線性方程組的應用研究

柳江岸 朱小艷 王瑞瑞 姚淑霞

摘?要：線性方程組及其求解是線性代數及高等數學課程中的核心內容，在數學相關領域中有應用廣泛。本文介紹了線性方程組在幾何學、高次方程理論、化學等方面的應用，以期為線性方程組的求解及應用提供一定的指導作用。

關鍵詞：線性方程組;幾何學;高次方程;化學

1?緒論

線性代數的核心內容是線性方程組的求解，這是在尋求線性方程組解的存在定理與求解方法的過程中產生的[1]。行列式理論和矩陣理論形成了線性代數的基本理論，這些理論知識本是代數問題，可是，若將該代數問題與幾何問題聯系起來，通過考慮常數項與系數的相互關系，從而建立方程組，就可在此基礎上得到方程組的矩陣求解及行列式求解[23]。這些理論知識為借用線性方程組解決實際問題提供了方法，并奠定了基礎。比如，將線性方程組理論應用在解析幾何中，可內在溝通線性代數與幾何之間的相互聯系，也可實現代數與幾何之間的相互滲透，還可使得對許多幾何問題的刻畫更為簡潔、明了。

2?線性方程組的應用

線性方程組的應用有很多方面，如在數學理論中，特別是幾何、代數等方面應用較多。除此之外，還可以用方程組來研究初等數學中的一些問題，從而可以避免煩瑣的分析與求解[4]。線性方程組在生活中也有廣泛應用，比如在計算機、物理、經濟、化學及航空等領域。此外，線性方程組也被用于電路、力學、數字處理等課程[56]。為了能更好地應用線性方程組的理論方法解決實際問題，需要在求解過程中將涉及的每個量聯系起來，通過分析條件及所求的關系，結合實際問題，通過恰當的問題轉化及變換，從而達到通過最有效、最快捷的方法來解決實際問題的目的。

2.1?線性方程組應用在幾何方面

設上述齊次線性方程組的一組非零解為（A1，D1，E1，F1），由條件知，四點的任意三點均不共線，可設A1≠0（不然，會出現三點共線），從而得知這四個點都在圓A1（a2+b2）+D1a+E1b+F1=0（A1≠0）上，由此得證。

2.2?線性方程組應用在高次方程理論中

定理2[8]設四個實數a，b，c，d各不相等，證明四元方程：

不妨設上面方程組中的四個方程有公共的實數解x0，則關于a，b，c，d的齊次線性方程組有非零解，從而上面方程組的系數行列式等于零，即x30x20x01

將x0=-1代入原方程組中，可得b=c，這與已知條件矛盾。

2.3?線性方程組應用在化學方面

化學中的線性方程組也有廣泛應用，比如用于化學方程式的配平問題，按照質量守恒定律，得到對應的方程，再經過聯立得到相對應方程組并求解，最后得出結果，便可得到相應的化學方程組的配平系數。

例1[9]假設在高溫下，一氧化碳可使得四氧化三鐵還原，使其生成二氧化碳與單質鐵，試配平如下的化學方程式：

CO+Fe3O4→Fe+CO2

解?設反應物與生成物的量依次為x1，x2，x3，x4，通過質量守恒定律知各原子數在反應前后保持不變，如，通過鐵原子的守恒得x3=3x2;通過碳原子的守恒得x1=x4;因此，由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;

聯立上面三等式并移項得x3-3x2=0，

x1-x4=0，

x1+4x2-2x4=0。

易見上面方程組未知量的個數大于方程的個數，因此，上述線性方程組有非零解。

由于化學方程組的每個系數必是正數，即每一個分量的解都必須是正數解;通過矩陣的初等變換得上述線性方程組的增廣矩陣：

2.4?經濟平衡中線性方程組的應用

例2[10]某個經濟體系中有三個行業：五金、能源、機械，而且各行業的產出在每個行業中的分配比例見表1，其中每列的數表示相應行業占該行業總產出的比例。如第一列，五金行業總產出分配比例是：五金行業占20%;能源行業占30%;機械行業占50%。分別用p1，p2，p3表示五金、能源、機械在每年總產出的各價格，為使三個行業的投入與產出都相等，試求各行業的平衡價格。

解?由上表可得列值代表的是每個行業產出的具體分配方式，行值代表的是每個行業所需要的投入。

設此三行業的總產出價格依次為p1，p2，p3，則五金行業的總支出應該為0.3p1+0.1p2+0.4p3。

為使五金行業收入與支出相等，則應滿足：

p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3

同理，對上表中的第1行、第3行的數據也進行相同的處理，把它們與上式聯立起來，就得到一個齊次線性方程組：

p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3，

p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3，

p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。

解得上述方程組的通解為p1

p2

p3=p31.417

0.917

1.000，即經濟系統中的平衡價格向量。

令p3=2.000億元，可得p1=2.834億元，p2=1.834億元，即，若機械行業產出的價格是2.000億元，則五金行業的產出價格是2.834億元，而能源行業產出的價格為1.834億元，這樣，每個行業的收入就等于該行業的支出了。

2.5?電路中線性方程組的應用

例3[11]如圖1所示，在直流電路中，已知ε1，r1，ε2，r2，ε3，r3，R1，R2，R3，R4，求I1，I2，I3。

圖1?直流電流示意圖

解?利用電路方程中的基爾霍夫定律可以得到方程組如下：

I1（R1+R3+r1）-I3（R3+r3）=ε1-ε3;

I2（R4+R2+r2）+I3（R3+r3）=ε3-ε2;

I1-I2+I3=0。

求解上述的關于I1，I2，I3的線性方程組就可得所求的值。

參考文獻：

[1]李全忠，李仁所，朱柘琍，等.一類齊次線性方程組有非零解的充分條件的一種新證法[J].高等數學研究，2017.

[2]葛學濱.線性方程組解結構的歷史研究[D].山東大學，2009.

[3]李海英.齊次線性方程組的應用研究[J].太原城市職業技術學院學報，2013，000（002）：164165.

[4]王艷天.解線性方程組的LU分解法[J].科技創新導報，2009，000（004）：245.

[5]張禾瑞，郝鈵新.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]王向東，等.高等代數常用方法[M].北京：科學出版社，1989.

[8]陳殿友，術洪亮.線性代數[M].清華大學出版社，2006：6490.

[9]毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納[J].華中科技大學出版社，2010：2534.

[10]俞正光.全國碩士研究生入學統一考試[J].清華大學出版社，2004：517.

[11]https：//max.book118.com/html/2017/1103/138773479.shtm.

基金項目：國家自然科學基金項目（31960273）

作者簡介：柳江岸（1977—?），男，漢族，本科，中學一級教師，研究方向：應用數學。