乘積度量空間上滿足σ(γ)-壓縮條件映射的唯一不動點

樸 勇 杰

(延邊大學 理學院數學系, 吉林 延吉 133002)

1 引言與預備知識

Banach壓縮原理[1], 即Banach不動點定理， 是不動點理論中最基本、 最簡單形式的定理, 在數學及其他領域應用廣泛, 因此該定理在各類不同空間, 特別在乘積度量空間[2-4]上已被廣泛推廣和改進. 特別地, ?zavsar等[5]通過在乘積度量空間上引進乘積壓縮映射的概念, 給出了若干乘積壓縮映射的不動點存在定理.

(i)αα關于每個變量連續;

(ii)α存在k∈[0,1), 使得當a≤α(a,b,b)或a≤α(b,a,b)或a≤α(b,b,a)時,a≤kb.

實度量空間X上的自映射T為A-壓縮的[6]是指對任何x,y∈X, 均有

d(Tx,Ty)≤α(d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty)),

(1)

其中α∈A. 文獻[6]利用該條件得到了若干重要的不動點存在定理; 文獻[7]利用A-壓縮把文獻[6]的部分結果推廣到積分形式. 顯然, A-壓縮是如下壓縮條件的推廣:

d(Tx,Ty)≤ad(x,y)+bd(x,Tx)+cd(y,Ty), ?x,y∈X,

(2)

其中a,b,c∈[0,1)且滿足a+b+c<1, 因此也是如下壓縮條件的推廣：

d(Tx,Ty)≤ld(x,y)+k[d(x,Tx)+d(y,Ty)], ?x,y∈X,

(3)

其中l,k∈[0,1)且滿足l+2k<1. 因此文獻[6]的結果推廣并改進了Kannan型不動點定理及其變形結果[8]. 文獻[9]在復值度量空間上重新定義了A-壓縮概念, 討論并得到了文獻[6]中的相應結果; 文獻[10]在度量空間上得到了滿足A*-壓縮條件的不動點定理, 從而推廣并改進了文獻[6]的結果; 文獻[11]通過在復值度量空間上引進另一類壓縮條件, 即B-壓縮條件, 得到了若干新的不動點定理, 并由該定理得到了滿足壓縮條件

d(Tx,Ty)≤αd(x,y)+βd(x,Ty)+δd(y,Tx),α,β,δ∈[0,1),α+2max{β,δ}<1

的自映射的不動點存在性定理, 因此在復值度量空間上推廣并改進了Chatterjea型不動點定理[12]及其變形定理.

本文將在乘積度量空間上引進兩類壓縮條件, 并給出兩個重要的不動點定理, 進而給出若干不動點定理. 這些結果是在乘積度量空間上的Banach不動點定理、 Kannan不動點定理、 Chaterjea不動點定理及其變形結果的新表現形式, 即本文結果推廣并改進了乘積度量空間上很多已有的不動點定理.

定義1[2]設X是非空集合, 如果映射d:X×X→[0,∞)滿足下列條件：

1) 對任何x,y∈X,d(x,y)≥1且d(x,y)=1?x=y;

2) 對任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x);

3)(乘積三角不等式) 對任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)d(y,z).

則稱d是X上的乘積度量, 稱(X,d)為乘積度量空間.

例2[13]設X=并定義d(x,y)=e|x-y|(?x,y∈X), 則(,d)是乘積度量空間.

定義2[2]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列, 且x∈X. 若對任何積性開球Bε(x)={y∈X|d(x,y)<ε}(ε>1), 均存在自然數N, 使得當n>N時xn∈Bε(x)成立, 則稱序列{xn}乘積收斂于x, 并記為xn→x(n→∞).

引理1[5]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列且x∈X, 則

xn→x(n→∞) ?d(xn,x)→1(n→∞).

定義3[5]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列. 若對任何ε>1, 均存在自然數N, 使得當n,m>N時d(xn,xm)<ε成立, 則稱序列 {xn}為乘積Cauchy序列.

引理2[5]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}是X中序列, 則{xn}是乘積Cauchy序列當且僅當d(xm,xn)→1(m,n→∞).

定義4[5]如果乘積度量空間(X,d)中的每個乘積Cauchy序列都是乘積收斂的, 則稱(X,d)是完備的.

引理3[5]設(X,d)是乘積度量空間, {xn}和{yn}是X中的兩個序列, 且x,y∈X, 則

xn→x,yn→y(n→∞) ?d(xn,yn)→d(x,y),n→∞.

定義5[5]設(X,d)是乘積度量空間. 對于映射f:X→X, 若存在λ∈[0,1), 使得對任何x,y∈X, 均成立d(fx,fy)≤(d(x,y))λ, 則稱f為乘積壓縮的.

定理1[5]完備的乘積度量空間(X,d)上任何乘積壓縮映射f必有唯一不動點.

2 唯一不動點定理

首先, 引進第一個函數類:σ∈Σ當且僅當σ: [1,∞)3→[0,∞)滿足下列條件：

(i)σσ關于每個變量連續;

(ii)σ存在k∈[0,1), 使得當x,y∈[1,∞)且滿足x≤σ(y,y,x)或x≤σ(y,x,y)或x≤σ(x,y,y)時,x≤yk成立.

例4定義σ: [1,∞)3→[0,∞)為σ(x,y,z)=(max{x,y,z})k, 其中k∈[0,1).顯然,σ滿足條件(i)σ. 假設x≤σ(y,y,x)=(max{y,y,x})k. 如果y

定理2設(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射. 如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤σ(d(x,y),d(x,fx),d(y,fy)),

(4)

則f在X中存在唯一不動點, 其中σ∈Σ.

證明: 任取x0∈X, 并根據xn+1=fxn(n=0,1,2,…)構造一個序列{xn}.

對任何n=1,2,…, 根據式(4)得

根據條件(ii)σ得d(xn,xn+1)≤(d(xn-1,xn))k. 因此由歸納原理可得

d(xn,xn+1)≤(d(x0,x1))kn,n=1,2,….

(5)

對任何正整數n,m且n>m, 根據定義1中條件3)和式(5)得

對任何n=1,2,…, 根據式(4)得

對式(7)兩邊取極限, 根據引理2、 引理3和條件(i)σ得

d(x*,fx*)≤σ(1,1,d(x*,fx*)),

于是根據條件(ii)σ得d(x*,fx*)=1, 即fx*=x*, 表明x*是f的一個不動點.

如果y*也是f的不動點, 則得

d(x*,y*)=d(fx*,fy*)≤σ(d(x*,y*),d(x*,fx*),d(y*,fy*))=σ(d(x*,y*),1,1),

于是根據條件(ii)σ得d(x*,y*)=1, 因此x*=y*. 表明x*是f的唯一不動點.

定理3設(X,d)是完備的度乘積量空間, 且f:X→X為映射. 如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(d(x,y))α(d(x,fx))β(d(y,fy))δ,

則f在X存在唯一不動點, 其中非負實數α,β,δ滿足α+β+δ<1.

證明: 考慮例3中的σ, 根據定理2和例3知, 給定的條件滿足定理2的所有條件, 因此f有唯一不動點. 證畢.

類似地, 根據定理2和例4可得如下不動點定理:

定理4設(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射. 如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(max{d(x,y),d(x,fx),d(y,fy)})k,

則f在X中存在唯一不動點, 其中非負實數k<1.

注1定理3是度量空間上滿足壓縮條件(2)的不動點定理在乘積度量空間上的表現形式. 如果β=δ=0, 則定理3是乘積度量空間上Banach型不動點定理, 即定理1; 如果α=0,β=δ, 則定理3是Kannan型不動點定理, 而定理4是乘積度量空間上Ciric型不動點定理. 因此定理2～定理4推廣并改進了很多重要的不動點定理.

其次, 引進第二個函數類:γ∈Γ當且僅當γ: [1,∞)3→[0,∞)滿足下列條件:

(i)γγ關于每個變量連續且單調遞增的;

(ii)γ存在k∈[0,1), 使得當x,y∈[1,∞)且x≤γ(y,xy,1)或x≤γ(y,1,xy)時,x≤yk成立.

x≤γ(y,xy,1)=ys(max{xy,1})t=ys(xy)t=xtys+t,

則x≤y(s+t)/(1-t)=yk; 如果

x≤γ(y,1,xy)=ys(max{1,xy})t=ys(xy)t=xtys+t,

則x≤y(s+t)/(1-t)=yk. 于是γ滿足條件(ii)γ, 因此γ∈Γ.

定理5設(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射. 如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤γ(d(x,y),d(x,fy),d(y,fx)),

(8)

則f在X中存在不動點, 其中γ∈Γ. 進一步, 若γ滿足對任何x>1, 均有x>γ(x,x,x), 則f有唯一不動點.

證明： 任取x0∈X, 并根據xn+1=fxn(n=0,1,2,…)構造一個序列{xn}.

對任何n=1,2,…, 根據式(8)、 定義1中條件3)和(i)γ得

對任何n=1,2,…, 根據式(8)有

對式(9)兩邊取n→∞, 根據引理2、 引理3和條件(i)γ得

d(x*,fx*)≤γ(1,d(x*,fx*),1),

于是根據條件(ii)γ得d(x*,fx*)=1, 即fx*=x*, 表明x*是f的一個不動點.

假設y*也是f的不動點, 則根據式(8)有

于是根據附加條件得d(x*,y*)=1, 即x*=y*, 表明x*是f的唯一不動點.

定理6設(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射. 如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(d(x,y))α(d(x,fy))β(d(y,fx))δ,

則f在X中存在唯一不動點, 其中非負實數α,β,δ滿足α+2max{β,δ}<1.

證明: 考慮例5中的γ, 根據定理5和例5知, 給定的條件滿足定理5的所有條件, 因此f有不動點. 此外, 當x>1時,γ(x,x,x)=xα+β+δ

同理, 根據定理5和例6可得如下不動點定理:

定理7設(X,d)是完備的乘積度量空間, 且f:X→X為映射. 如果對任何x,y∈X, 均有

d(fx,fy)≤(d(x,y))s(max{d(x,fy),d(y,fx)})t,

則f在X中存在唯一不動點, 其中非負實數s,t滿足s+2t<1.

證明： 考慮例6中的γ, 根據定理5和例6知, 給定的條件滿足定理5的所有條件, 因此f有不動點. 此外, 當x>1時,

γ(x,x,x)=xs(max{x,x})t=xs+t≤xs+2t

于是定理5中的附加條件也滿足, 因此f有唯一不動點.

注2定理6是復值度量空間上滿足壓縮條件d(fx,fy)≤αd(x,y)+βd(x,fy)+δd(y,fx)(其中α,β,δ∈[0,1)且滿足α+2max{β,δ}<1)的自映射的不動點定理在乘積度量空間上的表現形式. 特別地, 當β=δ=0時, 定理6即為Banach型不動點定理; 當α=0,β=δ時, 定理6即為Chatterjea型不動點定理. 顯然, 定理7是Banach型不動點定理和Ciric型不動點定理的混合型結果. 因此定理5～定理7推廣并改進了很多重要的不動點定理.

當x,y∈{0,2},x=y=5時, 顯然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e0=1≤(d(x,y))α(d(x,fx))β(d(y,fy))δ;

當x=0,y=5時, 顯然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

當x=2,y=5時, 顯然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

于是(X,d),f,α,β,δ滿足定理3的所有條件, 因此f有唯一不動點0.

當x,y∈{0,2},x=y=5時, 顯然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e0=1≤(d(x,y))α(d(x,fy))β(d(y,fx))δ;

當x=0,y=5時, 顯然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

當x=2,y=5時, 顯然成立

d(fx,fy)=e|fx-fy|=e2

于是(X,d),f,α,β,δ滿足定理6的所有條件, 因此f有唯一不動點0.

d(fx,fy)=e2

于是(X,d),f,s,t滿足定理7的所有條件, 因此f有唯一不動點0.