一維直線上的奇異型Trudinger-Moser不等式

朱茂春,劉 杰

(江蘇大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

1 引言

一個(gè)自然的問(wèn)題是當(dāng)n=1時(shí),有沒(méi)有類似的Trudinger-Moser不等式呢?2015年,Martinazzi,Iula以及Maalaoui在文獻(xiàn)[9]中給出了一個(gè)肯定的回答,他們得到了定義在直線上的分?jǐn)?shù)次Sobolev空間上的Trudinger-Moser不等式,即若p∈(1,∞),則對(duì)于任何滿足|I|<∞的開(kāi)區(qū)間I?,當(dāng)α≤αp時(shí),有

進(jìn)一步,他們證明了常數(shù)αp是最佳的,即當(dāng)α>αp時(shí),上式中的上確界可以無(wú)窮大.

但一維情形下分?jǐn)?shù)次Sobolev空間上奇異型Trudinger-Moser不等式的研究仍是空白.本文將著力關(guān)注、探討并嘗試建立一維情形下有界區(qū)間上的奇異型Trudinger-Moser不等式并討論常數(shù)的最佳性.

為了敘述主要結(jié)果,首先介紹分?jǐn)?shù)次Sobolev空間Hs,p.令s∈(0,1),考慮函數(shù)空間Ls():

對(duì)于u∈Ls(),定義(??)su如下:

其中S為光滑的速降函數(shù)空間,并且對(duì)于?∈S,定義

其中F?1為Fourier逆變換,為?的Fourier變換.對(duì)于s∈(0,1)及p∈[1,∞),s=,定義Bessel位勢(shì)空間

以及它的子空間

其中I?是一個(gè)有界區(qū)間.上述兩個(gè)空間的范數(shù)是:

本文的主要結(jié)果如下.

定理1.1對(duì)于任意有限區(qū)間I?,p∈[1,∞)及β∈[0,1),存在常數(shù)C(p,β),滿足對(duì)任意的0≤α≤αp,有

成立,其中

進(jìn)一步,(1.1)式中的常數(shù)αp是最佳的,即如果α>αp,(1)式中的上確界可以任意大.

2 定理1.1的證明

為了證明定理1.1,首先給出下面的重排定義及處理卷積重排問(wèn)題時(shí)常用的O’Neil引理.

引理2.1設(shè)I為的有界子集,.則

下面估計(jì)u(x)的重排函數(shù).由于f≥0利用O’Neil引理,可以得到

證畢.

引理2.2[11]令0<α≤1,p∈(1,∞),a(s,t)是定義在(?∞,∞)×[0,∞)的非負(fù)可測(cè)函數(shù)且滿足

其中

定理1.1的證明對(duì)(2.1)式做變量替換t=e?s|I|,可以很容易得到

令

以及

結(jié)合 (2.2)–(2.4) 式,有

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算,可知

并且由重排的基本性質(zhì),可知

對(duì)于任意的0≤α≤αp,利用Hardy-Littlewood不等式[12],有

其中

因?yàn)?2.4)中的a(s,r)滿足當(dāng)0

且有

于是利用引理2.2,可以得到

因此,當(dāng)0≤α≤αp,可以得到

下面證明常數(shù)αp是最佳的.通過(guò)簡(jiǎn)單的伸縮變換,不難發(fā)現(xiàn)只需證明該結(jié)論在特定區(qū)間I=(?1,1)上成立即可.證明過(guò)程分為三步.

第三步當(dāng)x∈I時(shí),

其中g(shù)x∈C∞()且當(dāng)y∈Ic時(shí),

類似于[9],可以得到u在[?r,r]上的一個(gè)下界估計(jì).

于是,對(duì)于任意的x∈[?r,r],當(dāng)τ→∞時(shí),