張量變分不等式解的存在性

牟文杰, 范江華

(廣西師范大學 數學與統計學院, 廣西 桂林 541006)

0 引 言

考慮如下張量變分不等式問題TVIP(A,q,K): 求向量x*∈K, 使得

〈A(x*)m-1+q,y-x*〉≥0, ?y∈K,

其中A為m階n維實張量,q∈n,K是n中的非空閉凸子集. 將TVIP(A,q,K)的解集記為STVIP(A,q,K). 當時, TVIP(A,q,K)轉化為張量互補問題TCP(A,q).

張量互補問題[1]是一類非線性互補問題, 簡記為TCP(A,q): 求向量x*∈n, 使得

x*≥0,A(x*)m-1+q≥0, (x*)T(A(x*)m-1+q)=0.

目前, 關于TCP(A,q)解集基本性質和迭代算法的研究已取得了許多結果: 對于對稱正定張量和共正張量等結構張量, Che等[2]給出了對應張量互補問題解的存在性定理; Song等[3]討論了半正張量的性質, 并研究了對應張量互補問題解的唯一性; Wang等[4]討論了ER張量的性質, 并研究了對應張量互補問題解集的非空緊性; Yu等[5]研究了張量互補問題解的穩定性; Luo等[6]討論了Z張量的一些性質, 并研究了Z張量對應互補問題的稀疏解; Liu等[7]研究了一些特殊結構張量互補問題的全局唯一性和可解性, 并在此基礎上給出了相應的非光滑牛頓法.

張量變分不等式在經濟均衡和博弈論中應用廣泛, 如Nash均衡問題在一定條件下可轉化為張量變分不等式問題. 解集的基本性質及迭代算法是張量變分不等式問題研究的重點, 解的存在性研究是張量變分不等式問題理論研究的最基本問題. Song等[1]將一類結構矩陣推廣到高階張量, 提出了一類特殊的張量變分不等式問題; Wang等[8]利用例外族方法, 在0∈K及A在K上正定的條件下, 研究了張量變分不等式問題解集的非空緊性, 在0∈K及A在K上嚴格正定的條件下, 研究了張量變分不等式問題解的唯一性, 并證明了一類多人非合作對策可以重新表示為一類張量變分不等式問題； Barbagallo等[9]研究了張量變分不等式問題解的不適應性和穩定性, 并將理論結果應用于檢驗一般的寡頭市場均衡問題.

本文研究張量變分不等式問題解的存在性, 首先給出張量變分不等式問題解集為空集的一個必要條件; 其次, 當張量在集合的退化錐上正定時, 證明張量變分不等式問題解集為非空緊致集, 給出張量變分不等式問題解集為非空緊致集的一些強制性條件及張量變分不等式問題解集為非空緊致集的必要條件. 若0∈K, 則K∞?K, 從而由A在K上正定可推出A在K∞上正定, 故本文結果的條件比文獻[8]中定理4.2的條件弱, 從而推廣了文獻[8]的主要結果.

1 基本符號和概念

設K是n中的非空子集, 任取令其中表示以為中心、r為半徑的開球.表示Kr的內部, 記

用K∞表示K上的退化錐, 定義為

(1)

若K為閉凸集, 給定x0∈K, 則K∞可定義為

(2)

此時,K∞與x0∈K的選取無關. 由文獻[10]中命題2.1.5可知, 當K為閉凸集時, 式(1)與式(2)等價. 對任意給定的正整數n, 用[n]表示集合{1,2,…,n}. 對任意給定的正整數m,r1,r2,…,rm, 一個m階r1×r2×…×rm維實張量A∈r1×r2×…×rm可表示為(ai1i2…im), 其中ai1i2…im∈對任意ij∈[rj]和j∈[m]皆成立. 特別地, 若對任意j∈[m], 有rj=n, 則稱A為m階n維實張量, 用 Tm,n表示m階n維實張量的集合. 元素ai1i2…im均為0的張量稱為零張量, 記為O.

定義1設A∈Tm,n,v∈n, 則張量A和向量v的k-模式(向量)積記為其分量表示為

其中ij∈[n],j∈[m]k.

定義2設A=(ai1i2…im)∈Tm,n,x∈n, 則Axm-1是n中的向量, 其第i個分量表示為

Axm是m次齊次多項式, 定義為

定義3設A∈Tm,n, 若對任意x∈n{0}, 有Axm>0, 則稱A在n上正定.

定義4設K是n中的非空子集,A∈Tm,n, 若對任意x∈K{0}, 有Axm>0, 則稱A在K上正定.

下面舉例說明A∈Tm,n在K上正定, 在n上不一定正定.

例1設

A∈T3,2, 其中a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1, 則0∈K. 對任一u∈K{0}, 有

(3)

(4)

(5)

故A不在n上正定.

定義5設A=(ai1i2…im)∈Tm,n, 若任意置換元素ai1i2…im的下標i1,i2,…,im, 其值保持不變, 則稱A為對稱張量.

2 解集的非空緊致性

下面考慮張量變分不等式問題解的存在性, 首先給出張量變分不等式問題解集為空集的一個必要條件, 然后給出張量變分不等式問題解集為非空緊致集的幾個充分條件.

設K是n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n. 下面考慮TVIP(A,q,K)在Kr上的限制, 記為TVIP(A,q,Kr): 求向量xr∈Kr, 使得

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0, ?y∈Kr.

將TVIP(A,q,Kr)的解集記為STVIP(A,q,Kr).

引理1設K是n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n. 對任意給定的若STVIP(A,q,K)=?, 則存在序列{xr}r>r0滿足下列條件:

2)xr∈STVIP(A,q,Kr).

〈A(xr)m-1+q,(1-tr)y+trxr-xr〉≥0,

消去(1-tr), 得

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0,

引理1給出了張量變分不等式問題解集為空集的一個必要條件.

引理2設K是n中的非空閉凸子集且0∈K, 若A∈Tm,n在K上正定, 則A在K∞上正定.

證明: 由式(2)可知, 若0∈K, 則K∞?K, 結論顯然成立.

注1若K為有界集, 則由式(2)可知,K∞={0}, 故任一張量均在K∞上正定.

下面舉例說明引理2的逆命題不成立.

例2設

A∈T3,2, 其中a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1, 則0∈K,

定理1設K為n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n, 若

Aum>0, ?u∈K∞{0},

則STVIP(A,q,K)為非空緊致集.

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0, ?r≥r0,

(6)

將式(6)兩邊同時除以‖xr‖m, 得

(7)

〈Aum-1,-u〉≥0 ?Aum≤0,

與定理1條件矛盾. 因此, STVIP(A,q,K)≠?.

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0, ?y∈K,

(8)

仿照上述步驟可推出矛盾. 故STVIP(A,q,K)為有界集.

最后證明STVIP(A,q,K)為閉集. 設xr∈STVIP(A,q,K),xr→x*, 則有式(8). 令r→+∞, 得

〈A(x*)m-1+q,y-x*〉≥0, ?y∈K,

即x*∈STVIP(A,q,K). 因此, STVIP(A,q,K)為閉集.

綜上可知, STVIP(A,q,K)為非空緊致集. 證畢.

定理1給出了張量變分不等式問題解集為非空緊致集的一個充分條件.

注2當0∈K,A∈Tm,n在K上正定時, 文獻[8]中定理4.2利用例外族方法證明了STVIP(A,q,K)為非空緊致集. 當0∈K時, 由引理2可知, 若A在K上正定, 則A必在K∞上正定, 故定理1的條件比文獻[8]中定理4.2的條件弱, 從而推廣了文獻[8]的結果.

例3設

A∈T3,2, 其中a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1,q=0, 則

對任一u∈K∞{0}, 有式(3),(4), 故A在K∞上正定, 從而滿足定理1的條件. 其相應張量變分不等式問題的解集

為非空緊致集. 例2表明,A不在K上正定, 故該例不滿足文獻[8]中定理4.2的條件.

定理2設K為n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n為對稱張量,q∈n. 若STVIP(A,q,K)為非空緊致集, 則

〈q,u〉>0, ?u∈(K∞∩{v∈n:Av=O}){0}.

證明: 用反證法. 假設存在非零向量u0∈K∞且Au0=O, 使得〈q,u0〉≤0. 因為A為對稱張量, 且Au0=O, 故

A(x+tu0)m-1=Axm-1, ?x∈K, ?t>0.

又因為

〈A(x+tu0)m-1,u0〉=〈Axm-1,u0〉=〈xm-1,Au0〉=0, ?x∈K, ?t>0,

所以

〈A(x+tu0)m-1+q,-tu0〉≥0, ?x∈K, ?t>0.

(9)

將不等式(9)左邊加上

〈A(x+tu0)m-1+q,y-x〉-〈Axm-1+q,y-x〉,

得

〈A(x+tu0)m-1+q,y-(x+tu0)〉-〈Axm-1+q,y-x〉≥0, ?x,y∈K, ?t>0.

令x=x*∈STVIP(A,q,K), 得

〈A(x*+tu0)m-1+q,y-(x*+tu0)〉≥0, ?y∈K, ?t>0,

故對任意t>0, 有x*+tu0∈STVIP(A,q,K), 這與STVIP(A,q,K)為緊致集矛盾. 故結論成立. 證畢.

定理2給出了張量變分不等式問題解集為非空緊致集的一個必要條件.

注3集合{v∈n:Av=O} 可視為矩陣核的推廣.

例4設對稱張量A∈T3,2, 其中a111=-1,a112=a121=a211=2,a122=a212=a221=-4,a222=8,

q=(1,1), 則

因此,

從而

可證該張量變分不等式問題的解集為有界閉集, 且(0,0)∈STVIP(A,(1,1),K), 故STVIP(A,(1,1),K)為非空緊致集. 對任一u∈(K∞∩{v∈n:Av=O}){0}, 有〈q,u〉>0, 故滿足定理2的條件.

定理3設K為n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n, 若:

1) 存在y∈K, 使得F(y)={x∈K: 〈Axm-1+q,x-y〉≤0}為有界集(可能為空集);

2) 存在開球Ω?n和y∈Ω∩K, 使得

3) 存在一非空有界集D?K, 使得?x∈KD, ?y∈D: 〈Axm-1+q,x-y〉>0;

4) 對任一滿足‖xr‖→+∞的序列{xr}?K, 存在xr0∈{xr}和yr0∈intKr0, 使得〈A(xr0)m-1+q,xr0-yr0〉>0;

5) STVIP(A,q,K)為非空緊致集.

則1)?2)?3)?4)?5).

證明: 1)?2). 由1)知, 存在y∈K, 使得F(y)為有界集, 故存在開球Ω?n, 使得F(y)∪{y}?Ω, 從而又由1)知,

(10)

故xr0∈KD. 又由3)知, 存在yr0∈D?intKr0, 使得〈A(xr0)m-1+q,xr0-yr0〉>0.

4)?3). 對任意r>0,Kr為非空有界集. 假設3)不成立, 則對任意有界集Kr, 存在xr∈KKr, 使得?y∈Kr, 〈A(xr)m-1+q,xr-y〉≤0, 從而存在序列{xr}?K, 且‖xr‖→+∞, 使得

〈A(xr)m-1+q,xr-y〉≤0, ?y∈intKr.

(11)

由4)知, 存在xr0∈{xr}和yr0∈intKr0使得〈A(xr0)m-1+q,xr0-yr0〉>0, 與式(11)矛盾. 故結論成立.

〈A(xr)m-1+q,xr-y〉≤0, ?y∈Ω∩K,

(12)

從而xr∈KD. 又由3)知, 存在y0∈D?Ω∩K, 使得〈A(xr)m-1+q,xr-y0〉>0, 與式(12)矛盾. 故結論成立.

4)?5). 由4)知, 對任一滿足‖xr‖→+∞的序列{xr}?K, 存在xr0∈{xr}和yr0∈intKr0, 使得

〈A(xr0)m-1+q,yr0-xr0〉<0.

(13)

首先, 用反證法證明STVIP(A,q,K)≠?. 假設STVIP(A,q,K)=?, 則由引理1知, 存在序列{xr}使得xr∈STVIP(A,q,Kr), 從而?x∈Kr, 〈A(xr)m-1+q,x-xr〉≥0. 令r=r0,x=yr0, 與式(13)矛盾. 故STVIP(A,q,K)≠?.

其次, 用反證法證明STVIP(A,q,K)為有界集. 假設STVIP(A,q,K)為無界集, 則存在序列{xr}, 使得xr∈STVIP(A,q,K), 且‖xr‖→+∞. 于是?x∈K, 〈A(xr)m-1+q,x-xr〉≥0, 仿上述取法可推出矛盾. 故STVIP(A,q,K)為有界集.

與定理1類似, 可證STVIP(A,q,K)為閉集. 因此, STVIP(A,q,K)為非空緊致集. 證畢.

定理3給出了張量變分不等式問題解集為非空緊致集的一些強制性條件.

定理4設K為n中的非空閉凸集,A∈Tm,n,q∈n. 若對任意實數p>0, 存在使得

則STVIP(A,q,K)為非空緊致集.

(14)

(15)