一類半線性退化拋物方程在邊界控制函數作用下的近似能控性

解春雷, 杜潤梅

(長春工業大學 數學與統計學院, 長春 130012)

1 引言與主要結果

退化拋物方程的控制問題在物理學、 生物學和工程實踐等領域應用廣泛. 目前, 關于退化拋物方程控制問題的研究已取得很多成果[1-10]. 例如: 文獻[1-3]研究了非線性退化拋物方程分布式控制問題的能控性; 文獻[4]研究了線性退化拋物方程邊界控制問題在第一類邊界條件下的能控性; 文獻[5-6]研究了非線性退化拋物方程邊界控制問題在第一類邊界條件下的能控性; 文獻[7-8]研究了線性退化拋物方程邊界控制問題在退化點處為第二類邊界條件, 非退化點處為第一類邊界條件下的能控性. 本文采用文獻[6]的方法, 利用Kakutani不動點定理證明一類一維半線性退化拋物方程在邊界控制函數作用下的近似能控性.

考慮如下系統:

其中QT=Ω×(0,T), 0<α<1,h∈L2(0,T)是控制函數,χ是[T1,T2](0

(i)g(·,·,0)∈L2(QT);

(ii)g(x,t,u)在u=0處可微;

(iii) 對任意(x,t)∈QT,u,v∈, 存在與x,t,u,v無關的正數M, 使得

|g(x,t,u)-g(x,t,v)|≤M|u-v|.

本文證明系統(1)-(3)的近似能控性.

定理1對任意ε>0,ud∈L2(0,1), 存在控制函數h, 使得問題(1)-(3)的解u在時刻T處可近似達到ud, 即

‖u(x,T)-ud(x)‖L2(0,1)≤ε.

(4)

2 線性問題解的估計

考慮線性方程

ut-(xαux)x+c(x,t)u=f(x,t), (x,t)∈QT

(5)

在初邊值條件(2),(3)下解的估計, 其中c∈L∞(QT),f∈L2(QT). 定義空間

其范數分別為

通過對方程(5)做能量估計, 可得如下定理.

1) 存在與α,T,‖c‖L∞(QT)相關的C1>0, 使得

3) 如果h=0,u0∈L2(0,1), 則對任意0<σ0, 使得

(8)

3 線性問題解的收斂性

類似文獻[2]中推論2.1、 推論2.2和推論2.4, 可得如下引理.

令k→∞, 可得結論.

證畢.

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(9)

令vk是問題

(10)

在初邊值條件(2),(3)當h=hk-h*,u0(x)=0時的解. 在方程(10)的兩邊乘以vk, 并在QT上積分可得

(11)

其中C與k無關. 由假設條件可知uk在L2(QT)中強收斂到u. 證畢.

考慮共軛問題

由推論2和文獻[8]中定理2的唯一延拓性, 類似文獻[1]中命題3.1可證泛函

(15)

定理3設u0(x)=0, 則問題(5)-(2)-(3)在控制函數為式(15)時滿足式(4).

命題1假設K?L2(0,1)是預緊的,B?L∞(QT)是有界的, 則 M(K×B)?L2(0,1)是有界的.

類似文獻[6]中命題5.3的證明, 由推論1和命題1可得:

4 半線性問題的近似可控性

類似文獻[6]中定理4.1的證明, 由Schauder不動點定理、 推論3、 推論4和定理2可得如下半線性問題的適定性.

則σ∈L∞(QT×).

定義集值映射Λ如下:

顯然, 對每個w∈L1(QT),Λ(w)是一個非空凸集. 類似文獻[6]中命題6.1的證明, 由引理1中2)、 命題1、 定理2中3)和推論3可得：

命題3存在一個預緊集X?L1(QT), 使得Λ(w)?X,w∈L1(QT).

類似文獻[6]中命題6.2的證明, 由引理1中3)、 命題2、 推論1和推論3可得：

命題4{(w,u)|w∈S,u∈Λ(w)}是L1(QT)×L1(QT)中的閉子集, 其中S是X的凸閉包.

由命題3和命題4,Λ滿足Kakutani不動點定理的條件. 因此定理1得證.