張量變分不等式解的存在性

牟文杰, 范江華

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 桂林 541006)

0 引 言

考慮如下張量變分不等式問(wèn)題TVIP(A,q,K): 求向量x*∈K, 使得

〈A(x*)m-1+q,y-x*〉≥0, ?y∈K,

其中A為m階n維實(shí)張量,q∈n,K是n中的非空閉凸子集. 將TVIP(A,q,K)的解集記為STVIP(A,q,K). 當(dāng)時(shí), TVIP(A,q,K)轉(zhuǎn)化為張量互補(bǔ)問(wèn)題TCP(A,q).

張量互補(bǔ)問(wèn)題[1]是一類(lèi)非線性互補(bǔ)問(wèn)題, 簡(jiǎn)記為T(mén)CP(A,q): 求向量x*∈n, 使得

x*≥0,A(x*)m-1+q≥0, (x*)T(A(x*)m-1+q)=0.

目前, 關(guān)于TCP(A,q)解集基本性質(zhì)和迭代算法的研究已取得了許多結(jié)果: 對(duì)于對(duì)稱(chēng)正定張量和共正張量等結(jié)構(gòu)張量, Che等[2]給出了對(duì)應(yīng)張量互補(bǔ)問(wèn)題解的存在性定理; Song等[3]討論了半正張量的性質(zhì), 并研究了對(duì)應(yīng)張量互補(bǔ)問(wèn)題解的唯一性; Wang等[4]討論了ER張量的性質(zhì), 并研究了對(duì)應(yīng)張量互補(bǔ)問(wèn)題解集的非空緊性; Yu等[5]研究了張量互補(bǔ)問(wèn)題解的穩(wěn)定性; Luo等[6]討論了Z張量的一些性質(zhì), 并研究了Z張量對(duì)應(yīng)互補(bǔ)問(wèn)題的稀疏解; Liu等[7]研究了一些特殊結(jié)構(gòu)張量互補(bǔ)問(wèn)題的全局唯一性和可解性, 并在此基礎(chǔ)上給出了相應(yīng)的非光滑牛頓法.

張量變分不等式在經(jīng)濟(jì)均衡和博弈論中應(yīng)用廣泛, 如Nash均衡問(wèn)題在一定條件下可轉(zhuǎn)化為張量變分不等式問(wèn)題. 解集的基本性質(zhì)及迭代算法是張量變分不等式問(wèn)題研究的重點(diǎn), 解的存在性研究是張量變分不等式問(wèn)題理論研究的最基本問(wèn)題. Song等[1]將一類(lèi)結(jié)構(gòu)矩陣推廣到高階張量, 提出了一類(lèi)特殊的張量變分不等式問(wèn)題; Wang等[8]利用例外族方法, 在0∈K及A在K上正定的條件下, 研究了張量變分不等式問(wèn)題解集的非空緊性, 在0∈K及A在K上嚴(yán)格正定的條件下, 研究了張量變分不等式問(wèn)題解的唯一性, 并證明了一類(lèi)多人非合作對(duì)策可以重新表示為一類(lèi)張量變分不等式問(wèn)題； Barbagallo等[9]研究了張量變分不等式問(wèn)題解的不適應(yīng)性和穩(wěn)定性, 并將理論結(jié)果應(yīng)用于檢驗(yàn)一般的寡頭市場(chǎng)均衡問(wèn)題.

本文研究張量變分不等式問(wèn)題解的存在性, 首先給出張量變分不等式問(wèn)題解集為空集的一個(gè)必要條件; 其次, 當(dāng)張量在集合的退化錐上正定時(shí), 證明張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集, 給出張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的一些強(qiáng)制性條件及張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的必要條件. 若0∈K, 則K∞?K, 從而由A在K上正定可推出A在K∞上正定, 故本文結(jié)果的條件比文獻(xiàn)[8]中定理4.2的條件弱, 從而推廣了文獻(xiàn)[8]的主要結(jié)果.

1 基本符號(hào)和概念

設(shè)K是n中的非空子集, 任取令其中表示以為中心、r為半徑的開(kāi)球.表示Kr的內(nèi)部, 記

用K∞表示K上的退化錐, 定義為

(1)

若K為閉凸集, 給定x0∈K, 則K∞可定義為

(2)

此時(shí),K∞與x0∈K的選取無(wú)關(guān). 由文獻(xiàn)[10]中命題2.1.5可知, 當(dāng)K為閉凸集時(shí), 式(1)與式(2)等價(jià). 對(duì)任意給定的正整數(shù)n, 用[n]表示集合{1,2,…,n}. 對(duì)任意給定的正整數(shù)m,r1,r2,…,rm, 一個(gè)m階r1×r2×…×rm維實(shí)張量A∈r1×r2×…×rm可表示為(ai1i2…im), 其中ai1i2…im∈對(duì)任意ij∈[rj]和j∈[m]皆成立. 特別地, 若對(duì)任意j∈[m], 有rj=n, 則稱(chēng)A為m階n維實(shí)張量, 用 Tm,n表示m階n維實(shí)張量的集合. 元素ai1i2…im均為0的張量稱(chēng)為零張量, 記為O.

定義1設(shè)A∈Tm,n,v∈n, 則張量A和向量v的k-模式(向量)積記為其分量表示為

其中ij∈[n],j∈[m]k.

定義2設(shè)A=(ai1i2…im)∈Tm,n,x∈n, 則Axm-1是n中的向量, 其第i個(gè)分量表示為

Axm是m次齊次多項(xiàng)式, 定義為

定義3設(shè)A∈Tm,n, 若對(duì)任意x∈n{0}, 有Axm>0, 則稱(chēng)A在n上正定.

定義4設(shè)K是n中的非空子集,A∈Tm,n, 若對(duì)任意x∈K{0}, 有Axm>0, 則稱(chēng)A在K上正定.

下面舉例說(shuō)明A∈Tm,n在K上正定, 在n上不一定正定.

例1設(shè)

A∈T3,2, 其中a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1, 則0∈K. 對(duì)任一u∈K{0}, 有

(3)

(4)

(5)

故A不在n上正定.

定義5設(shè)A=(ai1i2…im)∈Tm,n, 若任意置換元素ai1i2…im的下標(biāo)i1,i2,…,im, 其值保持不變, 則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)張量.

2 解集的非空緊致性

下面考慮張量變分不等式問(wèn)題解的存在性, 首先給出張量變分不等式問(wèn)題解集為空集的一個(gè)必要條件, 然后給出張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的幾個(gè)充分條件.

設(shè)K是n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n. 下面考慮TVIP(A,q,K)在Kr上的限制, 記為T(mén)VIP(A,q,Kr): 求向量xr∈Kr, 使得

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0, ?y∈Kr.

將TVIP(A,q,Kr)的解集記為STVIP(A,q,Kr).

引理1設(shè)K是n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n. 對(duì)任意給定的若STVIP(A,q,K)=?, 則存在序列{xr}r>r0滿足下列條件:

2)xr∈STVIP(A,q,Kr).

〈A(xr)m-1+q,(1-tr)y+trxr-xr〉≥0,

消去(1-tr), 得

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0,

引理1給出了張量變分不等式問(wèn)題解集為空集的一個(gè)必要條件.

引理2設(shè)K是n中的非空閉凸子集且0∈K, 若A∈Tm,n在K上正定, 則A在K∞上正定.

證明: 由式(2)可知, 若0∈K, 則K∞?K, 結(jié)論顯然成立.

注1若K為有界集, 則由式(2)可知,K∞={0}, 故任一張量均在K∞上正定.

下面舉例說(shuō)明引理2的逆命題不成立.

例2設(shè)

A∈T3,2, 其中a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1, 則0∈K,

定理1設(shè)K為n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n, 若

Aum>0, ?u∈K∞{0},

則STVIP(A,q,K)為非空緊致集.

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0, ?r≥r0,

(6)

將式(6)兩邊同時(shí)除以‖xr‖m, 得

(7)

〈Aum-1,-u〉≥0 ?Aum≤0,

與定理1條件矛盾. 因此, STVIP(A,q,K)≠?.

〈A(xr)m-1+q,y-xr〉≥0, ?y∈K,

(8)

仿照上述步驟可推出矛盾. 故STVIP(A,q,K)為有界集.

最后證明STVIP(A,q,K)為閉集. 設(shè)xr∈STVIP(A,q,K),xr→x*, 則有式(8). 令r→+∞, 得

〈A(x*)m-1+q,y-x*〉≥0, ?y∈K,

即x*∈STVIP(A,q,K). 因此, STVIP(A,q,K)為閉集.

綜上可知, STVIP(A,q,K)為非空緊致集. 證畢.

定理1給出了張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的一個(gè)充分條件.

注2當(dāng)0∈K,A∈Tm,n在K上正定時(shí), 文獻(xiàn)[8]中定理4.2利用例外族方法證明了STVIP(A,q,K)為非空緊致集. 當(dāng)0∈K時(shí), 由引理2可知, 若A在K上正定, 則A必在K∞上正定, 故定理1的條件比文獻(xiàn)[8]中定理4.2的條件弱, 從而推廣了文獻(xiàn)[8]的結(jié)果.

例3設(shè)

A∈T3,2, 其中a111=a211=a122=a222=1,a121=a112=a221=a212=-1,q=0, 則

對(duì)任一u∈K∞{0}, 有式(3),(4), 故A在K∞上正定, 從而滿足定理1的條件. 其相應(yīng)張量變分不等式問(wèn)題的解集

為非空緊致集. 例2表明,A不在K上正定, 故該例不滿足文獻(xiàn)[8]中定理4.2的條件.

定理2設(shè)K為n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n為對(duì)稱(chēng)張量,q∈n. 若STVIP(A,q,K)為非空緊致集, 則

〈q,u〉>0, ?u∈(K∞∩{v∈n:Av=O}){0}.

證明: 用反證法. 假設(shè)存在非零向量u0∈K∞且Au0=O, 使得〈q,u0〉≤0. 因?yàn)锳為對(duì)稱(chēng)張量, 且Au0=O, 故

A(x+tu0)m-1=Axm-1, ?x∈K, ?t>0.

又因?yàn)?/p>

〈A(x+tu0)m-1,u0〉=〈Axm-1,u0〉=〈xm-1,Au0〉=0, ?x∈K, ?t>0,

所以

〈A(x+tu0)m-1+q,-tu0〉≥0, ?x∈K, ?t>0.

(9)

將不等式(9)左邊加上

〈A(x+tu0)m-1+q,y-x〉-〈Axm-1+q,y-x〉,

得

〈A(x+tu0)m-1+q,y-(x+tu0)〉-〈Axm-1+q,y-x〉≥0, ?x,y∈K, ?t>0.

令x=x*∈STVIP(A,q,K), 得

〈A(x*+tu0)m-1+q,y-(x*+tu0)〉≥0, ?y∈K, ?t>0,

故對(duì)任意t>0, 有x*+tu0∈STVIP(A,q,K), 這與STVIP(A,q,K)為緊致集矛盾. 故結(jié)論成立. 證畢.

定理2給出了張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的一個(gè)必要條件.

注3集合{v∈n:Av=O} 可視為矩陣核的推廣.

例4設(shè)對(duì)稱(chēng)張量A∈T3,2, 其中a111=-1,a112=a121=a211=2,a122=a212=a221=-4,a222=8,

q=(1,1), 則

因此,

從而

可證該張量變分不等式問(wèn)題的解集為有界閉集, 且(0,0)∈STVIP(A,(1,1),K), 故STVIP(A,(1,1),K)為非空緊致集. 對(duì)任一u∈(K∞∩{v∈n:Av=O}){0}, 有〈q,u〉>0, 故滿足定理2的條件.

定理3設(shè)K為n中的非空閉凸子集,A∈Tm,n,q∈n, 若:

1) 存在y∈K, 使得F(y)={x∈K: 〈Axm-1+q,x-y〉≤0}為有界集(可能為空集);

2) 存在開(kāi)球Ω?n和y∈Ω∩K, 使得

3) 存在一非空有界集D?K, 使得?x∈KD, ?y∈D: 〈Axm-1+q,x-y〉>0;

4) 對(duì)任一滿足‖xr‖→+∞的序列{xr}?K, 存在xr0∈{xr}和yr0∈intKr0, 使得〈A(xr0)m-1+q,xr0-yr0〉>0;

5) STVIP(A,q,K)為非空緊致集.

則1)?2)?3)?4)?5).

證明: 1)?2). 由1)知, 存在y∈K, 使得F(y)為有界集, 故存在開(kāi)球Ω?n, 使得F(y)∪{y}?Ω, 從而又由1)知,

(10)

故xr0∈KD. 又由3)知, 存在yr0∈D?intKr0, 使得〈A(xr0)m-1+q,xr0-yr0〉>0.

4)?3). 對(duì)任意r>0,Kr為非空有界集. 假設(shè)3)不成立, 則對(duì)任意有界集Kr, 存在xr∈KKr, 使得?y∈Kr, 〈A(xr)m-1+q,xr-y〉≤0, 從而存在序列{xr}?K, 且‖xr‖→+∞, 使得

〈A(xr)m-1+q,xr-y〉≤0, ?y∈intKr.

(11)

由4)知, 存在xr0∈{xr}和yr0∈intKr0使得〈A(xr0)m-1+q,xr0-yr0〉>0, 與式(11)矛盾. 故結(jié)論成立.

〈A(xr)m-1+q,xr-y〉≤0, ?y∈Ω∩K,

(12)

從而xr∈KD. 又由3)知, 存在y0∈D?Ω∩K, 使得〈A(xr)m-1+q,xr-y0〉>0, 與式(12)矛盾. 故結(jié)論成立.

4)?5). 由4)知, 對(duì)任一滿足‖xr‖→+∞的序列{xr}?K, 存在xr0∈{xr}和yr0∈intKr0, 使得

〈A(xr0)m-1+q,yr0-xr0〉<0.

(13)

首先, 用反證法證明STVIP(A,q,K)≠?. 假設(shè)STVIP(A,q,K)=?, 則由引理1知, 存在序列{xr}使得xr∈STVIP(A,q,Kr), 從而?x∈Kr, 〈A(xr)m-1+q,x-xr〉≥0. 令r=r0,x=yr0, 與式(13)矛盾. 故STVIP(A,q,K)≠?.

其次, 用反證法證明STVIP(A,q,K)為有界集. 假設(shè)STVIP(A,q,K)為無(wú)界集, 則存在序列{xr}, 使得xr∈STVIP(A,q,K), 且‖xr‖→+∞. 于是?x∈K, 〈A(xr)m-1+q,x-xr〉≥0, 仿上述取法可推出矛盾. 故STVIP(A,q,K)為有界集.

與定理1類(lèi)似, 可證STVIP(A,q,K)為閉集. 因此, STVIP(A,q,K)為非空緊致集. 證畢.

定理3給出了張量變分不等式問(wèn)題解集為非空緊致集的一些強(qiáng)制性條件.

定理4設(shè)K為n中的非空閉凸集,A∈Tm,n,q∈n. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)p>0, 存在使得

則STVIP(A,q,K)為非空緊致集.

(14)

(15)