實Clifford代數及其單位群的實矩陣表示

宋元鳳, 楊 柳, 李武明

(1. 通化師范學院 數學學院, 吉林 通化 134002; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

1 引言與預備知識

矩陣表示在量子理論、 機器人科學等領域應用廣泛. Cartan[1]給出了Clifford代數矩陣表示的八周期理論; Farebrother等[2]給出了四元數代數所有的48個矩陣表示； Song等[3]構造了2×2的反對稱分塊矩陣, 并證明這種矩陣集與Cl0,n同構, 從而給出了實Clifford代數Cl0,n的忠實矩陣表示; Lee等[4]構造了8×8的實矩陣集, 并證明這種矩陣集與Cl0,3同構; Budinich[5]證明了Clifford代數的復表示可簡化為實代數或四元數代數.

設{e1,e2,…,ep+q}為p+q的一個基, 實Clifford代數Clp,q上的Clifford乘積定義為

(1)

則Clp,q為2p+q維代數[6-7]. 當p+q=3時,Clp,q可視為由基

{1,e1,e2,e12,e3,e13,e23,e123}

(2)

生成的線性空間,Clp,q有Cl0,3,Cl1,2,Cl2,1,Cl3,0四種形式, 由于Cl1,2?Cl3,0, 因此只需討論實Clifford代數Cl0,3,Cl2,1,Cl3,0的實矩陣表示及其單位群的實矩陣表示.

本文所涉及的Clp,q統(tǒng)一約定p+q=3, 規(guī)定In表示n級單位矩陣,GLn(F)表示數域F上的n級一般線性群, Im(φ)表示映射φ的像集, Cen(Clp,q)表示Clp,q的中心子代數, Mat(n,F)表示數域F上的n級矩陣群或n級矩陣代數, H表示四元數代數.

2 Clp,q單位群的實矩陣表示

首先考慮Clp,q的可逆元生成群(單位群)的實矩陣表示.

定義1[8]設G是任意群,φ:G→GLn(F)是群同態(tài), 則稱φ的像集Im(φ)是G的一個矩陣表示. 若φ為單的群同態(tài), 則稱該矩陣表示為忠實的.

定義2[8]一個代數同態(tài)φ:A→Mat(n,F)即為A的一個F表示, Im(φ)稱為A的一個F-矩陣表示. 若φ為單的代數同態(tài), 則稱該矩陣表示為忠實的.

引理1[9]實Clifford代數Clp,q的單位群為

若將Clp,q視為實數域上的2p+q維線性空間, 設{α1,α2,…,αn}為Clp,q的一個基, 則對任意的a∈Clp,q, 通過Clp,q左乘a(a∈Clp,q)可得線性變換

(6)

令

(7)

設A是n×n矩陣, 其中(i,j)的元素為aij. 令

τ：Clp,q→Mat(n,),aA,a∈Clp,q,

(8)

其中A是Clp,q的左乘線性變換la在一個確定基下所對應的矩陣. 于是可得如下交換圖：

M1(a1,a2,…,a8),ai∈,i=1,2,…,8,

(9)

且

(a1,a2,a3,a4)≠(a8,-a7,a6,-a5)或(a1,a2,a3,a4)≠(-a8,a7,-a6,a5).

(10)

證明: 對Cl0,3中的任意元素

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+a5e3+a6e13+a7e23+a8e123,

(11)

可變形為

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+(-a5e12+a6e2-a7e1+a8)e123=α1+β1e123,

其中

α1=a1+a2e1+a3e2+a4e12,β1=-a5e12+a6e2-a7e1+a8.

令

φ:Cl0,3→Mat(8,),aM1(a1,a2,…,a8),

(12)

式(12)中矩陣是Cl0,3的元素左乘式(11)在Cl0,3的基(2)下所對應的矩陣. 通過上述映射φ可得映射

(13)

記

M2(a1,a2,…,a8),ai∈,i=1,2,…,8,

(14)

且

(15)

證明: 對Cl2,1的任意元素式(11)可變形為

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+(-a5e12-a6e2+a7e1+a8)e123=α2+β2e123,

其中

α2=a1+a2e1+a3e2+a4e12,β2=-a5e12-a6e2+a7e1+a8.

令

φ:Cl2,1→Mat(8,),aM2(a1,a2,…,a8),

(16)

式(16)中矩陣是Cl2,1基中元素左乘式(11)在Cl2,1的基(2)下所對應的矩陣. 通過上述映射φ可得映射

(17)

記

M3(a1,a2,…,a8),ai∈,i=1,2,…,8,

(18)

且

(19)

證明: 對Cl3,0中任意元素式(11)可變形為

a=a1+a2e1+a3e2+a4e12+(-a5e12-a6e2+a7e1+a8)e123=α3+β3e123,

其中

α3=a1+a2e1+a3e2+a4e12,β3=-a5e12-a6e2+a7e1+a8.

令

ψ:Cl3,0→Mat(8,),aM3(a1,a2,…,a8),

(20)

式(20)中矩陣是Cl3,0基中元素左乘式(11)在Cl3,0的基(2)下所對應的矩陣. 通過映射ψ可得映射

(21)

所以

由引理1可得結論式(19).

3 Clp,q的矩陣表示

由于文獻[8-9]刻畫了Cl0,3的矩陣表示, 所以本文只考慮Cl2,1,Cl3,0的實矩陣表示.

先考慮Cl2,1的忠實實矩陣表示. 根據文獻[8,10], 計算可得

Cl2,1?Cl1,1?Cl1,0?Mat(2,)?H?〈e1,e2〉?〈e123〉.

(22)

令

從而可得如表1所示的Cl2,1基中元素的像乘法表, 其中D12=D1D2.

表1 Cl2,1基的像乘法表

令

由于

Cl2,1=〈e1,e2〉〈e123〉=〈e1,e2,e3〉,

從而可得下列代數同態(tài)：

ρ1：Cl2,1→Mat(4,),ek

(23)

所以Im(ρ1)是Cl2,1的忠實實矩陣表示. 于是可得下列結果:

定理4實Clifford代數

(24)

其中

表2 Cl2,1矩陣表示基元素乘法表

按上述方法構造的Cl2,1的非平凡實矩陣表示為2×2分塊矩陣代數, 其中分塊矩陣左上角為2×2實矩陣, 其余元素都是2×2零矩陣, 因此Cl2,1的矩陣表示為

Im(φ1)?〈D1,D2〉?Mat(2,).

(25)

根據Cl2,1的另一個非平凡同態(tài)

(26)

下面根據Cl3,0基的元素考慮Cl3,0忠實實矩陣表示. 根據文獻[5-6]中公式, 可推導出

Cl3,0?Cl1,1?Cen(Cl3,0)?Mat(2,)??〈e1,e2〉?〈e123〉.

(27)

令

根據Cl3,0基元素的像可得如表3所示的乘法表.

表3 Cl3,0基的像乘法表

令

由于

Cl3,0=〈e1,e2〉〈e123〉=〈e1,e2,e3〉,

從而可得代數同態(tài):

ρ2：Cl3,0→Mat(4,),ek

(28)

所以Im(ρ2)是Cl3,0的忠實實矩陣表示. 于是可得如下結果:

定理5實Clifford代數

由于

Cl3,0??H,Cl3,0?〈e123〉?〈e1,e2〉, 〈e1,e2〉?Mat(2,),

Cl3,0??H??Mat(2,).

本文通過Cl3,0??Mat(2,)構造了Cl3,0的實矩陣表示, 事實上, 通過Cl3,0??H可構造Cl3,0的其他實矩陣表示.