三物種競爭系統行波解的最小波速

周音波, 張亞菲

(西安電子科技大學 數學與統計學院, 西安 710071)

0 引 言

考慮如下三物種的Lotka-Volterra(L-V)競爭系統:

(1)

其中t>0,x∈,di,ri,bi(i=1,2,3)都是正數,di表示擴散系數,ri表示種內增長率,bi表示競爭系數,u1(x,t),u2(x,t)和u3(x,t)分別表示在時間t和位置x處的物種密度. 系統(1)非線性項中每個物種的遷移能力都標準化為1, 由系統(1)可見, 物種u1與u3之間沒有競爭, 而物種u2與u1和u3之間都存在競爭.

目前, 關于最小波速選擇機制的研究已被廣泛關注. 文獻[1]研究表明, 系統在不穩定平衡點處的線性化問題可以控制系統的最小波速. 但對于某些參數的選擇, 最小波速可能嚴格大于c0. 為方便, 本文給出線性選擇和非線性選擇的定義. 當cmin=c0時, 系統的最小波速是線性選擇的； 如果cmin>c0, 則系統的最小波速是非線性選擇的. 文獻[2-6]研究了二維L-V競爭系統最小波速的選擇機制； 文獻[7]討論了相應的格動力系統； 文獻[8-9]研究了其他模型中最小波速的選擇機制. 目前, 對更高維數的L-V競爭系統最小波速的選擇機制研究文獻報道較少, 文獻[10]研究了三維L-V競爭系統最小波速的線性選擇機制, 結果表明, 當系統的參數滿足

時, 系統的最小波速是線性選擇的, 其中

本文進一步研究三維L-V競爭系統的速度選擇機制, 給出判斷系統速度選擇機制的一般條件, 并通過構造一些新的上下解給出一些判斷速度選擇機制的確切條件.

1 行波解的存在性

下面用單調迭代方法考慮系統行波解的存在性. 令u=1-u1,v=u2,w=1-u3, 則競爭系統(1)可轉化為合作系統：

(2)

且初值條件為

u(x,0)=1-u1(x,0),v(x,0)=u2(x,0),w(x,0)=1-u3(x,0), ?x∈.

假設競爭系數滿足

b2>1,b1+b3<1.

(3)

則當式(3)成立時, 系統(2)存在平衡點:

(u,v,w)=(0,0,0)=α0, (u,v,w)=(1,1,1)=α1, (u,v,w)=(1,0,1)=α2.

引入新變量ξ=x-ct, 并定義(u,v,w)(x,t)=(U,V,W)(ξ)是系統(2)連接α1和α0的行波解, 則(U,V,W)(ξ)滿足

(4)

令θ充分大, 使得

其中F,G,H分別對U,V,W單調. 則系統(4)可轉化為

(5)

(6)

用參數變換法可得系統(5)的積分形式為

(7)

其中

定義1如果(U,V,W)(ξ)≥(≤)(T1,T2,T3)(ξ), 則連續函數(U,V,W)(ξ)是積分系統(7)的一個上(下)解.

類似文獻[5]的引理6.1可得：

引理1連續函數(U,V,W)(ξ)在(-∞,+∞)上除有限點ξi(i=1,2,…,n)外處處可微, 不僅滿足

下面給出一些假設并證明如果系統(7)存在一組上解和下解, 則可以得到系統(4)真實解的存在性, 并給出估計.

(8)

其中n=0,1,2,…. 由文獻[11]可得：

定理1如果系統(7)滿足假設(H), 則迭代式(8)收斂到一個非增的函數(U,V,W)(ξ). 該函數即為系統(4)的解, 不僅滿足(U,V,W)(-∞)=α1， (U,V,W)(+∞)=α0, 而且對于ξ∈(-∞,+∞), 有

2 速度選擇機制

由文獻[12]可得:

引理2假設存在常數η-和η+, 滿足η-<0<η+, 并且在t0∈(-∞,+∞)時定義函數η(t)為

dφ″(t)-cφ′(t)+rφ(t)(η(t)-φ(t))=0

存在單調非負解φ(t), 滿足φ(-∞)=η+和φ(+∞)=0.

(10)

證明： 當U(ξ)=1-ψ(ξ)時, 方程(9)可轉化為關于ψ的方程：

令ξ=-t并定義ψ(ξ)=ψ1(t), 1-b2V(ξ)=b(t), 則有

(11)

則對所有的t∈(-∞,+∞)有b(t)≥b-(t). 由引理2可知, 方程

引理4當b1=b3=0時系統(4)的最小波速滿足cmin=c0.

證明： 此時系統(4)為

下面通過對系統(4)中第二個方程構造合適的上下解研究系統(4)最小波速的選擇機制. 在α0處對系統(4)進行線性化可得一個常系數系統：

(12)

對一些正常數z1,z2,z3和μ, 令(U,V,W)(ξ)=(z1e-μξ,z2e-μξ,z3e-μξ), 將其代入系統(12)可得

(13)

這里A(μ)是一個三階矩陣, 具體形式為

當且僅當A(μ)=0時, 代數方程(13)有非平凡解. 令

f(μ)=d2μ2-cμ+r2(1-b1-b3)=0.

(14)

如果c≥c0, 則式(14)存在兩個正解：

(15)

(16)

這里A是一個常數,μ1是式(15)中所定義的形式.

(18)

下面在c→c0時構造系統(4)的一個下解. 定義連續函數

證明： 只需證明對于所有的ξ∈(-∞,+∞), 均有

(19)

當ξ≤ξ1時式(19)的第二個不等式成立, 而且對于所有的ξ, 第一個和第三個不等式也成立. 考慮式(19)第二個不等式的左邊, 當ξ>ξ1時, 有

這里f(μ1)是式(14)定義的形式. 當ε2充分小時, 式(20)右邊的第一項為0且第二項恒大于0； 當M充分大時有z2>0, 且第二項的指數函數可以控制第三項. 因為最后三項取值也全為正數, 所以結論得證.

定理2當式(18)成立時, 系統(4)的最小波速是線性選擇的.

下面考慮系統(4)最小波速的非線性選擇機制.

(21)

證明： 假設系統(21)當c∈[c0,c1)時存在單調的行波解(U,V,W)(x-ct), 初值條件為

u(x,0)=U(x),v(x,0)=V(x),w(x,0)=W(x).

(22)

V(x-ct)=V(ξ*+(c1-c)t)→V(+∞)=0,t→+∞,

下面構造一個連續單調的函數

(23)

如果

(25)

定理3當式(25)成立時， 系統(4)的最小波速是非線性選擇的.

3 速度選擇判定定理

定理4假設d1=d3,r1=r3. 如果

則系統(4)的最小波速是線性選擇的.

證明： 定義

其中

(26)

(27)

當ξ>ξ2時,

因此在條件(27)下, -2(1-b1-b3)+J1(ξ)<0恒成立, 從而由定理2可得結論成立.

定理5如果b1+b3<1/3, 且

(28)

或

(29)

成立, 則系統(4)的最小波速是線性選擇的.

(30)

通過簡單計算, 有

(31)

(32)

(33)

將式(31)～(33)代入系統(4)可知, 如果

(34)

從而當式(29)的第二個不等式成立時， 這兩個不等式也成立. 因此由定理1可知結論成立. 證畢.

(35)

定理6如果

(36)

則系統(4)的最小波速是非線性選擇的.

(37)

將式(35)替換到系統(4)中, 則需證明不等式(25)成立, 且當c=c0+ε1時下列不等式也成立：

(38)

(39)

從而在條件(37)和(39)下, 式(38)的第一個不等式成立. 同理可知式(38)的第二個不等式也成立. 將式(35)代入式(25)可得

則當ε1充分小時, 在條件(37)下, 有

從而由定理3可知結論成立.

綜上可見， 本文定理5的結果可以簡化為E1∪E2, 其中