飛過 請留下痕跡
——變式教學低效的原因及對策

王修湯

(江蘇省南師大附中江寧分校 211102)

“天空沒有留下翅膀的痕跡，但我已經飛過.”這句話出自印度詩人泰戈爾的《飛鳥集》.一種消極的理解認為：我們都在不斷遇見隨后錯過，我們學會了麻木，天空依舊泛著淡然，我們卻已不再重返. 近期聽了一節高三復習題，課題是“與三角形面積有關的問題”，授課教師采用變式教學方式與學生互動，聽課時覺得很精彩，但是從學生課堂反饋及后期測試的結果看，效果一般，筆者深感意外，有一種“飛過”卻沒留下任何痕跡的感覺. 現將教學過程展示如下.

1 飛過

1.1 基礎訓練及例題

教師先投影3道基礎訓練題：

2.在△ABC中，角A，B，C對應邊為a，b，c，若a=3，b=5，c=7，則△ABC的面積為.

3.直角三角形的斜邊長是2，則其面積最大值是.

教師授課時，1、2兩題請學生分析一下思路，直接報出答案. 對于第3小題，教師分別提問四個學生，學生給出以下四種解法(設兩直角邊分別為a，b，面積為S).

圖1

接下來教師投影兩道例題.

(1)求角A的大小；(2)若a=2，b+c=4，求△ABC的面積.

例2在△ABC中，角A，B，C對應邊為a，b，c，若a2+b2+2c2=8，求△ABC的面積最大值.

對于例1，學生做完后教師投影學生做法如下：

(1)由正弦定理得，

(2)因a=2，由(1)及余弦定理得

即4=(b+c)2-3bc，又b+c=4，故bc=4，

所以△ABC的面積為

1.2 變式教學

教完例1，教師開始變式教學。

教師：若將例1(2)中條件b+c=4去掉，可得如下變式.

師生共同合作，從化邊、化角、化“形”上分別考慮，給出以下三種解法.

方法1(化邊)由余弦定理得

即b2+c2=4+bc≥2bc，故bc≤4，

所以△ABC的面積

方法2(化角)由正弦定理得

圖2

變式2在△ABC中，若BC=2，AB=2AC，則△ABC面積的最大值為.

教師已經來不及講例2了，匆匆總結了求三角形面積的最值可以從邊、從角、從“形”不同角度去考慮.

2 無痕

上述整個教學過程，教師準備充分，學生精神飽滿，注意力集中，看出來學生基礎較好，師生關系融洽，課堂氣氛活躍，不時有學生給出不同于別人的解法. 教師教學方法先進，以學生為主體，教師為主導，師生共同合作，一改過去“滿堂灌”的教學方式.

對于本節課的重點和難點，即求三角形的面積最值問題，教師采取變式教學方式，在強化重點突破難點方面，起到了很好作用. 筆者全程參與聽課，從基礎訓練到例1，全體學生基本上沒遇到什么困難，不斷有奇思妙想涌現并積極搶答，場面活躍，教師調動有方，把控得體. 到了變式1，學生感覺有些困難，幾乎沒人想到從“形”上去考慮頂點A的軌跡在一個圓上，教師追問想到此法的一個學生，學生回答是從大量解題經驗中獲得的靈感.

圖3

對于變式2，教師將“a=2”改成“BC=2”，將“c=2b”改成“AB=2AC”，暗示學生可以從“形”上考慮建系，筆者巡視發現，絕大多數學生還是回到條件上想正弦定理或余弦定理，導致運算繁雜，最終沒有計算出來. 盡管教師最后講了“建系”這種方法且確實快捷方便，但收效甚微. 面對周測試卷上的一道題：“如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD=2，則△ABC面積的最大值為.”據了解，學生做對者還是很少，這引起筆者深入思考，看似那么精彩的課堂，教師象領頭的大雁一樣帶領學生在知識的天空翱翔，天空中師生都確實“飛”過一遍，可為什么沒有留下任何痕跡，感覺那節課就象沒上過一樣，其原因究竟在哪里？

3 原因

筆者反復走訪授課教師及學生，授課教師說：“高一學習余弦定理之后就已經做過變式1，當時因沒有學習基本不等式，所以主要介紹‘邊化角’的方法，后來學過基本不等式之后又從‘角化邊’的角度講過一遍，學生對此印象深刻，而從‘形’上考慮建系，從來沒有系統學習過”.聽課學生說：“△ABC中有邊又有角的條件，當然想到正、余弦定理了”；“又不是直角三角形或等腰三角形，誰能想到上去就建系？”；“對于周測試卷上題目，就更想不到‘BD=2，AB=2AD’，答案是變式1答案的兩倍了”.

綜合以上師生所說，結合多年教學的思考，筆者認為造成“無痕”的主要原因有以下四個方面.

3.1 定勢思維困擾學生

造成多數學生只能想到正、余弦定理而想不到建系的主要原因是“定勢思維”，高一學習“解三角形”那一章時，大量配套的例題、習題是利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊，再加上本節課基礎訓練的三個題目基本都用正、余弦定理就能搞定，特別是例1，更是直接用正、余弦定理輕松得手，學生已經做得熟手了. 人們在思考問題時，一直按照同一種方式來思考、理解、記憶問題，久而久之，就在思考問題時形成一種習慣，使人只想到一個方面，這就是心理學上的“定勢思維”，定勢思維對問題解決既有積極的一面，也有消極的一面.大量事例表明，定勢思維確實對問題解決具有較大的負面影響，當一個問題的條件發生質的變化時，定勢思維會使解題者墨守成規，難以涌出新思維，作出新決策.

3.2 新授課出現“盲區”

圖4

3.3 微專題“貪大求全”

本節課教師確定的微專題課題是“與三角形面積有關的問題”，從這個課題就能看出涉及的內容很多，可以是已知邊(角)求面積，也可以是已知面積求邊(角)，還可以求面積的最值或已知面積的最值求邊(角)，與三角形面積有關的問題甚至可以滲透到立體幾何、解析幾何及微積分中. 這個課題太大了，一節課時間有限，師生精力有限，不可能面面俱到，當學生解決了基礎訓練的3個小題及例1后，時間已經過去大半，再出現新的解法時，學生已經身心俱疲，心理上不愿接受新鮮事物了.

3.4 一題多解缺少“比較”

因誤解新課程理念，教師授課時往往過分關注學生，課堂上有時會被學生的表現帶“偏”，即改變了教師備課時的預設，隨著學生的解法“游走”，等教師緩過神來，教學時間已剩下不多，為了趕教學進度，就會忘記教學中的一些重要環節.

本節課對于基礎訓練第3題的處理，如果教師在四種解法展示后能停留一下，請學生比較一下四種解法的優劣，有些學生可能會對方法4(坐標法)多一些關注，如果教師再能發表一下自己對四種解法的“喜好”，重點點評一下坐標法，可能會對后面的變式1、變式2的解法產生一定的影響.

4 對策

根據上述分析的原因，為了避免師生“飛過”但是“無痕”，讓學生形成較強的分析問題解決問題的能力，讓高三數學復習課的課堂更為扎實高效. 筆者給出以下對策供參考，不妥之處敬請指正.

4.1 新授課要“落地生根”

在“解三角形”一章教學中，不僅教學生“作高法”、“向量法”等證明正、余弦定理的方法，還要教會學生用“坐標法”證明，教師要強調“向量”和“坐標系”是處理幾何圖形的兩個重要工具(南師大葛軍教授稱之為處理幾何的兩把“上方寶劍”)，突出“工具”意識. 教師要說到做到，平時對于較難的幾何圖形問題，要帶領學生嘗試“向量法”和“坐標法”，對于前面提到的教材第16頁例題6，教師可以提問學生有沒有其它解法，學生如果還是想不到，就啟發學生：“可以用向量解決此題嗎？”；“可以建立坐標系解決此題嗎？”并給足時間讓學生去體驗.

4.2 微專題要“微小精悍”

什么叫微專題？“微”是選擇一個比較微小的問題作為切入口，“專”是專門解決一個知識“點”的問題，而不是解決知識“面”的問題. 本節課如果能將課題改為“三角形面積的最值問題”，將基礎訓練第1題、第2題及例1全部刪除(其實學生早已掌握)，直接教學基礎訓練第3題、變式1及變式2，那么更能突出重點、分散難點，學生更有精力和時間用新方法解決比較復雜的最值問題. 教師也可以從容一點，把“坐標法”強調到位，說不定師生還有時間完成較難的例2，周測試卷上的題目正確率也會提高很多.

4.3 一題多解要“畫龍點睛”

一題多解，可以開拓學生解題思路，培養學生思維的靈活性和獨創性. 許多老師在數學教學中特別重視和加強一題多解的訓練，這對提高學生的解題能力，發展學生的智力，都是大為有益的. 但是，有些老師在一題多解訓練中存在的主要問題是盲目追求解法多樣，忽視解法優劣的比較.

對于基礎訓練第3題的四種解法，教師逐一分析展示后，無論教學任務多重，教學進度多慢，都要停下來“點睛”，即讓學生比較四種解法的優劣，畢竟考試不可能將四種解法都嘗試一遍.

筆者認為一題多解后教師一定要帶領學生作比較，點出最簡便也最容易想到的那個解法.不能幾種解法同等地位，應側重于通性通法的講解，對于那些所謂的“巧解”，只需讓學生了解一下即可，有的甚至不講，對于基礎中下等的學生應該將講解“巧解”的時間空出來，讓學生自己來尋求通性通法，掌握通性通法.

4.4 強化訓練要“鞏固到位”

光說不練是假把式，光聽不做是走過場，每一項體育運動項目取得成功都是背后反復訓練的結果.“曲不離口，拳不離手”說的也是這個道理. 本節課在教完變式1之后，教師將化邊、化角、化“形”三種方法總結過后，不要急于出示變式2，應該請所有學生把三種方法重新再做一遍(對于那些原來不會做的學生，可以請他們到黑板上書寫)，讓學生親自體驗三種解法的繁簡. 對于變式2，學生可能就會想到“坐標法”，變式2教學過后也應作同樣要求，如果時間不允許，就布置為課后作業，學生反復體驗之后，相信學生在周測中會有更多人做出那道題.

總之，變式教學、一題多解確實是當下高三數學復習課的主流模式，但如果處置不當，盡管“大雁聽過我的歌”，也可能會“什么都沒改變”.但愿教師能選擇恰當的微專題課題，一題多解后作出比較，畫龍點睛，對新穎解法反復訓練，就一定能象噴氣式飛機一樣飛過高三的每一天，天天留下最美的云朵.