Diffeological空間范疇中光滑映射的分解

詹 妍,趙 浩

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

0 引言

纖維化作為復(fù)疊空間的自然推廣,對同倫論的研究有著重要的作用[1].在拓?fù)淇臻g范疇中,對纖維化理論的研究已經(jīng)完善.1966年,Spanier[2]研究了復(fù)疊空間理論,引入纖維叢和Hurewicz纖維化的概念.特別地,文[2]給出了升騰函數(shù)的概念并證明了映射p:E→B是纖維化當(dāng)且僅當(dāng)存在p的升騰函數(shù).與之對偶地,文[2]也給出了收縮函數(shù)的概念并證明了函數(shù)f:X0→X是上纖維化當(dāng)且僅當(dāng)存在f的收縮函數(shù).利用升騰函數(shù)與收縮函數(shù)的概念,文[2]給出了誘導(dǎo)纖維化的相關(guān)結(jié)論:對任一空間X,映射p:E→B誘導(dǎo)映射p?:EX→BX,由p?(g)=p?g定義,其中EX與BX表示映射空間.若p是纖維化,則p?也是纖維化.與之對偶地,對任一空間Y,映射f:X0→X誘導(dǎo)映射f?:YX→YX0,由f?(g)=g?f定義.若f是上纖維化,則f?是纖維化.1970年,Maunder[3]根據(jù)Hurewicz纖維化的定義,證明了任何一個(gè)光滑映射既可表示為一個(gè)上纖維化和同倫等價(jià)的復(fù)合,也可表示為一個(gè)同倫等價(jià)和纖維化的復(fù)合.

相對于拓?fù)淇臻g范疇中纖維化的理論,在其它范疇中也有對應(yīng)的纖維化理論,Diffeological空間范疇便是其中的范疇之一.在Diffeological空間范疇中,其對象為Diffeological空間,態(tài)射為Diffeological空間之間的光滑映射.Diffeological空間作為光滑流形的一般化,最初由Souriau[4]在上世紀(jì)80年代提出.2013年,Iglesias-Zemmour[5]在專著[5]中系統(tǒng)地給出了Diffeological空間的同倫理論.在文[6]中,Haraguchi-Shimakawa研究了Diffeological空間范疇中的模結(jié)構(gòu),并給出了兩個(gè)光滑映射f,f0:X→Y之間的光滑同倫的另一定義,即存在X×I到Y(jié)的光滑映射H使H0=f,H1=f0,且不失一般性地可假設(shè)H為tame同倫.而在文[7]中,Haraguchi研究了光滑CW復(fù)形的同倫性質(zhì)并且給出了光滑同倫等價(jià)的定義,即存在光滑映射f:X→Y和g:Y→X,使得g?f光滑同倫于1X,f?g光滑同倫于1Y.

根據(jù)已知的文獻(xiàn),雖然有關(guān)Diffeological空間的同倫理論得到了充分的發(fā)展,但是有關(guān)纖維化的一些基本概念與性質(zhì)并未見到相關(guān)的結(jié)果.鑒于此,本文將研究Diffeological空間范疇有關(guān)纖維化的相關(guān)概念與性質(zhì),得到以下的主要結(jié)果:

定理0.1任何一個(gè)光滑映射f:A→B可表示成為一個(gè)光滑同倫等價(jià)和光滑纖維化的復(fù)合.

定理0.2任何一個(gè)光滑映射f:A→B可表示成為一個(gè)光滑上纖維化和光滑同倫等價(jià)的復(fù)合.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:在第一節(jié)我們給出有關(guān)Diffeological空間范疇的一些基本概念與性質(zhì),在第二節(jié)給出定理0.1的證明,在第三節(jié)給出定理0.2的證明.

1 預(yù)備知識

本節(jié)介紹有關(guān)Diffeological空間的一些基本概念與性質(zhì).

定義1.1[5]設(shè)X是一個(gè)集合,U是歐式空間的開子集,任一映射P:U→X稱為X的一個(gè)參數(shù)化.

定義1.2[5]設(shè)X是一個(gè)非空集合,U是歐式空間的開子集.X的一個(gè)參數(shù)化族DX={f|f:U→X},稱為X的一個(gè)diffeology,如果它滿足以下三個(gè)條件:

(1)常值參數(shù)化在DX中;

(2)對任一映射P:U→X,若對于U中的任一點(diǎn)u,存在u的一個(gè)開鄰域V,使得P|V:V→X在DX中,則P在DX中;

(3)對DX中的任一參數(shù)化P:U→X和任一歐式空間開子集之間的光滑映射Q:V→U,P?Q在DX中.

集合X和它的一個(gè)diffeologyDX一起稱為一個(gè)Diffeological空間.稱DX中的每個(gè)成員為X的plot.

定義1.3[5]給定Diffeological空間X和Y,我們稱映射f:X→Y是光滑的,如果對于X的任一plotP:U→X,f?P是Y的一個(gè)plot.

命題1.4[5]設(shè)X,Y和Z都是Diffeological空間,若f:X→Y,g:Y→Z都是光滑映射,則復(fù)合映射g?f:X→Z也是光滑映射.

以下介紹幾類常見的Diffeological空間及其相關(guān)的性質(zhì).

定義1.5[7]設(shè)A是X的一個(gè)非空子集,i:A→X是包含映射.A有一個(gè)子diffeology

我們稱具有子diffeology的A是X的子空間.在本文中,我們把單位區(qū)間I看成R的子空間.

定義1.6[7]設(shè)X和Y都是Diffeological空間,π:X→Y是一個(gè)光滑的、滿的映射,如果對于Y的任一plotP:U→Y和任一點(diǎn)u∈U,存在u的開鄰域V和X的plotQ:V→X,使得P|V=π?Q,則稱映射π為一個(gè)除法.

命題1.7[5]設(shè)X,Y和Z都是Diffeological空間,π:X→Y是除法.則映射f:Y→Z是光滑的當(dāng)且僅當(dāng)f?π是光滑的.

定義1.8[7]設(shè)X是Diffeological空間,Y是非空集合.π:X→Y是滿射.Y有一個(gè)商diffeology

稱帶商diffeology的Y為X的商空間或X的Diffeological商.由以上定義可見,π是一個(gè)除法.

定義1.9[7]設(shè)X與Y都是Diffeological空間,令C∞(X,Y)={所有光滑映射f:X→Y}.則C∞(X,Y)有一個(gè)函數(shù)式diffeology

其中ev:C∞(X,Y)×X→Y是賦值映射,定義為ev(f,x)=f(x).

則稱H為tame同倫.

以下給出光滑纖維化與光滑上纖維化的概念.

定義1.12[2]設(shè)E,B和X都是Diffeological空間.如果對任一光滑映射f:X→E,光滑同倫G:X×I→B,G0=p?f,都存在光滑同倫F:X×I→E,使得F0=f,p?F=G(F是G的提升),則稱p有關(guān)于空間X的光滑同倫提升性質(zhì).把X看成X×{0},設(shè)i0:X→X×I是包含映射,則有交換圖表如下:

若對所有Diffeological空間X,p都有光滑同倫提升性質(zhì),則稱p是光滑纖維化.

定義1.13[2]設(shè)X,Y是Diffeological空間,A是X的子空間.如果對任一光滑映射f:X→Y,光滑同倫G:A×I→Y,G0=f|A,都存在光滑同倫F:X×I→Y,使得F0=f,F|A×I=G(F是G的擴(kuò)張),則稱f有關(guān)于空間X的光滑同倫擴(kuò)張性質(zhì).設(shè)i:A→X是包含映射,則有交換圖表如下:

若對所有Diffeological空間X,f都有光滑同倫擴(kuò)張性質(zhì),則稱f是光滑上纖維化.

2 定理0.1的證明

定理2.1(即定理0.1)任何一個(gè)光滑映射f:A→B可表示成為一個(gè)光滑同倫等價(jià)和光滑纖維化的復(fù)合.

證令Pf={(a,λ)∈A×BI,f(a)=λ(1)},看成乘積空間A×BI的子空間,其中BI=C∞(I,B).令

則有以下交換圖表:

從而可證光滑映射f可表示成為光滑同倫等價(jià)映射h和光滑纖維化g的復(fù)合，即證g是光滑纖維化,以及h是光滑同倫等價(jià).

首先證明g是光滑纖維化.

(1)證g是光滑映射.

任取P:U→Pf∈DPf,設(shè)P(u)=(a,λ),u∈U.則g?P:U→B為

設(shè)i:Pf→A×BI是包含映射,則i?P:U→A×BI∈DA×BI:

取Q:U→I,Q(u)=0,u∈U.則Q∈DI.取光滑映射l:U→U×U,l(u)=(u,u),u∈U.于是,ev?(P0×Q)?l∈DB:

即g?P=ev?(P0×Q)?l∈DB:∈DB.故g是光滑映射.

(2)證g對所有Diffeological空間都有光滑同倫提升性質(zhì).

設(shè)X是任一Diffeological空間,k:X→Pf是任一光滑映射,G:X×I→B是光滑同倫使G0=g?k.不妨設(shè)G是tame同倫.

記k1πA?i?k:X→A,k2πBI?i?k:X→BI.根據(jù)指數(shù)對應(yīng)法則,k2對應(yīng)k0:X×I→B,k0(x,t)=k2(x)(t).定義F0B:X×I×I為

由于G(x,0)=g?k(x)=k2(x)(0)=k0(x,0),G是tame映射,故是光滑的.根據(jù)指數(shù)對應(yīng)法則,得到光滑同倫FB:X×I→BI.

再定義F:X×I→A×BI為F(x,s)=(k1(x),FB(x,s)),由k1和FB的光滑性得F是光滑的.又f(k1(x))=k2(x)(1)=k0(x,1)=(x,s,1)=FB(x,s)(1),從而F是從X×I到Pf的映射.同時(shí),F(x,0)=(k1(x),FB(x,0))=(k1(x),k0(x,t))=(k1(x),k2(x))=k(x);g?F=FB(x,s)(0)=F0B(x,s,0)=G(x,s).

因此,由(1)(2)知g是光滑纖維化.

其次證明h是光滑同倫等價(jià).

(1)證h:A→Pf,h(a)=(a,ef(a))是光滑映射.

任取P:U→A∈DA,h?P:U→Pf為

要證h?P∈DPf,即證P0,i?h?P:U→A×BI,u 7→(P(u),ef(P(u)))∈DA×BI,則轉(zhuǎn)化為證P1,πA?P0:U→A∈DA,和P2,πBI?P0:U→BI∈DBI:

可見,P1=P∈DA.而要證P2∈DBI,即證對任意Q:V→I∈DI,都有ev?(P2×Q)∈DB:

由f的光滑性得ev?(P2×Q)∈DB成立,從而h?P∈DPf,即h是光滑映射.

(2)定義j:Pf→A,j(a,λ)=a,是第一個(gè)坐標(biāo)的投射,則是光滑的.

(3)證1A,h?j1Pf.

首先j?h=1A,而h?j:1Pf→1Pf為h?j(a,λ)=(a,ef(a)).

定義H:Pf×I→Pf,H(a,λ,s)=(a,λs),λs(t)=λ(t+s(1?t)),t∈I.下證H是光滑的.

任取P:U→Pf×I∈DPf×I,設(shè)P(u)=(a,λ,s),u∈U.需證H?P:U→Pf∈DPf:

由于P:U→Pf×I∈DPf×I,設(shè)πPf:Pf×I→Pf,πI:Pf×I→I是自然投射,得到i?πPf?P:U→I∈DA×BI,πI?P:U→I∈DI:

因此,由(1)(2)(3)知h是光滑同倫等價(jià).

3 定理0.2的證明

定義3.1[5]設(shè)X和Y都是Diffeological空間,如果f:X→Y是雙射,且f和f?1都是光滑的,則稱映射f為diffeomorphism.

引理 3.2映射φ:X×Y/α×β →X/α×Y/β(由φ([x,y])=([x],[y])定義)是diffeomorphism.

證(1)由等價(jià)關(guān)系α,β,α×β的定義和映射φ的定義,得φ是雙射,且有以下交換圖表:

(2)pα,pβ是除法,易證pα×pβ是光滑的.又pα×β是除法,由命題1.7知φ是光滑映射.

(3)由于pα×pβ是除法,pα×β是光滑映射,故由命題1.7知φ?1是光滑映射.

引理3.3設(shè)F:X×I→Y是光滑同倫.定義等價(jià)關(guān)系α:xαx0當(dāng)且僅當(dāng)F(x,t)=F(x0,t),任意t∈I.設(shè)pα:X→X/α是粘合映射.則F誘導(dǎo)光滑同倫F0:X/α×I→Y,使得F0?(pα×1I)=F.

證 設(shè)1是I上的等價(jià)關(guān)系,定義i1i0當(dāng)且僅當(dāng)i=i0,則α×1是X×I上的等價(jià)關(guān)系.由引理3.2知φ:X×I/α×1→X/α×I是diffeomorphism.根據(jù)F的假設(shè)知,存在映射F00:X×I/α×1→Y使F00?pα×1=F,且因?yàn)閜α×1是除法,所以F00是光滑的.得到以下交換圖表:

令F0=F00?φ?1,即是所求.

定理3.4(即定理0.2)任何一個(gè)光滑映射f:A→B可表示成為一個(gè)光滑上纖維化和光滑同倫等價(jià)的復(fù)合.

則有以下交換圖表：

故可證光滑映射f可表示成為光滑上纖維化g和光滑同倫等價(jià)h的復(fù)合,即證g是光滑上纖維化,以及h是光滑同倫等價(jià).

首先證明g是光滑上纖維化.

(1)證g是光滑映射.把A看成A×{0},則是Mf的子空間,而g是相應(yīng)的包含映射,則是光滑的.

(2)證g對所有Diffeological空間都有光滑同倫擴(kuò)張性質(zhì).

設(shè)Y是任一Diffeological空間,k:Mf→Y是任一光滑映射,G:A×I→Y是光滑同倫使G0=k?g.不妨設(shè)G是tame同倫.

定義FB:B×I→Y為FB(b,s)=k(b),和FA:A×I×I→Y為

由于k是光滑的,G是tame同倫,且G(a,0)=k?g(a)=k([a,0]),故FB和FA是光滑的.因?yàn)镕A(a,1,s)=k([a,1])=k(f(a))=FB(f(a),s),根據(jù)引理3.3,FA∪FB誘導(dǎo)光滑同倫F:Mf×I→Y,使F?(p×1)=FA∪FB.則F(x,0)=FB(x,0)=k(x),當(dāng)x∈B;F([x,t],0)=k([x,t]),當(dāng)(x,t)∈A×I;故F0=k.F?(g×1I)(a,s)=F([a,0],s)=G(a,s),即F?(g×1I)=G.

因此,由(1)(2)知g是光滑上纖維化.

其次證明h是光滑同倫等價(jià).

(1)證h:Mf→B是光滑映射.

因?yàn)樵贛f中,f(a)=[a,1],a∈A,所以把h:Mf→B看成

任取P:U→Mf∈DMf,設(shè)P(u)=[a,t],(a,t)∈A×I或P(u)=b,b∈B,u∈U.則h?P:U→Mf為

(2)定義j:B→Mf,j(b)=b,b∈B.可見j是包含映射,則是光滑的.

首先h?j=1B,而j?h:1Mf→1Mf為

定義H:Mf×I→Mf為

下證H是光滑的.

任取P:U→Mf×I∈DMf×I,設(shè)P(u)=([a,t],s),(a,t)∈A×I或P(u)=b,b∈B,u∈U.則H?P:U→Pf為

設(shè)πMf:Mf×I→Mf,πI:Mf×I→I是自然投射,由于P:U→Mf×I∈DMf×I,則P1,πMf?P:U→Mf∈DMf,P2πI?P:U→I∈DI:

于是對任意u∈U,存在u的開鄰域V和Q1:V→A×I∈DA×I,使P1|V=p?i1?Q1,或者Q2:V→B∈DB,使P2|V=p?i2?Q2.

因此,由(1)(2)(3)知h是光滑同倫等價(jià).