含梯度項橢圓邊值問題正徑向解的存在性

伏彤彤, 李永祥

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

正徑向解的存在性與唯一性, 其中N≥3, R0>0, K: [R0,∞)→+和f: [R0,∞)××+→連續(xù). 在系數(shù)函數(shù)K(r)=O(1/r2(N-1))(r→+∞), 非線性項f(r,u,η)滿足一些適當?shù)牟坏仁綏l件且關于η滿足Nagumo條件時, 證明該問題正徑向解的存在性與唯一性.

where Ω={x∈N: |x|>R0}, N≥3, R0>0, K: [R0,∞)→+ and f: [R0,∞)××+→ are continuous. When the coefficient function K(r)=O(1/r2(N-1))(r→+∞), under the condition that the nonlinear term f(r,u,η) satisfies some appropriate inequality conditions and Nagumo condition on η, we prove the existence and uniqueness of the positive radial solution of the problem.

0 引 言

考慮如下非線性項中含梯度項的橢圓邊值問題:

(1)

正徑向解的存在性與唯一性, 其中:Ω={x∈N: |x|>R0},N≥3,R0>0;n為?Ω上的單位外法向量;α,β是常數(shù);K:J→+為系數(shù)函數(shù),J=[R0,∞),+=[0,+∞);f:J××+→為非線性函數(shù). 本文假設:

(H1)α,β≥0,α+β>0;

(H2)K∈C(J,+), 且當r→+∞時,K(r)=O(1/r2(N-1)), 即?K0, 使得

(H3)f∈C(J××+,), 且對?M>0,f(r,u,η)在J×[-M,M]×[0,M]上一致連續(xù); 對?(u,η)∈×+,f(·,u,η)在J上有界.

橢圓邊值問題在數(shù)學物理和工程等領域應用廣泛, 可描述萬有引力、 流體力學及人口動態(tài)等問題. 近年來, 關于非線性項不含梯度項的橢圓邊值問題正徑向解的存在性研究得到廣泛關注, 并獲得了一些好結果: 文獻[1-5]討論了Dirichlet邊界條件的特殊情形; 文獻[6-7]應用上下解方法和先驗估計法獲得了含Robin邊界條件的橢圓邊值問題正徑向解的存在性結果; 文獻[8]在允許非線性項f超線性增長或次線性增長的條件下, 應用錐上不動點指數(shù)理論, 獲得了方程

(2)

正徑向解的存在性結果, 其中f:+→+為連續(xù)函數(shù),f(0)=0; 文獻[9-11]討論了含線性梯度項的橢圓型方程

-Δu=f(x,u)+g(|x|)x·u,x∈Ω

(3)

正徑向解的存在性. 目前, 關于非線性項含梯度項的橢圓邊值問題正徑向解的存在性研究文獻報道相對較少. 文獻[12]在允許非線性項f(r,u,η)非負且關于u,η超線性增長或次線性增長的情形下, 應用錐上不動點指數(shù)理論, 獲得了方程(1)正徑向解的存在性結果, 其中f: [R0,∞)××+→+為連續(xù)函數(shù).

上述研究結果討論的均是非線性項f不含梯度項或f含梯度項且非負的特殊情形, 但對非線性項f含梯度項且變號的橢圓邊值問題(1)的研究目前尚未見文獻報道. 本文在不假設非線性項f非負的一般情形下, 討論方程(1)正徑向解的存在性與唯一性. 在非線性項f(r,u,η)滿足一些恰當?shù)牟坏仁綏l件且關于η滿足Nagumo條件時, 先利用上下解方法給出方程(1)正徑向解的存在性結果, 再由微分中值定理進一步給出該問題正徑向解的唯一性結果.

1 預備知識

對橢圓邊值問題(1)的徑向對稱解u=u(|x|), 令r=|x|, 則其轉化為區(qū)間J上的常微分邊值問題(BVP):

(4)

(5)

則方程(4)轉化為區(qū)間(0,1]上的奇異常微分邊值問題(BVP):

(6)

其中:

(7)

(8)

(9)

(10)

設h∈CB(0,1]. 為討論BVP(6), 先考慮BVP(6)相應的奇異線性邊值問題(LBVP):

(11)

引理1對?h∈CB(0,1], LBVP(11)有唯一解v∶=Sh∈C1(I)∩C2(0,1], 且解算子S:CB(0,1]→C1(I)為線性全連續(xù)算子.

引理2對?h∈CB(0,1], LBVP(11)的解v=Sh滿足下列條件:

證明: 1) 對?h∈CB(0,1],v=Sh為LBVP(11)的解. 由引理1知,v∈C1(I)∩C2(0,1], 于是

2) 由邊界條件v(0)=0,α1v(1)+β1v′(1)=0, ?ξ∈(0,1), 使得v′(ξ)=0, 于是

|f(r,u,η)|≤c|u|+dη+C0, (r,u,η)∈J××+,

(12)

則BVP(6)有解.

證明: 對?v∈C1(I)∩C2(0,1], 令

F(v)(t)∶=f(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|),t∈I,

則由假設條件(H3),F:C1(I)→CB(0,1]連續(xù), 且把有界集映為有界集. 定義映射A=S°F, 則由引理1知,S:CB(0,1]→C1(I)為線性全連續(xù)算子, 因此算子A:C1(I)→C1(I)為線性全連續(xù)算子. 再由S的定義, BVP(6)的解等價于算子A的不動點. 考慮同倫簇方程:

v=λAv, 0<λ<1.

(13)

下面證明方程簇(13)的解集在C1(I)中有界. 設v∈C1(I)∩C2(0,1]為方程簇(13)中某λ∈(0,1)對應方程的解, 則v=S(λF(v)). 令h=λF(v), 則由S的定義知,v=Sh為LBVP(11)的解. 因此,v∈C1(I)∩C2(0,1]滿足方程

(14)

由式(12),(14)及引理2中1), 有

對式(15)兩邊取‖·‖C, 由引理2中2), 有

于是

(16)

因此, 由式(16)及引理2中1)知, 方程簇(13)的解集在C1(I)中有界, 由Leray-Schauder不動點定理[16]知,A在C1(I)中有不動點, 該不動點為BVP(6)的解. 證畢.

|f(r,u2,η2)-f(r,u1,η1)|≤c|u2-u1|+d|η2-η1|,

(17)

則BVP(6)有唯一解.

證明: 對?(r,u,η)∈J××+, 在式(17)中, 取(r,u1,η1)=(r,0,0), (r,u2,η2)=(r,u,η),C0=max{|f(r,0,0)|}+1, 則式(12)成立. 因此由引理3知, BVP(6)至少有一個解.

設v1,v2∈C1(I)∩C2(0,1]是BVP(6)的兩個解, 令v=v2-v1, 則由式(10),(17)及引理2中1), 有

對式(18)兩邊取‖·‖C, 由引理2中2), 有

參照文獻[12]中引理2.3, 有:

引理5LBVP(11)對應的線性特征值問題:

存在最小正實特征值λ1, 其相應的特征函數(shù)φ1∈C+(I)∩C1(I)∩C2(0,1], ‖φ1‖C=1, 且滿足方程

(19)

有唯一正解v∈C+(I)∩C1(I)∩C2(0,1].

證明: 易證BVP(19)相應的非線性項滿足式(17). 因此, 由引理4, BVP(19)有唯一解. 同理, 邊值問題(BVP):

(20)

That Christmas, as I sat looking at my brightly wrapped presents, the shining tree and my happy family, I remembered Lauren. I hoped that she was having just as wonderful a Christmas with her family. I felt like we had helped to keep a little girl s belief in Santa Claus alive.

σ=α1/(α1+β1)為常數(shù), 因此v≥0. 于是

h(t)=c|v(t)|+dg(t)|v′(t)|+C0=cv(t)+dg(t)|v′(t)|+C0,t∈(0,1].

從而v為BVP(19)的解, 結論成立. 證畢.

定義1設v(t)∈C1(I)∩C2(0,1], 若v(t)滿足

(21)

則稱v(t)為BVP(6)的下解; 若式(21)均取反向, 則稱v(t)為BVP(6)的上解.

Nagumo條件:

(H4) 存在單調遞增的連續(xù)函數(shù)H:+→(0,+∞), 滿足

(22)

使得

|f(r,u,η)|≤H(η),r∈J,v0(t)≤u≤w0(t),η∈+.

(23)

引理7假設條件(H1)～(H3)成立, 設BVP(6)有下解v0和上解w0,v0≤w0. 若f關于v0和w0滿足條件(H4), 則BVP(6)在v0和w0之間至少有一個解.

(24)

η1(r,u)=max{v0(t),min{u,w0(t)}},

(25)

(26)

則η1(r,u):J×→連續(xù). 做f(r,u,η)的截斷函數(shù)：

因為

|f*(r,u,η)|≤max{|f(r,u,η)|:r∈J,v0(t)≤u≤w0(t), 0≤η≤Q}+‖w0‖C+‖v0‖C+1,

故f*連續(xù)有界. 因此由引理3知, 修改的邊值問題

有解v(t)∈C1(I)∩C2(0,1]. 下面證明v(t)為BVP(6)的解.

Φ′(t0)≤0,Φ″(t0)≥0,

即

(27)

(28)

由截斷函數(shù)的定義、 式(25),(28)及定義1, 有

與式(27)的第三個不等式矛盾. 因此v0≤v. 同理可證v≤w0.

由邊界條件v(0)=0,α1v(1)+β1v′(1)=0, 易證v′(t1)≤0,v′(t2)≥0. 因此

令

s1=sup{t′∈[t1,t2)|v′(t′)=0},

則s1∈[t1,t2), 且

v′(s1)=0;v′(t)>0,t∈(s1,t2].

令

s2=inf{t″∈(s1,t2]|v′(t″)>M2},

則s2∈(s1,t2], 且

v′(t)≤M2,t∈[s1,s2);v′(s2)=M2.

因為當t∈[s1,s2]時, [g(t)|v′(t)|]Q=g(t)|v′(t)|, 所以由截斷函數(shù)的定義及式(10),(23), 有

因此

(29)

對式(29)兩邊在[s1,s2]上積分, 再對左端做變量替換ρ=g(1)v′(t), 有

與式(24)矛盾, 于是|v′(t)|≤M2, 即g(t)|v′(t)|≤M1≤Q. 因此按f*的定義,

f*(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|)=f(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|),

故v(t)為BVP(6)的解. 證畢.

2 主要結果

假設:

(H5) 存在δ>0, 使得

f(r,u,η)≥λ1u, (r,u,η)∈J×[0,δ]×[0,δ];

f(r,u,η)≤cu+dη+C0, (r,u,η)∈J×+×+;

(H7) 對?M>0, 存在單調遞增的連續(xù)函數(shù)HM:+→(0,+∞), 滿足

并使得

|f(r,u,η)|≤HM(η), (r,u,η)∈J×[-M,M]×+.

定理1假設條件(H1)～(H3)成立, 若f滿足條件(H5)～(H7), 則橢圓方程(1)至少有一個正徑向解.

因此,v0為BVP(6)的下解. 由引理6知, 線性BVP(19)有正解w0, 從而由條件(H6), 有

因此,w0為BVP(6)的上解. 下證v0≤w0. 考察u0=w0-v0, 由v0和w0的定義, 有

假設：

(H8)f(r,u,η)關于u,η的偏導數(shù)存在, 且當r∈J,u∈,η∈+時, 有

fu(r,u,η)<0.

定理2假設條件(H1)～(H3)成立, 若f(r,u,η)關于變量u,η連續(xù)可微, 且滿足條件(H5)～(H8), 則橢圓方程(1)有唯一的正徑向解.

證明: 由定理1, 橢圓方程(1)至少有一個正徑向解, 從而BVP(6)有正解.

設v1,v2∈C1(I)∩C2(0,1]為BVP(6)的兩個正解, 令v=v2-v1,h=F(v2)-F(v1), 則

v=v2-v1=Av2-Av1=S(F(v2)-F(v1))=Sh.

因此,v∈C1(I)∩C2(0,1]是LBVP(11)的解, 滿足方程

-v″(t)=a(t)(F(v2)-F(v1)),t∈(0,1].

由微分中值定理知,v(t)∈C1(I)∩C2(0,1]滿足

(31)

v′(t*)=0,v″(t*)≤0,t*∈(0,1].

(32)

由式(31),(32)的第一式及條件(H8), 有

-v″(t*)≤a(t*)(p(t*)v(t*)+|q(t*)|g(t*)|v′(t*)|)≤KLp(t*)<0,t*∈(0,1],

例1考慮球外部區(qū)域Ω={x∈3: |x|>1}上含梯度項的橢圓邊值問題:

(33)

(34)

取δ∈[0,1/4), 則當0≤u≤δ, 0≤η≤δ時, 有

因此,f滿足條件(H6). 易見f(r,u,η)關于η二次增長, 滿足條件(H7). 由定理1, 方程(33)至少有一個正徑向解.