數(shù)學在跨學科教學中的運用
——以思政學科供求曲線的移動為例

甘肅

跨學科教學是以問題為中心的教學模式.跨學科教學中的“問題”，不是單一學科的問題，而是涉及多門學科的復雜問題.跨學科教學一般立足于某一學科，綜合運用其他相關學科的知識和方法來分析和解決問題.馬克思說過，“一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步.”在自然科學中運用數(shù)學，大家并不陌生.例如，物理中對導數(shù)和三角函數(shù)的運用，物理中的加速度實際上就是數(shù)學中的導數(shù).但數(shù)學在社會科學中的運用，卻并不為人所重視.實際上，在現(xiàn)代社會科學中，數(shù)學也有大量的運用.本文立足于思政學科，運用量化分析、降維和一次函數(shù)圖象平移等數(shù)學知識分析供求曲線移動問題.

1.教學目標

(1)復習思政學科中的“彈性”概念，并能區(qū)分清楚彈性與數(shù)學中的“斜率”；

(2)運用彈性分析稅負轉嫁問題；

(3)通過跨學科教學，培養(yǎng)學生以問題為中心，綜合運用跨學科的知識和方法分析和解決問題的素養(yǎng).

2.教學過程

2.1情景導入

董旺森、趙勇兩位老師在《中學政治教學參考》(上旬)2015年第12期發(fā)表的題為《高考命題應科學嚴謹》(以下簡稱“董文”)一文認為，2015年四川高考文綜政治第1題A選項與圖1信息不符，“卷煙惹了‘禍’，本題不能選擇A”.

2015年四川高考文綜政治第1題如下:

假設其他條件不變，下列與圖1所反映的信息相符的是

()

圖1

A.卷煙稅率上調，導致卷煙價格和購買量的變動

B.原油價格下跌，導致汽油價格和需求量的變動

C.銀行利率下調，導致棉花價格和種植量的變動

D.汽油價格上漲，導致天然氣價格和銷量的變動

2.2問題生成

(1)此題是不是選A？

(2)如果選A，“董文”瑕疵何在？

2.3知識準備

(1)與思政學科相關的知識

人教版《思想政治1·經濟生活》第一單元第二課“多變的價格”中有彈性和供求曲線等知識，學生已經學習和掌握.彈性與數(shù)學中斜率的關系，學生也進行過專題學習.

(2)與數(shù)學學科相關的知識

一次函數(shù)圖象平移的知識，學生在初中數(shù)學中就已經學習和掌握了.量化分析和降維，作為一種數(shù)學方法，甚至是數(shù)學思想，學生運用較少，但難度不大.

2.4教學探究

A選項與圖1信息完全相符.關于這個事實，一般的初級版《財政學》和《稅收學》教材都有詳細的分析和嚴密的論證，但這種分析和論證超越了高中學生的知識基礎和接受能力，不宜直接搬上課堂.因此，本課分為“卷煙稅變動的局部均衡分析”和“卷煙稅變動的數(shù)學分析”兩部分.“卷煙稅變動的局部均衡分析”對《財政學》和《稅收學》中的分析和論證框架做了最大限度的簡化解讀，主要從理論上論述這一問題，并以此為基礎從理論上揭示“董文”的疏漏.“卷煙稅變動的數(shù)學分析”則建立在數(shù)學的基礎之上，以學生聽得懂的方式指出“董文”的瑕疵，并對這一問題進行通俗化解讀.

探究1:卷煙稅變動的局部均衡分析

(1)稅收變動與市場均衡

下面借助圖形，采用局部均衡的分析方法探討稅收變動對市場均衡的影響.局部均衡分析是以單個市場為研究對象，假定該市場與其他市場不存在關聯(lián)影響，認為該市場的商品需求和供給僅取決于自身的價格.局部均衡是相對于一般均衡而言的，一般均衡分析則以相互聯(lián)系的所有市場組成的市場體系為研究對象，認為每一商品的需求和供給既取決于自身的價格，也受到其他商品價格的影響.例如，黃香蕉蘋果的需求不僅取決于自身的價格，也受到替代品紅富士蘋果價格的影響.

圖中，橫軸表示數(shù)量，縱軸表示價格，S表示供給曲線，D表示需求曲線.征稅前，市場均衡點為E*，均衡價格為P*，均衡數(shù)量為Q*.市場的均衡價格和均衡數(shù)量取決于需求和供給的相互作用，當需求或供給發(fā)生變化時，市場的均衡價格和均衡數(shù)量隨之發(fā)生變化.一般來說，如果在生產和批發(fā)環(huán)節(jié)征稅，則稅收通過影響商品生產的邊際成本即供給曲線移動，從而導致市場均衡狀態(tài)發(fā)生變化.如果在零售環(huán)節(jié)征稅，則稅收通過影響商品消費的邊際效用即需求曲線移動，從而導致市場均衡狀態(tài)改變.在我國，卷煙稅在生產和批發(fā)環(huán)節(jié)征收，故卷煙稅率上調是通過影響供給最終對市場均衡的變化發(fā)生作用的.假設對銷售者征收從量稅，稅額為T.由于征稅，銷售者邊際成本提高，從而市場供給減少，即供給曲線S向上移動至ST，移動距離為T，導致形成新的市場均衡，均衡點為ET，均衡價格為PT，均衡數(shù)量為QT.稅負總額為從量稅T與稅后均衡數(shù)量QT的乘積，即T·QT，就是圖中矩形PTP′AET的面積.銷售者從銷售每單位商品的所得總價PT中扣除從量稅T后的稅后凈價為P′，而征稅前，銷售者銷售每單位商品的所得收入為P*，因此，銷售者承擔的稅負為(P*-P′)·QT，即為圖中矩形P*P′AB的面積，剩余稅負通過轉嫁由消費者負擔，即為圖中矩形PTP*BET的面積.

由此可得，2015年四川高考文綜政治第1題中的圖1能夠準確反映卷煙稅率上調所產生的經濟影響，因此，該題選A無誤.

(2)價格彈性與稅負轉嫁

稅負轉嫁是指納稅人通過各種方式將所交稅款的部分或全部轉移給他人負擔的現(xiàn)象.稅負轉嫁主要通過商品價格的變化來實現(xiàn)，轉嫁的多寡取決于商品的供求價格彈性.需求價格彈性衡量的是需求量對價格變動的反應程度，它表示當一種商品的價格變化百分之一時與所引起的該商品的需求量變化的百分比比值.供給價格彈性反映的是供給量對價格變動的敏感程度，它表示當一種商品的價格變化百分之一時與所引起的該商品的供給量變化的百分比比值.一般而言，稅收易于向彈性小的一方轉移.具體地說，如果供給方是納稅人，需求價格彈性大于供給價格彈性時，稅負轉嫁困難，供給方自己承擔的稅負就大；需求價格彈性小于供給價格彈性時，稅負轉嫁容易，購買者承擔的稅負就多.例如，當黃香蕉蘋果的價格上升時，消費就會減少對其的需求量，轉而增加對替代品紅富士蘋果的購買量.因為往往某種商品的可替代品越多，其需求價格彈性就越大，這意味著在遇到稅收擾動的價格變化時，消費者能夠處于比較主動和有利的地位，可以通過增加購買低稅替代品，減少消費高稅商品，從而減輕甚至避免稅負轉嫁.對于供給價格彈性，比如時間和產品生產周期就是很重要的影響因素.企業(yè)根據商品價格的變化調整產量需要一定的時間，短期內縮減產量往往比較困難，相應供給價格彈性就小；長期來看，調整生產規(guī)模甚至轉產都有可能，供給價格彈性就大.另外，隨著價格的變化，產品的生產周期越短，產量調整就越及時，供給價格彈性就大；產品的生產周期越久，產量調整就越困難，供給彈性就小.當然，就特定商品而言，其供求價格彈性的具體大小要通過實證研究測算.

《高考命題應科學嚴謹》一文在第二部分分析中，認為“卷煙稅率上調，企業(yè)把國家稅收轉嫁到消費者身上.”其暗含的前提是，卷煙供給價格彈性幾乎為∞，即供給曲線接近平行于橫軸；或者卷煙需求價格彈性趨向于0，即需求曲線相當垂直于橫軸，這意味著人們對香煙的需求是剛性的，即無論價格如何變化，需求量恒定不變，那么稅率上調就難以起到控煙的作用.然而，文章認為卷煙價格對卷煙需求量并非沒有影響，即卷煙的需求價格彈性不為0.第二部分論述道:“卷煙稅率上調，從而導致卷煙價格提高，消費者購買量(需求量)減少.”第三部分進一步強調:“卷煙稅率上調后，卷煙零售價格上漲，需求量減少.”因此，只能是供給價格彈性為∞.但是，第三部分卻提出“卷煙稅率上調后，卷煙零售價格會上漲，但對卷煙生產企業(yè)基本沒有影響，即供給量不會發(fā)生大的變化.”這又意味著卷煙供給價格彈性趨近于0，即供給曲線幾乎垂直于橫軸.論證邏輯前后矛盾.

綜上所述，《高考命題應科學嚴謹》一文判定A項不能入選應屬冤假錯案，理當平反.

探究2.卷煙稅變動的數(shù)學分析

(1)量化分析

“董文”第二部分認為“卷煙稅率上調，企業(yè)把國家稅收轉嫁到消費者身上.”企業(yè)是否能把稅負全部轉嫁給消費者，企業(yè)自己完全不承擔稅負？

“董文”第三部分認為“卷煙稅率上調后，卷煙零售價格會上漲，但對卷煙生產企業(yè)基本沒有影響，即供給量不會發(fā)生大的變化.”卷煙稅上調到底對卷煙生產企業(yè)有沒有影響，供給量到底會不會發(fā)生大的變化？

下面通過舉例來回答這兩個問題.

假設消費者每天的香煙預算消費支出為40元，香煙價格為20元/包，則消費者每天消費2包煙.征稅30元/包后，企業(yè)欲通過上調價格轉嫁全部稅負，價格上漲至50元/包，顯然，香煙價格超過了消費者的預算消費支出，消費者無力購買，企業(yè)利潤無法實現(xiàn).于是企業(yè)自行承擔稅負10元，剩余20元稅負通過上調價格轉嫁給消費者，價格上漲至40元/包，此時，消費者每天只能消費1包煙.假設企業(yè)的生產成本為10元/包，則征稅前的利潤為20×2-10×2=20元，征稅后的利潤為40×1-10×1-30=0元.可見，征稅前后，企業(yè)的利潤不同.

通過這個例子，可以回答上面提出的兩個問題.企業(yè)很難完全把稅負全部轉嫁給消費者，而自己一點稅負都不承擔.同時，由于稅率變化會影響企業(yè)的利潤，所以供給量勢必也會發(fā)生一些變化.

(2)降維分析和平移分析

《財政學》和《稅收學》教材的理論分析是建立在一定的專業(yè)基礎之上的，已超越了高中學生的認知階段，并不適宜直接搬上課堂.因此本課運用數(shù)學知識進行了適當?shù)募夹g處理.

對于二元函數(shù)Z=f(X,Y)，要研究自變量變化對因變量的影響，先固定一個自變量，再研究另一個自變量變化對因變量的影響.即研究X變動對Z的影響，就將Y固定，視為常數(shù).研究Y變動對Z的影響，就將X固定，視為常數(shù).二元函數(shù)的圖示變化效果要在空間坐標系中觀察.以上做法的實質是將二元函數(shù)化為一元函數(shù)，利用一元函數(shù)的方法研究自變量變動對因變量的影響.例如，假設二元函數(shù)的表達式為Z=f(X,Y)=aX+Y，固定Y，即將Y視為常數(shù)b，則二元函數(shù)可以化為Z=f(X,Y)=aX+Y=aX+b=f(X)，同時，空間坐標系的三維圖示演示轉化為平面坐標系的二維圖示演示，效果更為直觀.

把香煙的供給S視為價格P和稅率T的二元函數(shù)，即S=f(P,T)，要研究T變動對S的影響，先固定P，如上圖所示，假設P固定在P0，T=T0對應供給量S0，隨著稅率T由T0提高至T1，供給量減少，即小于S0，故供給曲線左移至S1S0.綜上所述，卷煙稅率提高，供給量減少，供給曲線左移.

3.教學反思