如何從整體上把握教材進行教學設計

張藹東

我們常常探討這樣一個問題，如何提高研討研讀教材的能力，也就是如何從整體上把握教材的教學線索進行教學設計。經常有教師提出了這么一個問題，教材在一元二次方程這一章中安排了用配方法解一元二次方程，在這一章之前教材對配方法有滲透嗎？在這一章之后，教材還在哪些地方對配方法的教學做了進一步要求？筆者以北京師范大學出版社出版的教材做一說明，配方法的教學安排在九年級上冊一元二次方程這一章中學習，在講用配方法解一元二次方程的時候正式講授了配方法。實際上，在此之前，在講整式的乘法與因式分解的時候，對配方法已經有所滲透。在這章之后的二次函數的授課中也講了用配方法求二次函數的頂點坐標和對稱軸，所以，縱觀整個的初中數學教材，對配方法的要求大體分成這么三個階段：第一個就是初步的階段滲透;第二個就是系統的講授;第三個就是應用階段。初步階段，我們都知道配方法的關鍵是逆用二項式的完全平方公式，通過補項配成a2+2ab+b2的形式。那么，在整式的乘法與因式分解的這章中，在講乘法公式的時候可進行配方法的初步訓練，如，給學生出示以下一些題目：

（1）a2+b2+（ ? ）=（a+b）2

（2）a2+b2+（ ? ）=（a-b）2

（3）a2+b2-ab+（ ? ）=（a+b）2

還可有這樣的題目，如：

（4）a2+b2+ab+（ ? ）=（a-b）2

（5）a+b2+（ ? ）=（a-b）2

（6）（a+b2）+ab=（a+b）2-（ ? ）

這是在講乘法公式、完全平方公式的時候可以出示這樣一些題目，對配方法做一些滲透。那么，在做因式分解的時候也可以做這樣一些補充的練習，例如，在下列括號中填上適當的數，使它們成為完全平方公式。

（1）x2+8x+（ ? ）

（2）x2-x+（ ? ）

（3）x2-x+（ ? ）

（4）a2+（ ? ）+25=（a+5）2

（5）4a2+（ ? ）+9b2=（2a+3b）2

這些都是對配方法做一些初步的滲透。這也是第一個階段——初步階段。而第二個階段為系統講授。剛才我們提及的一元二次方程與這章的教材都安排了用配方法解一元二次方程以及用配方法推導一元二次方程的求根公式。那么，在教學的時候，教師特別要注意幾個問題：第一個是創設問題情境，激發求知欲;第二個是回顧舊知，引出新知;第三個是展示思維過程，發現配方法;第四是推陳出新，以新帶舊。

一、創設問題情境，激發求知欲

課程標準對方程的要求首先明確地指出，能夠根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。因此，在方程的解法的教學中，無論是現在要學習的一元二次方程的解法，還是前面學習的一元一次方程解法，都盡量地設置豐富的問題情境，結合實際問題來討論解方程，讓學生經歷建立方程模型的過程。在講用配方法解一元二次方程的時候，可以設計這樣的引例：學校進行校園改造時，為了給學生們創造更好的學習環境，縮減了教師的辦公面積。在教學樓中為學生們建造了一個面積為160m2的矩形共享大廳，供學生們課間休息活動。大廳的長比寬多6m，求共享大廳的長和寬各是多少？這是一個學生身邊的實際問題，容易引起學生的共鳴。這個問題本身的數量關系并不復雜，而且學生已經有比較好的列方程解應用題的能力，所以學生不難得到下面的分析過程：設矩形場地寬是xm，那么長就是（x+6）m，根據題意列出方程x（x+6）=160。由此可把它化成一般式，就得到了x+6x-160=0。面對這個方程，學生難以求解。他們思維受阻，所以教師要引導學生回顧已有的知識，尋找聯系，探究新知。那么，這就進入了教學的第二個環節。

二、回顧舊知，引出新知

學生在這節課的認知基礎是什么？實際上是有兩個，一個是前面所強調的對配方法進行滲透，以及對完全平方公式的掌握;第二個就是用直接開平方法解方程。那么，學生在這節課之前，得學習用直接開平方法解一元二次方程。這也是學生目前求解一元二次方程的唯一辦法。而對于直接開平方法的感受和理解，也正是探求用配方法解一元方程的一個基礎了。因此，我們可以設計如下的教學環節，引導學生來回顧舊知，用直接開平方法解方程。如，這些方程4x2-16=0，2x2-32=0，3x2-x=15-x，（x+3）2=2，在學生解出這些方程的基礎上進而提出新的問題，如何來解方程 x2+6x+7=0。在復習了用直接開平方方法解方程之后，若提出解方程x2+6x+7=0這個問題，學生是無法解決的。但是第四小題（x+3）2=2，展開以后恰好就是x2+6x+7=0，那么，這個時候學生非常自然地會提出來：怎么把這個x2+6x+7=0，還原成剛才的那個（x+3）2=2的問題，這激發了學生的求知欲。筆者想，學生一定會躍躍欲試。他們期盼發現配方的法則、配方的方法。這樣一來，就進入到這個教學的第三個環節。

三、展示思維過程發現配方法

如何才能將方程的一邊化成完全平方式？當學生發現，方程（x+3）2=2變形以后恰好是x2+6x+7=0時，學生會分析這個變形的過程并且將它還原展示，即把方程x2+6x+7=0變成（x+3）2=2的這樣一個思維過程。

展開變形

還原

在教學時，在總結這個配方過程的基礎上，我們可讓學生觀察下列的等式，填上適當的數，使等式成立并且總結規律：

（1）x2+10x（ ? ）=（x+5）2

（2）x2-5x+（ ? ）=（x- ? ?）2

（3）x2-x+x（ ? ）=（x- ? ?）2