基于常循環(huán)碼構(gòu)造的兩類糾纏輔助量子MDS碼

王偉偉, 李建濤

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110036)

隨著量子信息與量子計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展, 關(guān)于量子糾錯(cuò)碼的研究得到廣泛關(guān)注[1-3]. 令q是素?cái)?shù)方冪, 記[[n,k,d;c]]是一個(gè)q元糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼, 其中n是碼長(zhǎng),k是維數(shù),d是最小距離,c是糾纏比特?cái)?shù). 文獻(xiàn)[4-6]采用常循環(huán)碼和負(fù)循環(huán)碼構(gòu)造了一些具有優(yōu)良參數(shù)的糾纏輔助量子碼; 文獻(xiàn)[7]通過(guò)循環(huán)碼構(gòu)造了長(zhǎng)度為n=q2+1的糾纏輔助量子極大距離可分(maximum-distance-separable, MDS)碼; 文獻(xiàn)[8]利用常循環(huán)碼構(gòu)造了參數(shù)較靈活的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼, 當(dāng)最小距離d≤(n+2)/2時(shí), 構(gòu)造的所有糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼是糾纏輔助量子MDS碼; 文獻(xiàn)[9-11]利用廣義RS(Reed-Solomon)碼構(gòu)造了具有靈活參數(shù)c的新的糾纏輔助量子MDS碼; 文獻(xiàn)[12]利用廣義RS碼構(gòu)造了參數(shù)為[[n,n-2k+c,k+1;c]]q的碼和參數(shù)為[[n,c,n-k+1;n-2k+c]]q的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼; 文獻(xiàn)[13-16]用廣義RS碼和擴(kuò)展的廣義RS碼構(gòu)造了一些新的具有優(yōu)良參數(shù)的糾纏輔助量子MDS碼. 本文利用常循環(huán)碼構(gòu)造兩類糾纏輔助量子MDS碼, 推廣了文獻(xiàn)[17]的如下結(jié)果： 令q是一個(gè)奇素?cái)?shù)冪, 且q=20m+3(20m+7), 其中m是一個(gè)正整數(shù). 本文假設(shè)q是一個(gè)奇素?cái)?shù)冪, 且q≡±3(mod 10). 本文結(jié)果擴(kuò)展了糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼的碼類, 并推廣了已有文獻(xiàn)中q的取值范圍.

1 預(yù)備知識(shí)

類似地,C的Hermite對(duì)偶碼記為

如果C滿足C?C⊥E(或C?C⊥H), 則稱C為Euclid(或Hermite)自正交碼. 如果C=C⊥H, 則稱C為Hermite自對(duì)偶碼.

(c0,c1,c2,…,cn-1)→(ηcn-1,c0,c1,…,cn-2).

通常一個(gè)碼字c=(c0,c1,c2,…,cn-1)也可用一個(gè)多項(xiàng)式表示:

c(x)=c0+c1x+c2x2+…+cn-1xn-1.

令Ω={1+ir|0≤j≤n-1}. 設(shè)C是η-常循環(huán)碼, 且C=〈g(x)〉, 則稱Z={?i∈Ω|g(δi)=0}為碼C的定義集. 設(shè)Ci={i,iq2,iq4,…,iq2(mi-1)}是i模rn的q2-分圓陪集, 其中mi是使得iq2mi≡i(modrn)的最小正整數(shù).

引理1[17]若C是Fq2上長(zhǎng)度為n的η-常循環(huán)碼, 定義集為Z, 則C⊥H?C當(dāng)且僅當(dāng)Z∩(-qZ)=?, 其中-qZ={-qz(modrn)|z∈Z}.

利用引理1可判斷一個(gè)η-常循環(huán)碼C是否包含C⊥H.

類似于循環(huán)碼, 常循環(huán)碼也存在BCH(Bose-Chaudhuri-Hocquenghen)界.

引理2[18-19]設(shè)(n,q)=1,C是Fq2上長(zhǎng)度為n的η-常循環(huán)碼, 其中η是一個(gè)r次本原根. 令δ是 Fq2的某些擴(kuò)域上的rn次本原根. 假設(shè)C的生成多項(xiàng)式g(x)的根為{δ1+jr|0≤j≤d-2}, 則C的最小距離至少為d.

設(shè)H是Fq2上碼C的(n-k)×n階校驗(yàn)矩陣, 則C⊥H存在一個(gè)n×(n-k)階的生成矩陣H?, 其中H?是Fq2上H的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

引理3(Singleton界)[20]如果Fq上一個(gè)參數(shù)為[n,k,d]的線性碼C存在, 則滿足k≤n-d+1. 如果等號(hào)成立, 則稱C為MDS碼.

定理1(糾纏輔助量子Singleton界)[21]假設(shè)C是Fq上參數(shù)為[[n,k,d;c]]q的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼, 如果d≤(n+2)/2, 則碼C滿足糾纏輔助量子Singleton界：n+c-k≥2(d-1), 其中0≤c≤n-1. 若n+c-k=2(d-1), 則稱碼C為糾纏輔助量子MDS碼. 特別地, 如果c=0, 則n-k=2(d-1), 于是稱碼C為量子MDS碼.

定理2[22]設(shè)C是Fq2上的經(jīng)典碼,H是C的校驗(yàn)矩陣, 則存在一個(gè)糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼, 其參數(shù)為[[n,k,d;c]]q, 其中c=rank(HH?).

設(shè)C是Fq2上長(zhǎng)度為n的η-常循環(huán)碼, 其定義集為Z. 假設(shè)Z1=Z∩(-qZ)且Z2=Z1, 其中-qZ={n-qx|x∈Z}, 則Z=Z1∪Z2稱為碼C定義集的一個(gè)分解.

引理4[5]設(shè)C是Fq2上長(zhǎng)度為n的η-常循環(huán)碼, 其中g(shù)cd(n,q)=1. 假設(shè)Z是常循環(huán)碼C的定義集, 且Z=Z1∪Z2是Z的一個(gè)分解, 則相應(yīng)的糾纏輔助量子糾錯(cuò)碼中參數(shù)c=|Z1|.

2 主要結(jié)果

下面構(gòu)造新的糾纏輔助量子MDS碼.

根據(jù)引理6可知

為得到式(1), 必須證明下列3個(gè)等式成立：

首先證明

-qCs-(3q-1)r/10=Cs-(q+3)r/10.

(5)

其次, 分別證明式(2)～(4)成立.

1) 證明式(3)成立. 根據(jù)引理5和式(5), 計(jì)算可得

假設(shè)

如果

(6)

因此式(6)不成立.

(7)

2) 證明式(2)成立. 由于

因此式(2)成立.

(8)

(9)

當(dāng)q≡3(mod 10)時(shí), 可構(gòu)造如下糾纏輔助量子MDS碼, 其證明過(guò)程與定理3類似, 故略.