基于MATLAB的地基附加應(yīng)力三維可視化求解

針對(duì)上述問題，本文利用MATLAB軟件，對(duì)豎向集中荷載作用下地基中的附加應(yīng)力進(jìn)行了三維可視化求解，很好地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教材、傳統(tǒng)教學(xué)的解析解、查表法的不足。

3.1 地基附加應(yīng)力隨半徑r的變化規(guī)律

和上述查表法例題一致，同樣假設(shè)p=200 kN，求地基中z=2 m的水平面上，不同半徑r處的地基豎向附加應(yīng)力值。MATLAB軟件可直接利用式(1)計(jì)算任意深度z處的附加應(yīng)力隨r的變化數(shù)據(jù)，并通過“Plot”命令將其以圖形的形式呈現(xiàn)出來，計(jì)算結(jié)果如圖4所示，分別給出了z=1 m,1.5 m,2 m,4 m深度處的附加應(yīng)力隨半徑r的變化曲線。和圖2對(duì)比可見，圖4中的數(shù)據(jù)點(diǎn)更多，曲線顯示的變化規(guī)律更明顯，但是計(jì)算卻更快捷。

此外，利用MATLAB三維可視化功能還可幫助學(xué)生建立地基附加應(yīng)力的三維空間分布概念。圖5給出了不同深度z=1.0 m,1.5 m,2.0 m,4.0 m時(shí)，地基附加應(yīng)力在某一固定深度z處的三維空間分布圖。圖6展示了深度z=1.5 m和2 m時(shí)，地基附加應(yīng)力的三維空間綜合圖(可通過MATLAB的surf函數(shù)實(shí)現(xiàn))。由圖4～圖6可知，在地面下同一深度處，沿豎向集中力作用線上的附加應(yīng)力最大，向兩側(cè)逐漸減小；在集中力作用線上(r=0 m)，深度越大，σz越小。

3.2 地基附加應(yīng)力隨深度z的變化規(guī)律

仍然假設(shè)p=200 kN，求地基中r=0 m的豎直線上，不同深度z處的地基豎向附加應(yīng)力。利用查表法只是計(jì)算r=0 m處的附加應(yīng)力隨深度的變化已經(jīng)有非常大的計(jì)算量了，但是，利用MATLAB編程可以快捷地計(jì)算并繪制r=0 m和r≠0 m(r=0.25 m,0.5 m,1 m)的任意豎直線上的地基附加應(yīng)力隨深度z的變化曲線，MATLAB計(jì)算結(jié)果如圖7所示。同理，和圖3對(duì)比可見MATLAB程序計(jì)算的優(yōu)勢(shì)。由圖7可知，在集中力作用線上(r=0 m時(shí))，當(dāng)z=0 m時(shí)，σz→∞，隨著深度增加，σz逐漸減小；在r≠0 m時(shí)的任一豎直線上，隨著深度增加，σz先增大后減小。

3.3 地基附加應(yīng)力等值面

如上所述，分別給出了某一深度不同半徑，以及相同半徑不同深度時(shí)附加應(yīng)力的變化規(guī)律。那么，相同應(yīng)力點(diǎn)在空間的分布情況又是怎樣的呢。如果采用傳統(tǒng)的解析計(jì)算和查表法反算這些相等的附加應(yīng)力值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算量巨大繁瑣，不僅浪費(fèi)時(shí)間，同時(shí)也打消了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。但是對(duì)于采用MATLAB軟件計(jì)算而言，就是求式(1)中附加應(yīng)力給一定值時(shí)，空間坐標(biāo)(x,y,z)構(gòu)成的等值面問題。

分別取地基附加應(yīng)力σz=22 kPa,12 kPa,7 kPa,5 kPa,2.5 kPa,1.5 kPa，采用MATLAB的“isosurface”函數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)三維可視化求解，并得到在空間分布的附加應(yīng)力等值面，MATLAB計(jì)算結(jié)果如圖8所示。利用編制好的附加應(yīng)力等值面計(jì)算程序，只需要改變程序中σz值的大小，即可以求解任意地基附加應(yīng)力σz值對(duì)應(yīng)的等值面。附加應(yīng)力等值曲面的空間形態(tài)如泡狀，所以可稱為“應(yīng)力泡”。

根據(jù)上述MATLAB的計(jì)算結(jié)果，即可以方便、形象、直觀地得出集中力作用下地基土中附加應(yīng)力的分布規(guī)律。

4 結(jié)語

基于MATLAB的三維可視化求解方法在土力學(xué)地基附加應(yīng)力的繁瑣、機(jī)械、重復(fù)計(jì)算中得到了很好地應(yīng)用，一方面提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深了學(xué)生對(duì)土力學(xué)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生去更好地理解地基附加應(yīng)力的空間分布和變化規(guī)律；另一方面教會(huì)了學(xué)生利用現(xiàn)代化手段解決工程實(shí)際問題的方法，在提高學(xué)生物理建模和數(shù)學(xué)計(jì)算能力的同時(shí)，也為其將來利用計(jì)算機(jī)軟件解決工程問題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。此外，MATLAB軟件輔助教學(xué)法還可以推廣應(yīng)用到土力學(xué)課程的其他教學(xué)內(nèi)容中。