基于全復(fù)數(shù)型濾波器的三相鎖相環(huán)技術(shù)

何 宇 漆漢宏 鄧小龍

基于全復(fù)數(shù)型濾波器的三相鎖相環(huán)技術(shù)

何 宇1,2漆漢宏2鄧小龍1

（1. 江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能工程學(xué)院 無錫 214153 2. 燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院 秦皇島 066004）

近年來，前置復(fù)數(shù)濾波器（CCF）的鎖相環(huán)（PLL）技術(shù)成為電網(wǎng)同步研究中的熱點。然而，現(xiàn)有的CCF-PLL已被證實其數(shù)學(xué)模型和控制性能與傳統(tǒng)的實數(shù)濾波器型PLL基本一致。為提高系統(tǒng)的控制性能，該文提出一種CCF結(jié)構(gòu)完全復(fù)數(shù)化的三相PLL技術(shù)。首先，給出前級濾波結(jié)構(gòu)關(guān)于電壓的傳遞函數(shù)，驗證該結(jié)構(gòu)可以準(zhǔn)確分離出電網(wǎng)的基波正負(fù)序分量。其次，進(jìn)行前級結(jié)構(gòu)關(guān)于基波正序相位的數(shù)學(xué)建模，結(jié)合后級的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系PLL，構(gòu)建整個PLL系統(tǒng)關(guān)于相位的數(shù)學(xué)模型，并利用三階最佳校正法對系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計，確定相關(guān)控制參數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，若采用與CCF-PLL相同的開環(huán)截止頻率，所提PLL的中頻段寬度更寬、相位裕度更大。另外，還設(shè)計了多重全復(fù)數(shù)濾波結(jié)構(gòu)級聯(lián)的三相PLL，以便更徹底地抑制電網(wǎng)諧波。最后，通過仿真和實驗進(jìn)行驗證，結(jié)果表明，相比CCF-PLL，所提PLL的控制性能更佳。

鎖相環(huán) 復(fù)數(shù)濾波器 控制性能 相位裕度

0 引言

傳統(tǒng)能源（如煤、石油和天然氣等）的過度使用致使不可再生能源日趨枯竭；另外，采用傳統(tǒng)能源發(fā)電會造成環(huán)境污染和生態(tài)破壞等問題。所以，基于可再生綠色能源（如太陽能和風(fēng)能等）的開發(fā)和利用備受關(guān)注[1]。采用并網(wǎng)逆變器將綠色能源發(fā)出的電能并入電網(wǎng)是一種行之有效的手段[2]。在逆變器的控制中，調(diào)節(jié)電網(wǎng)電壓和輸出電流之間的相位差[3]、實現(xiàn)并網(wǎng)逆變器的孤島檢測功能[4]和故障穿越功能[5-6]通常都要用到鎖相環(huán)（Phase Locked Loop, PLL）技術(shù)。因此，PLL技術(shù)已成為分布式發(fā)電系統(tǒng)并網(wǎng)運行的眾多關(guān)鍵技術(shù)之一[7]。

在三相PLL的研究中，技術(shù)比較成熟的有同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（Synchronous Rotating Frame, SRF）型PLL[8]、滑動平均濾波器（Moving Average Filter, MAF）型PLL[9-10]、自適應(yīng)陷波器（Adaptive Notch Filter, ANF）型PLL[11-12]、雙二階廣義積分器（Double Second-Order Generalized Integrator, DSOGI）型PLL[13-14]和復(fù)數(shù)濾波器（Complex Coefficient Filter, CCF）型PLL[15-18]。其中，由文獻(xiàn)[15]提出的CCF技術(shù)由于控制結(jié)構(gòu)簡單、濾波原理清晰等特點在三相PLL的研究中受到持續(xù)關(guān)注。該CCF結(jié)構(gòu)在電網(wǎng)的基波正、負(fù)序分量（Fundamental Positive-and Negative-Sequence Components, FPSC/FNSC）處具有頻率極性的選擇性，無需對稱分量法即可分離出FPSC和FNSC。文獻(xiàn)[16]為改善并網(wǎng)電流質(zhì)量，介紹了如何在三相靜止坐標(biāo)系下直接使用CCF結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[17]提出了對高次諧波抑制能力更強的高階CCF控制方案。文獻(xiàn)[18]將重復(fù)控制的內(nèi)模嵌入到CCF結(jié)構(gòu)中，使PLL能夠完全濾除電網(wǎng)中的主要諧波。除PLL外，CCF結(jié)構(gòu)在逆變器的電流控制[19]、鎖頻環(huán)[20]和電機(jī)控制[21]中也都得到了成功運用。

然而，上述相關(guān)文獻(xiàn)對CCF-PLL研究時，將前級的CCF結(jié)構(gòu)和后級的SRF-PLL作為獨立系統(tǒng)對待，并分開進(jìn)行了處理。文獻(xiàn)[22-24]指出，前置濾波器型PLL的前、后兩級是相互聯(lián)系的，不能看成分立系統(tǒng)。文獻(xiàn)[22-23]將前后兩級結(jié)合起來分析，對整個PLL系統(tǒng)進(jìn)行了小信號數(shù)學(xué)建模，研究表明：CCF-PLL雖然結(jié)構(gòu)簡單，但其數(shù)學(xué)模型與ANF-PLL、DSOGI-PLL等實數(shù)濾波器型PLL是一致的。文獻(xiàn)[23-24]通過對比實驗發(fā)現(xiàn)，CCF-PLL的控制性能與實數(shù)濾波器型PLL相比基本無異，并無突出優(yōu)勢。

為提高CCF-PLL的控制性能，提出了一種將CCF結(jié)構(gòu)進(jìn)一步復(fù)數(shù)化的三相PLL技術(shù)。為充分發(fā)揮復(fù)數(shù)系統(tǒng)的優(yōu)勢，將CCF所對應(yīng)傳遞函數(shù)分子也改用復(fù)數(shù)表示。改進(jìn)后的CCF結(jié)構(gòu)不僅保持了正負(fù)頻率的選擇性，還提高了前級濾波結(jié)構(gòu)的截止頻率，從而加大了整個PLL系統(tǒng)的中頻段寬度和相位裕度。仿真和對比實驗表明，所提PLL在保留CCF- PLL能順利分離FPSC/FNSC和精確鎖頻、鎖相的同時，顯著地提高了系統(tǒng)的控制性能。

1 提出的全復(fù)數(shù)型CCF結(jié)構(gòu)

現(xiàn)有的CCF結(jié)構(gòu)[15-21]如圖1所示。

圖1 現(xiàn)有的CCF結(jié)構(gòu)

為改善控制性能，提出的全復(fù)數(shù)型濾波器（All Complex Coefficient Filter, ACCF）結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 提出的ACCF結(jié)構(gòu)

由式（1）可知，ACCF結(jié)構(gòu)關(guān)于電壓是一個二階線性系統(tǒng)，其阻尼比和自然角頻率n滿足

將式（2）中的n消去，可解得p為

可見，相比CCF結(jié)構(gòu)，ACCF結(jié)構(gòu)的p有所增大；而p的大小直接影響整個PLL系統(tǒng)的中頻段寬度和相位裕度（具體參見2.3節(jié)），因此，p值的不同勢必會導(dǎo)致ACCF結(jié)構(gòu)與CCF結(jié)構(gòu)在PLL系統(tǒng)的控制性能上表現(xiàn)出不一樣的動態(tài)行為。

1.1 ACCF結(jié)構(gòu)的正負(fù)序分離特性

由式（1）和圖3可得

圖3 G+(s)和的頻率特性曲線

經(jīng)典控制理論[25]指出，若角頻率為0的正弦信號經(jīng)線性系統(tǒng)()作用后，其輸出信號的角頻率保持不變，而幅值是原信號的|(j0)|倍，相位會在原來的基礎(chǔ)上偏移∠(j0)。

1.2 ACCF結(jié)構(gòu)關(guān)于基波正序相位的數(shù)學(xué)模型

以上對正負(fù)序電壓的分析建立在ACCF結(jié)構(gòu)關(guān)于電壓的數(shù)學(xué)模型之上，而PLL需要提取出FPSC的相位，所以還要對ACCF結(jié)構(gòu)關(guān)于基波正序相位進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

假設(shè)由ACCF結(jié)構(gòu)分離出的FPSC和FNSC為

由式（5）可得

將式（6）兩端對時間求導(dǎo)，得

根據(jù)圖2，可得ACCF結(jié)構(gòu)中正序濾波器的輸入、輸出關(guān)系為

式中，ab的具體表達(dá)式為

在三相電力系統(tǒng)的ab坐標(biāo)系下，任一變量ab均滿足[16-18]：ja=-b，jb=a。因此，式（8）可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

將式（5）、式（9）和式（10）代入到式（7）并化簡得

式（12）即為ACCF結(jié)構(gòu)關(guān)于基波正序相位的時域數(shù)學(xué)模型，其復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型如圖4所示。

2 前置ACCF結(jié)構(gòu)的三相PLL

圖5 基于ACCF結(jié)構(gòu)的三相PLL

SRF-PLL在理想電網(wǎng)條件下的鎖頻和鎖相能力十分突出（其基本工作原理可參見文獻(xiàn)[8]），因此在畸變/不平衡電網(wǎng)環(huán)境中通常作為前置濾波器型PLL（如DSOGI-PLL、CCF-PLL等）的后級使用。該PLL關(guān)于相位的數(shù)學(xué)模型如圖6所示。圖中，p、i分別為PI控制器的比例和積分系數(shù)。

圖6 SRF-PLL關(guān)于相位的數(shù)學(xué)模型

2.1 ACCF-PLL關(guān)于基波正序相位的數(shù)學(xué)模型

將前后兩級關(guān)于基波正序相位的數(shù)學(xué)模型（見圖4和圖6）結(jié)合起來，可得整個PLL系統(tǒng)（見圖5）的數(shù)學(xué)模型如圖7所示。

圖7 ACCF-PLL關(guān)于基波正序相位的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)梅森增益公式[25]，可得圖7對應(yīng)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和校正時，通常以其開環(huán)傳遞函數(shù)為研究對象。由式（13）可得，ACCF-PLL對應(yīng)系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

因此，ACCF-PLL的等效數(shù)學(xué)模型如圖8所示。

圖8 ACCF-PLL的等效數(shù)學(xué)模型

由圖8可知，該控制結(jié)構(gòu)為Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)，可以無靜差地跟蹤像電網(wǎng)相位這樣的斜坡輸入。

2.2 ACCF-PLL的系統(tǒng)校正與參數(shù)整定

由于ACCF-PLL為三階控制系統(tǒng)，可采用三階最佳設(shè)計法[23, 25]對其校正，期望的系統(tǒng)頻率特性曲線如圖9所示。圖中，c、分別為系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率和相位裕度。

該設(shè)計法的主導(dǎo)思想是使控制系統(tǒng)取得最大的相位裕度，此時c為中頻段的幾何中心，即

由式（14）可知，c滿足

聯(lián)立式（15）和式（16）可解得

圖9 三階最佳設(shè)計法下系統(tǒng)的頻率特性曲線

由圖9可知，c的值需小于p。若c靠近p，則系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快，但其中頻段寬度和相位裕度都會減小，輸出信號的超調(diào)量會增大，同時系統(tǒng)的濾波性能降低；若c遠(yuǎn)離p，雖然系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾性增強，但其響應(yīng)速度變慢。所以，c的取值要兼顧系統(tǒng)的快速性、超調(diào)量和濾波性能。文獻(xiàn)[23-24]通過研究分析和論證，推薦c的取值區(qū)間為40p～50prad/s，本文取c=45prad/s。將c= 141.37rad/s、p=429.15rad/s代入式（17）可得

根據(jù)電網(wǎng)電壓的幅值，由式（18）即可求出PI控制器的參數(shù)p和i。

2.3 CCF-PLL與ACCF-PLL的動態(tài)性能比較

圖10中，p0為CCF-PLL前級濾波結(jié)構(gòu)的截止角頻率；p0、i0分別為CCF-PLL中PI控制器的比例項和積分項系數(shù)；0、分別為CCF-PLL和ACCF-PLL對應(yīng)控制系統(tǒng)的中頻段寬度。由圖10可得

圖10 CCF-PLL和ACCF-PLL的幅頻特性曲線

根據(jù)相位裕度和中頻段寬度的關(guān)系[25]，可得

式中，0為CCF-PLL的系統(tǒng)相位裕度。

圖11給出了CCF-PLL和ACCF-PLL對應(yīng)控制系統(tǒng)的Bode圖。經(jīng)典控制理論[25]指出，要使控制系統(tǒng)有一個良好的動態(tài)調(diào)節(jié)過程，其相位裕度要達(dá)到45°～70°。若相位裕度過低于此范圍，系統(tǒng)的動態(tài)性能較差，對參數(shù)變化較敏感；過高于此范圍，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度過好，動態(tài)過程會變得很緩慢。由式（20）和圖11可知，ACCF-PLL的相位裕度處于上述范圍內(nèi)，而CCF-PLL的相位裕度過低。因此，ACCF-PLL勢必會展現(xiàn)出比CCF-PLL更好的動態(tài) 性能。

圖11 CCF-PLL和ACCF-PLL的Bode圖

2.4 多重ACCF結(jié)構(gòu)的三相PLL

電網(wǎng)電壓除存在基波負(fù)序外，還會受到諧波污染[26]。ACCF-PLL經(jīng)上述設(shè)計法校正后雖對諧波有一定的抑制能力，但無法將諧波完全濾除。為此，本文仿照多重CCF（Multiple CCF, MCCF）型PLL[15]的架構(gòu)，設(shè)計了如圖12所示的基于多重ACCF（Multiple ACCF, MACCF）結(jié)構(gòu)的三相PLL。

圖12 基于MACCF結(jié)構(gòu)的三相PLL

根據(jù)式（21），容易求得

在實際電網(wǎng)的諧波中，主要以低次（-5次和+7次）諧波為主，高次諧波含量很小[26]。因此，在實際應(yīng)用MACCF-PLL時，只要在MACCF結(jié)構(gòu)中配置主要的濾波模塊即可，而不必過多羅列。

2.5 數(shù)字實現(xiàn)

本文1.2節(jié)中已提及：在ab坐標(biāo)系下，任一變量ab均滿足：ja=-b，jb=a。故ACCF結(jié)構(gòu)中正負(fù)序濾波器的實現(xiàn)方法如圖13所示。圖中，ab、ab分別為復(fù)數(shù)濾波器的輸入和輸出信號。

圖13 全復(fù)數(shù)型濾波器的實現(xiàn)方法

為確保離散精度和避免出現(xiàn)代數(shù)環(huán)，這里采用三階Adams-Bashforth算法[15, 17]對圖13和后級PI控制器及積分器中的拉普拉斯算子進(jìn)行離散化，具體的數(shù)字離散化算法為

式中，s為采樣周期。

3 仿真驗證

正負(fù)序分離方面：由圖14b～圖14d可知，分離出的FPSC除在電網(wǎng)突然變化的極短時間內(nèi)有略微抖動外，其余時間均未發(fā)生變化，其幅值保持在1(pu)；分離出的FNSC在電網(wǎng)變化后開始出現(xiàn)，其幅值在半個理想電網(wǎng)周期（0.01s）內(nèi)即由0上升并收斂于0.25(pu)。可見，提出的ACCF-PLL具備迅速、準(zhǔn)確的正負(fù)序分離能力。

鎖頻方面：圖15c給出了捕獲頻率的動態(tài)響應(yīng)過程，具體表現(xiàn)為提取的頻率在電網(wǎng)變化后由50Hz開始快速追蹤，并最終以55Hz為基準(zhǔn)作衰減收斂，該過程的動態(tài)調(diào)節(jié)時間為44ms。因此，ACCF-PLL能在較短時間內(nèi)無靜差地鎖住頻率。

4 實驗驗證

穩(wěn)態(tài)性能上：在這兩種畸變/不平衡的電網(wǎng)測試環(huán)境中，ACCF-PLL都能成功提取出電網(wǎng)的FPSC/ FNSC（見圖16b和圖17b）、相位（見圖16c和圖17c）和頻率（見圖16d和圖17d）。由FPSC/FNSC的幅值曲線（見圖16c和圖17c）、頻率響應(yīng)曲線（見圖16d和圖17d）和相位誤差曲線（見圖16d和圖17d）可以看到，這些變量都能無波動地穩(wěn)定在初始值（或0）和無偏差地跟蹤預(yù)設(shè)的變化值，說明所設(shè)計的ACCF-PLL是一個穩(wěn)定的無靜差控制系統(tǒng)，能夠精確進(jìn)行基波正負(fù)序分離、鎖頻和鎖相。

圖16 頻率突變+5Hz下的實驗結(jié)果

圖17 相位跳變+20°下的實驗結(jié)果

動態(tài)性能上：圖16d和圖17d展示了CCF-PLL和ACCF-PLL在提取電網(wǎng)頻率及相位誤差上的對比結(jié)果。表1根據(jù)實驗數(shù)據(jù)給出了兩者具體的動態(tài)指標(biāo)值。可見，ACCF-PLL在動態(tài)收斂過程中表現(xiàn)出的衰減程度和速度都要大于CCF-PLL；產(chǎn)生的頻率超調(diào)和相位誤差超調(diào)要小于CCF-PLL，尤其是第二次離開穩(wěn)態(tài)值的反向超調(diào)要比CCF-PLL小很多；兩種PLL雖看似有相近的調(diào)節(jié)時間，但ACCF-PLL進(jìn)入終值誤差帶的時刻要早于CCF-PLL，響應(yīng)速度更快。綜上，ACCF-PLL呈現(xiàn)出的動態(tài)行為要優(yōu)于CCF-PLL。

表1 CCF-PLL和ACCF-PLL的動態(tài)指標(biāo)值

Tab.1 The dynamic index ofCCF-PLL and ACCF-PLL

抗干擾性能上：由圖16a和圖17a可以看出，測試PLL的電網(wǎng)環(huán)境是較為惡劣的，但兩種PLL提取的各信號在穩(wěn)態(tài)時不存在諧波或波動，即PLL完全抑制了所加入的各次諧波。因此，CCF-PLL和ACCF-PLL都具備較強的抗干擾能力。

5 結(jié)論

為改進(jìn)PLL的控制性能，在CCF-PLL的基礎(chǔ)上，提出了一種將前級CCF結(jié)構(gòu)全面復(fù)數(shù)化的三相PLL技術(shù)，即ACCF-PLL算法。通過理論分析、仿真驗證和對比實驗，得出如下結(jié)論：

1）ACCF結(jié)構(gòu)保持了CCF結(jié)構(gòu)控制原理簡單的優(yōu)勢，在FPSC和FNSC處具有正負(fù)頻率的選擇性，無需對稱分量法即可分離出FPSC和FNSC。

2）相比CCF結(jié)構(gòu)，ACCF結(jié)構(gòu)提高了其截止頻率，從而能夠拉寬整個PLL系統(tǒng)的中頻段寬度。

3）若CCF-PLL和ACCF-PLL的前級濾波結(jié)構(gòu)選用相同的阻尼比，且整個控制系統(tǒng)采用一致的開環(huán)截止頻率，經(jīng)三階最佳設(shè)計法校正后，ACCF-PLL的相位裕度明顯優(yōu)于CCF-PLL。

4）在電網(wǎng)頻率、相位和負(fù)序突變時，ACCF-PLL都能準(zhǔn)確進(jìn)行基波正負(fù)序分離、鎖頻和鎖相；測得的頻率和相位誤差超調(diào)量要小于CCF-PLL，系統(tǒng)響應(yīng)速度也快于后者。因此，ACCF-PLL表現(xiàn)出的動態(tài)性能更優(yōu)異。

5）在畸變電網(wǎng)環(huán)境下，ACCF結(jié)構(gòu)中配置的濾波模塊能完全消除電網(wǎng)諧波對系統(tǒng)輸出的影響。

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A Three-Phase Phase-Locked Loop Technique Based on All Complex Coefficient Filter

1,221

（1. School of Intelligent Engineering Jiangsu Vocational College of Information Technology Wuxi 214153 China 2. School of Electrical Engineering Yanshan University Qinhuangdao 066004 China）

Recently, the complex-coefficient-filter (CCF)-based phase-locked loop (PLL) technique has become a hotspot in grid synchronization research. However, the mathematical model and control performance of the current CCF-PLL have been confirmed to be basically consistent with the traditional real coefficient filter PLL. In order to improve the control performance, a novel three-phase PLL based on all complex coefficient filter is put forward. Firstly, the voltage transfer function of the pre-stage filter structure is given, and it is demonstrated that the structure can accurately separate the fundamental positive- and negative-sequence components. Then, the mathematical model of the pre-stage structure on the fundamental positive-sequence phase is derived. Combined with the post-stage synchronous rotating frame PLL, the mathematical model of the entire PLL system is built, and then the system is designed by the third-order optimum correction method. Wherein, the related control parameters are determined. It is shown that with the same open-loop cut-off frequency, the proposed PLL has a wider mid-frequency band width and a larger phase margin than the CCF-PLL. In addition, a multiple all-complex-coefficient-filter based PLL is designed to thoroughly eliminate harmonics. Finally, simulation and experimental results show that the control performance of the proposed PLL is better than that of the CCF-PLL.

Phase-locked loop, complex coefficient filter, control performance, phase margin

TM464

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L90095

江蘇省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項目（19KJB460028, 20KJB520021）、江蘇省高等學(xué)校優(yōu)秀科技創(chuàng)新團(tuán)隊項目（2019SJK07）和江蘇信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院2020年重點科研課題項目（JSITKY202008）資助。

2020-06-22

2020-10-22

何 宇 男，1989年生，碩士，講師，研究方向為電力電子功率變換與控制、新能源發(fā)電技術(shù)。E-mail: galuohua@163.com

漆漢宏 男，1968年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電力電子功率變換與控制、新能源發(fā)電技術(shù)。E-mail: hhqi@ysu.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠）