隨機波動率和隨機利率下離散障礙期權定價

摘?要：本文主要對離散時間情形下的標的資產滿足隨機波動率和隨機利率模型的歐式障礙期權定價進行研究，應用Ito^公式、Fourier反變換，FeynmanKac定理，PDF方程和Girsanov測度變換和數學歸納法，推導出了隨機波動率和隨機利率模型下歐式離散障礙期權的定價公式。

關鍵詞：障礙期權;Fourier反變換;隨機波動率;隨機利率

中圖分類號：O212.9??文獻標識碼：A

1?緒論

障礙期權（Barrier?Options）是一種具有代表性的奇異期權且是隨著國際金融市場結構不斷地擴大，為了更加符合當今金融體系的時代特色。金融從業者設計出了奇異期權，它是一類比標準歐式或美式期權盈虧狀態更加復雜，但是卻更加符合投資者收益的金融衍生產品，大多數奇異期權在場外交易。障礙期權（barrier?options）是路徑依賴型奇異期權中一種非常熱受投資者歡迎的一種期權，期權的終期收益率不僅僅和標的資產到期收益日的價格有關，而且還與標的資產在整個投資時間內能否達到某一特定的關卡或障礙值息息相關。按照合約有效期內標的資產的價格與某一設定好的障礙值大小關系。

障礙期權分為兩大類：敲出期權和敲入期權。敲入期權是指當標的資產價格觸及規定的障礙值時，合約生效;而敲出期權則是當標的資產價格達到指定的障礙值時，合約失效。目前，國內外學者，在研究隨機波動率和隨機利率模型下障礙期權的定價問題方面，做出了很多的成果，也取得了很大的成績。根據在期權有效期內標的資產價格是否大于障礙值。Broadie和Kou[1997]推導出了在標的資產價格滿足BS模型下的歐式離散障礙期權價格的近似顯示解析公式;Fusai和Recchioni[2007]在Kou研究的基礎上進一步研究了離散時間的障礙期權的定價方法;溫鮮[2010]，在隨機波動率滿足hullwhite模型的情況下，運用鞅方法，對歐式下降敲出歐式看漲障礙期權進行了定價;薛廣明與鄧國和[2018]，在Bates模型下，得到了離散時障礙期權價格的封閉解，并與Merton模型下離散障礙期權的價格進行了對比;楊瑩[2019]在CIR隨機波動率模型下，推導出CIR模型下障礙期權的定價公式。

2?市場模型與預備知識

2.1?市場模型及假設

假設在資本市場中投資無摩擦、無套利存在，在投資可交易時間[0，T]內可以進行連續的交易，買空，賣空風險資產，在無風險利率下可以進行任意的存款、借款。在本文中設風險中性概率測度為Q，在風險中性概率測度Q下，假設資產價格過程St滿足如下隨機波動率v和隨機利率r模型：

參數θ1，k1，θ2，k2，σv，σr均為非負常數，其分別表示為隨機波動率v和隨機利率r的長期水平，均值回復速度和波動性方差。其中，（1）W1，Wv，W2，Wr，均為Brownian運動，且d[W1，Wv]t=ρ1dt，d[W2，Wr]t=ρ2dt，W2，Wr獨立于W1，Wv。（2）參數滿足的穩定性條件為：2θ1σv>1，2θ2σr>1。

此類模型可以更好的捕捉波動率和利率變化的動態特征，從而使遠期生效亞式期權的定價更契合復雜多變的金融市場環境。本文將以下降敲出看漲歐式障礙期權為例，研究的下降敲出看漲歐式障礙期權的定價公式，其他類型的歐式障礙期權可類比進行研究。令Xt=lnSt，則由Ito^公式有：

2.2?聯合特征函數

引理2.1：設St滿足上述隨機波動率和隨機利率模型，則特征函數φ（t，x，v，r;a，b，c，T）具解析表達式：

expiax+Aτ，a，b，cv+B（τ，a，b，c）r+C（τ，a，b，c）

其中：

τ=T-t，f1（a）

=ρ1σvia-k1，g1（a）

=12（ia）2-12ia，h1（a）

=[f21（a）-2g1（a）σ2v]12

f2（a）=ρ2σria-k2，g2（a）

=-12a2+12ia-1，h2（a）

=[f22（a）-2g2（a）σ2r]12

q1（a，b）=σ2vib+f1（a）-h1（a）σ2vib+f1（a）+h1（a），q2（a，c）

=σ2ric+f2（a）-h2（a）σ2ric+f2（a）+h2（a）

A（τ，a，b，c）=1σ2v[2h1（a）1-q1（a，b）eτh1（a）-f1（a）-h1（a）]

B（τ，a，b，c）=1σ2r[2h2（a）1-q2（a，c）eτh1（a）-f2（a）-h2（a）]

C（τ，a，b，c）=θ1σ2v[2ln1-q1（a，b）eτh1（a）1-q1（a，b）-τf1（a）-τh1（a）]

+θ2σ2r[2ln1-q2（a，c）eτh2（a）1-q1（a，c）-τf2（a）-τh2（a）]

證明：由半鞅Ito^公式和FeynmanKac定理可知，φ（t，x，v，r;a，b，c，T）=φ（t，x，v，r）滿足下列偏微分方程（PDE）：

φt+12（r-v）φx+12（v+r）2φx2+（θ1-k1v）φv+12σ2vv2φv2

+ρ1σvv2φxv+12σ2rr2φr2+ρ2σrr2φxr+（θ2-k2r）φr-rφ=0

φ（T，x，v，r;a，b，c，T）=expaXT+ibVT+icrt

由于該模型具有仿射結構特征，因此偏微分方程（PDE）的解具有指數形式：

expiax+A（τ，a，b，c）v+B（τ，a，b，c）r+C（τ，a，b，c）

于是將其帶入偏微分方程中，得到偏微分方程：

Atv+Btr+Ct+12（r-v）ia+12（v+r）（ia）2+12σvvA2+（θ1-k1v）A+ρ1σvviaA+12σrrB2+（θ2-k2r）B+ρ2σrriaB-r=0

則待定系數A（t）=A（t，a，b，c），B（t）=B（t，a，b，c），C（t）=C（t，a，b，c）分別滿足下列常微分方程：

At-12ia+12（ia）2-k1A+12σ2vA2+ρ1σv（ia）A=0

AT，a，b，c=ib

Bt+12ia+12（ia）2-k2B+12σ2vB2+ρ2σr（ia）B-1=0

BT，a，b，c=ic

Ct+θ1A+θ2B=0

CT，a，b，c=0

解方程，方程改寫成：

Aτ=12σ2vA2+f1（a）A+g1（a）

A（0）=ib

對第一式兩邊在0，τ上同時積分，得：

τ0dA12σ2vA2+f1（a）A+g1（a）=τ

再根據不定積分的公式設σv>0

dxax2+bx+c=1b2-4acln2ax+bb2-4ac2ax+b+b2-4ac

得：

τ=1h1（a）lnσ2vA（τ）+f1（a）h1（a）σ2vA（τ）+f1（a）+h1（a）

-1h1（a）lnσ2vA（0）+f1（a）h1（a）σ2vA（0）+f1（a）+h1（a）

σ2vA（τ）+f1（a）h1（a）σ2vA（τ）+f1（a）+h1（a）

=σ2vb+f1（a）h1（a）σ2vb+f1（a）+h1（a）eτh1（a）

=q1（a，b）eτh1（a）

解得：

A（τ）=1σ2v2h1（a）1-q1（a，b）eτh1（a）-f1（a）-h1（a）

同理可得：

B（τ）=1σ2r2h2（a）1-q2（a，c）eτh2（a）-f2（a）-h2（a）

對于Cτ=θ1A+θ2B

C（0）=0解得：

C（τ）=θ1σ2v[2ln1-q1（a，b）eτh1（a）1-q1（a，b）-τf1（a）-τh1（a）]

+θ2σ2r[2ln1-q2（a，c）eτh2（a）1-q1（a，c）-τf2（a）-τh2（a）]

如果，令a=0，b=0，c=0，則在t時刻到期日為T的無風險零息債券的價格為：

P（t，T）=E[e-Ttrsds]=φ（T，x，v，r;0，0，0，T）

引理2.2：設0

φ（a，b，c）=EPexpTtRsds+∑mk=1iakXtk+∑mk=1ibkVtk∑mk=1ickRtkFt0

=φ（t，a，b，c;x，v，r，t1，t2，t3…，tm）

=exp∑mk=1iakxt+A1vt+B1rt+∑mk=1Ck

其中：

Am=Atm-tm-1，am，bm，cm，

A2=At2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3，

A1=At1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2，

Bm=Btm-tm-1，am，bm，cm，

B2=Bt2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3

B1=Bt1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2

Cm=Ctm-tm-1，am，bm，cm

C2=Ct2-t1，∑mk=2ak，b2-A3，c2-B3

C1=Ct1-t，∑mk=1ak，b1-A2，c1-B2

證明：（1）當m=1時，設0

（2）當m=2時，設0

（3）假設當m=k時，等式成立，則當m=k+1時，0

即，當m=k+1時，結論仍成立，綜上，得證。

3?歐式離散障礙期權定價

利用上面推導出的多維特征函數公式，Girsanov測度變換，數學歸納法和Fourier反變換方法等方法，求出下降敲出看漲歐式離散障礙期權的定價公式。

定理1考慮離散歐式下降敲出看漲期權，假設當m=2時，具有兩個離散時間點0

V2DOC=EQeTtrsds（ST-K）+1（St1>L，ST>L）Ft

=EQeTtrsdsST1（St1>L，ST>L）-EQeTtrsdsK1（St1>L，ST>L）

=I1-I2

分別定義兩個新的概率測度P1，P2

dP1dPFt=STe-TtrsdsSt，dP2dPFt=e-TtrsdsP（t，T）

計算I1，I2，由Fourier反變換得：

其中：

ψ1a1，a2=EP1e-a1Xt1-a2XT=eTtrsdsStφa1，a2-i;

ψ2a1，a2=EP2e-a1Xt1-a2XT=1P（t，T）φa1，a2

定理2具有n個離散的時間點0

其中：

4?結語

運用Ito^公式、Fourier反變換，FeynmanKac定理，PDF方程和Girsanov測度變換等一些隨機分析技術和數學歸納法，求出隨機利率和隨機波動率模型下歐式離散障礙期權的定價公式。該方法主要是將復雜的求解期權定價公式簡單化，因此可以應用到該模型下的其他奇異期權定價過程中。

參考文獻：

[1]薛廣明，鄧國和.基于Bates模型的歐式離散障礙期權定價[J].華中師范大學學報（自然科學版），2018，52（02）：164171.

[2]溫鮮，鄧國和，霍海峰.HullWhite隨機波動率模型的歐式障礙期權[J].廣西師范大學學報（自然科學）.

[3]楊瑩.基于CIR隨機波動率模型的障礙期權定價[D].哈爾濱師范大學，2019.

[4]倪曼.雙因素隨機波動率跳擴散模型的障礙期權定價[D].廣西師范大學，2019.

[5]薛廣明，鄧國和.帶跳隨機利率與波動率模型的遠期生效期權定價[J].數學雜志，2019，39（03）：414430.

[6]陳有杰.Wishart隨機波動率模型下離散障礙期權定價[D].廣西師范大學，2020.

[7]Black，F.&?Scholes，M.（1973），‘Valuation?of?options?and?corporate?liabilities，Journal?of?Political?Economy?1973，81（3）：637654.

[8]Merton?R?C.Theory?of?Rational?Option?Pricing[J].The?Bell?Journal?of?Economics?and?Management?Science，1973，4（1）：141183.

[9]Merton?R?C.Option?pricing?when?underlying?stock?returns?are?discontinuous[J].Journal?of?Financial?Economics，1976，3：125144.

[10]Duffie?D，Kan?R，Singeton?K.Transform?analysis?and?asset?pricing?for?affine?jumpdiffusion.

[11]李建輝.隨機波動率下的障礙期權定價[J].價值工程，2016，35（07）：4547.

[12]楊瑩.基于CIR隨機波動率模型的障礙期權定價[D].哈爾濱師范大學，2019.

[13]張寧.雙HESTON跳擴散混合模型的重置期權定價[D].廣西師范大學，2019.

作者簡介：郭培青（1995—?），男，漢族，安徽蚌埠人，碩士，學生，研究方向：金融工具與金融數學。