事件空間中時標上Hamilton系統的Noether對稱性定理

施玉飛, 張 毅

(1. 蘇州科技大學 數學科學學院, 江蘇 蘇州 215009； 2. 蘇州科技大學 土木工程學院, 江蘇 蘇州 215011)

時標上的微積分理論[1]統一了連續分析和離散分析, 可揭示連續與離散現象的內在聯系和本質區別. Bohner[2]研究了時標上的變分問題, 給出了時標Euler-Lagrange方程； Bartosiewicz等[3]建立了時標上的Noether定理. 目前, 關于Noether定理及其應用的研究已取得許多成果[4-7], 但關于時標上Noether理論的研究文獻報道較少. Cai等[8]研究了時標上非保守非完整系統的Noether對稱性； 文獻[9-11]分別建立了時標上Hamilton系統、 Birkhoff系統、 時滯系統的Noether定理. 本文進一步討論事件空間中時標上Hamilton系統的Noether對稱性與守恒量, 給出事件空間中時標Hamilton系統的Noether對稱性定理.

1 時標微積分及基本性質

設 T是一時標, 定義向前跳躍算子σ: T→T為σ(t)=inf{s|s>t,s∈T}, 向后跳躍算子ρ: T→T為ρ(t)=sup{s|s

假設函數f: T→, 令t∈Tk, 如果給定任一ε>0, 存在δ>0, 使得對所有的s∈U,U=(t-δ,t+δ)∩T, 均有

|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,

(1)

對于時標微積分, 下列運算公式[12]成立:

其中函數β(t): [r,s]∩T→單調遞增且和表示定義在變換后的時標上.

引理1(時標上Dubois-Reymond引理)[12]令g∈Crd,g: [a,b]→n, 則對所有的且η(a)=η(b)=0,gT(t)ηΔ(t)Δt=0均成立當且僅當g(t)=c, 其中常數c∈n.

2 事件空間中時標Hamilton正則方程

(8)

則事件空間中時標Hamilton原理為

(9)

且滿足關系

(10)

端點條件為

δxα|τ=a=δxα|τ=b=0,α=1,2,…,n+1,

(11)

其中：a,b∈T且a

引進事件空間中時標上的廣義動量和Hamilton函數:

(12)

則式(9)可表示為

(13)

對Hamilton作用量

(14)

求變分, 得

(15)

由式(3)和式(11), 有

因此

(17)

將式(12)第二個等式的兩邊對yα求偏導數, 得

(18)

將方程(18)代入式(17), 得

(19)

由Dubois-Reymond引理, 得

(20)

對式(20)兩邊求Δ-導數, 得

(21)

聯立方程(18)和(21), 得

(22)

此即為事件空間中時標Hamilton正則方程.

3 主要結果

文獻[3-4]給出了證明Noether對稱性定理的不同方法. 本文采用時間重新參數化方法建立并證明事件空間中時標上Hamilton系統的Noether對稱性定理, 證明過程分兩步.

1) 考慮參數τ不變的特殊無限小變換:

(23)

定義1對任意子區間[τa,τb]?[a,b], 其中τa,τb∈T, 如果成立

(24)

則稱這種不變性為事件空間中時標上Hamilton系統(22)在無限小變換(23)下的Noether對稱性.

定理1如果參數τ不變的特殊無限小變換(23)相應于事件空間中時標上Hamilton系統(22)的Noether對稱性, 則對任意τ∈[a,b], 成立

(25)

證明： 由于對任意的[τa,τb]?[a,b], 式(24)成立, 因此有

(26)

將式(23)代入式(26), 得

(27)

將式(27)對ε求導, 并令ε=0, 即可得式(25). 證畢.

定理2如果參數τ不變的特殊無限小變換(23)相應于事件空間中時標上Hamilton系統(22)的Noether對稱性, 則

I=yαξα=常數

(28)

是該系統的Noether守恒量.

證明： 由正則方程(22)及式(25), 可得

于是守恒量式(28)成立. 證畢.

2) 考慮參數τ變更的一般無限小變換：

(29)

設映射β為

τ→β(τ)=τ+εψ(τ,xi,yi)+o(ε),

(30)

(31)

定義2對任意子區間[τa,τb]?[a,b], 其中τa,τb∈T, 如果成立

(32)

則稱這種不變性為事件空間中時標上Hamilton系統(22)在無限小變換(29)下的Noether對稱性.

定理3如果參數τ變更的一般無限小變換(29)相應于事件空間中時標上Hamilton系統(22)的Noether對稱性, 則對任意τ∈[a,b], 成立

(33)

證明： 由式(32), 有

由于式(34)對任意積分區間成立, 因此有

(35)

將式(35)對ε求導, 得

(36)

在式(36)中令ε=0, 有

再考慮到式(22), 即可得式(33). 證畢.

定理4如果參數τ變更的一般無限小變換(29)相應于事件空間中時標上Hamilton系統(22)的Noether對稱性, 則

(37)

是該系統的Noether守恒量.

證明： 令

(38)

其中τ∈[a,b],x,v,p∈n+1,s,r∈,r≠0. 當s(τ)=τ時, 可得

(39)

(40)

其中,

(41)

由定義2, 當s(τ)=τ時, 有

注意到當s(τ)=τ時, 有

(44)

是系統的Noether守恒量.

由于

(45)

因此當s(τ)=τ時, 有

(47)

(48)

將式(47),(48)代入式(44), 可得守恒量式(37). 證畢.

I=yαξα-Hψ=常數.

(49)

當 T=h,h>0時, 有σ(τ)=τ+h,μ(τ)=h, 則由式(37)有

(50)

式(49)和式(50)是事件空間中連續和離散情形下的經典Noether守恒量. 當 T=且τ=t時, 由式(37)有

I=pαξα-Hψ=常數,

(51)

式(51)與文獻[4]結果一致.

定理2和定理4是本文得到的事件空間中時標上Hamilton系統的Noether對稱性定理. 事件空間中經典Hamilton系統的Noether對稱性定理[4]和時標上Hamilton系統的Noether對稱性定理[9]均為其特例.

4 算 例

考慮位形空間中Lagrange函數

L(t,qσ,qΔ)=t-qσqΔ,

(52)

設參數τ定義在時標 T={2n|n∈}∪{0}上. 由σ(τ)和μ(τ)的定義, 可得

σ(τ)=2τ,μ(τ)=τ.

(53)

由式(52)和式(8)可得

(54)

再由式(12)有

(55)

于是由式(22)和式(55), 可得時標Hamilton正則方程為

(56)

根據式(33), 有

(57)

方程(57)的解為

ψ=τ,ξ1=0,

(58)

因此由定理4可得

(59)

式(59)是系統的Noether守恒量.

事件空間中時間和廣義坐標地位相同, 因而參數選取更靈活, 并且(n+1)個參數方程中已經包含了系統的能量方程, 因此研究事件空間動力學具有重要意義. 本文建立了事件空間中時標Hamilton原理, 導出了時標Hamiltom正則方程, 并建立及證明了事件空間中時標上Hamilton系統的Noether對稱性定理.