分?jǐn)?shù)階非線性迭代方程的周期解

李翠英, 吳 睿, 程 毅

(1. 渤海大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 錦州 121013； 2. 長(zhǎng)春財(cái)經(jīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研部, 長(zhǎng)春 130122)

0 引 言

目前, 關(guān)于迭代微分方程的邊值、 周期問題研究已得到廣泛關(guān)注. Petukhov[1]研究了如下二階迭代微分方程周期邊值問題：

得到了參數(shù)λ,α在不同范圍內(nèi)方程解的存在唯一性; Kaufmann[2]考慮一類二階迭代微分方程的邊值問題, 用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了該問題解的存在性; 文獻(xiàn)[3-6]用不同的不動(dòng)點(diǎn)理論(Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理、 Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理等)證明了若干類迭代微分方程周期解或擬周期解的存在唯一性. 分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)、 化學(xué)、 物理和工程等許多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 但關(guān)于分?jǐn)?shù)階迭代微分方程邊值、 周期問題的研究成果目前報(bào)道較少. 當(dāng)非線性函數(shù)滿足Lipschitz條件時(shí), Ibrahim等[7]將整數(shù)階的一些結(jié)果推廣到分?jǐn)?shù)階迭代微分方程中. 但目前已有結(jié)果均為處理一維的迭代微分系統(tǒng), 對(duì)于向量迭代方程的研究尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 本文在非線性函數(shù)滿足單邊Lipschitz條件時(shí), 證明一類非線性Caputo型分?jǐn)?shù)階迭代向量微分系統(tǒng)周期解的存在唯一性.

本文令T∶=[0,b],n為n維Euclid空間, 〈·,·〉表示n中的內(nèi)積, ‖·‖表示n空間的范數(shù). 設(shè)C(T,n)表示從T到n全體連續(xù)函數(shù)組成的空間, 其范數(shù)定義為關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)知識(shí)可參見文獻(xiàn)[8-9].

1 主要結(jié)果

考慮如下分?jǐn)?shù)階迭代向量微分方程：

(1)

其中:

A:n→n是一個(gè)線性算子;f:T×n×n→n是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

下面給出假設(shè)條件：

(H1) 設(shè)A:n→n是一個(gè)有界、 線性的正定算子, 即對(duì)任意的z∈n, 存在常數(shù)c∈+, 使得〈Az,z〉≥c‖z‖2;

(H2) 設(shè)f:T×n×n→n是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 且：

(i) 對(duì)任意的u,v∈n, 存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)使得?t∈[0,b], ‖f(t,u,v)‖≤λ(t)；

(ii) 對(duì)任意的t∈[0,b],u1,u2,v1,v2∈n存在函數(shù)使得

〈f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2),u1-u2〉≤μ(t)‖u1-u2‖2,

其中‖μ‖∞

定理1假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 且b大于某常數(shù)M1/(1-α), 則分?jǐn)?shù)階迭代微分系統(tǒng)(1)存在唯一解.

證明： 由文獻(xiàn)[10]中推論7.1知, 問題(1)等價(jià)于如下積分迭代方程：

(2)

定義算子T1:C(T,n)→C(T,n), 且

首先， 證明解的先驗(yàn)有界性.

根據(jù)算子T1的定義和假設(shè)條件(H2)中(i), 可推出

其中

下面估計(jì)初值‖x(0)‖. 在式(2)中令t=b, 可得

由x(0)=x(b)和假設(shè)條件(H1)易知, 行列式|E-Eα(Abα)|≠0, 其中E表示單位矩陣. 故

根據(jù)假設(shè)條件(H2)中(i), 類似式(3), 可得

(4)

其中

ME=‖(E-Eα(Abα))-1‖.

將式(4)代入式(3), 可得

‖T1(x(t))‖≤Mbα

其次, 證明非線性算子T1是全連續(xù)算子, 從而得到解的存在性.

先證明?x∈C(T,n),T1(x(t))∈C(T,n). 對(duì)任意的t,t+δ∈[0,b], 且δ>0, 滿足

當(dāng)δ→0時(shí), 有

|T1(x(t+δ))-T1(x(t))|→0,

故T1(x(t))∈C(T,n). 取xn→x∈C(T,n), 則易推出|T1(xn)-T1(x)|→0, 從而T1:C(T,n)→C(T,n)是連續(xù)的. 根據(jù)1)中先驗(yàn)估計(jì), 應(yīng)用Arzela-Ascoli定理易知, 算子T1:Ω→Ω是全連續(xù)的, 其中

Ω∶={u∈C(T,n): ‖u‖C≤b+1}.

從而可將微分迭代系統(tǒng)(1)解的存在性轉(zhuǎn)化為T1的不動(dòng)點(diǎn)問題. 定義映射hε(x)=x-εT1(x), 其中ε∈[0,1]. 取p?h(?Ω), 則對(duì)任意的ε∈[0,1], 可得

其中I是恒等映射. 因此T1在Ω上存在不動(dòng)點(diǎn), 即x=T1(x). 從而微分迭代系統(tǒng)(1)至少存在一個(gè)解.

最后， 證明微分迭代系統(tǒng)(1)解的唯一性.

假設(shè)x1,x2∈C(T,n)是問題(1)的兩個(gè)解, 對(duì)這兩個(gè)解做差再與x1-x2做內(nèi)積, 可得

根據(jù)假設(shè)條件(H1)和(H2)中(ii), 利用分?jǐn)?shù)階微分不等式[10], 可推出

為方便, 令S(t)=‖x1(t)-x2(t)‖2, 式(5)可簡(jiǎn)化為

DαS(t)≤2(μ(t)-c)S(t),

從而

S(t)≤S(0)Eα(2(‖μ‖∞-c)tα), ?t∈T.

再令t=b, 得

S(b)≤S(0)Eα(2(‖μ‖∞-c)bα).

(6)

由S(t)=‖x1-x2‖2及邊界條件x(b)=x(0)可知,S(b)=S(0), 整理可得

S(0){1-Eα[2(‖μ‖∞-c)bα]}≤0.

由Mittag-Leffler函數(shù)Eα(t)(t≥0)的單調(diào)性和‖μ‖∞

Eα[2(‖μ‖∞-c)bα]<1.

又由

S(0)=‖x1(0)-x2(0)‖2≥0,

可推出S(0)=0. 由式(6)知,S(t)≤0, 從而S(t)恒為0, 即x1=x2, 故迭代微分方程(1)有唯一解.