Diffeological空間范疇中光滑映射的分解

詹 妍,趙 浩

(華南師范大學數學科學學院,廣東 廣州 510631)

0 引言

纖維化作為復疊空間的自然推廣,對同倫論的研究有著重要的作用[1].在拓撲空間范疇中,對纖維化理論的研究已經完善.1966年,Spanier[2]研究了復疊空間理論,引入纖維叢和Hurewicz纖維化的概念.特別地,文[2]給出了升騰函數的概念并證明了映射p:E→B是纖維化當且僅當存在p的升騰函數.與之對偶地,文[2]也給出了收縮函數的概念并證明了函數f:X0→X是上纖維化當且僅當存在f的收縮函數.利用升騰函數與收縮函數的概念,文[2]給出了誘導纖維化的相關結論:對任一空間X,映射p:E→B誘導映射p?:EX→BX,由p?(g)=p?g定義,其中EX與BX表示映射空間.若p是纖維化,則p?也是纖維化.與之對偶地,對任一空間Y,映射f:X0→X誘導映射f?:YX→YX0,由f?(g)=g?f定義.若f是上纖維化,則f?是纖維化.1970年,Maunder[3]根據Hurewicz纖維化的定義,證明了任何一個光滑映射既可表示為一個上纖維化和同倫等價的復合,也可表示為一個同倫等價和纖維化的復合.

相對于拓撲空間范疇中纖維化的理論,在其它范疇中也有對應的纖維化理論,Diffeological空間范疇便是其中的范疇之一.在Diffeological空間范疇中,其對象為Diffeological空間,態射為Diffeological空間之間的光滑映射.Diffeological空間作為光滑流形的一般化,最初由Souriau[4]在上世紀80年代提出.2013年,Iglesias-Zemmour[5]在專著[5]中系統地給出了Diffeological空間的同倫理論.在文[6]中,Haraguchi-Shimakawa研究了Diffeological空間范疇中的模結構,并給出了兩個光滑映射f,f0:X→Y之間的光滑同倫的另一定義,即存在X×I到Y的光滑映射H使H0=f,H1=f0,且不失一般性地可假設H為tame同倫.而在文[7]中,Haraguchi研究了光滑CW復形的同倫性質并且給出了光滑同倫等價的定義,即存在光滑映射f:X→Y和g:Y→X,使得g?f光滑同倫于1X,f?g光滑同倫于1Y.

根據已知的文獻,雖然有關Diffeological空間的同倫理論得到了充分的發展,但是有關纖維化的一些基本概念與性質并未見到相關的結果.鑒于此,本文將研究Diffeological空間范疇有關纖維化的相關概念與性質,得到以下的主要結果:

定理0.1任何一個光滑映射f:A→B可表示成為一個光滑同倫等價和光滑纖維化的復合.

定理0.2任何一個光滑映射f:A→B可表示成為一個光滑上纖維化和光滑同倫等價的復合.

本文結構安排如下:在第一節我們給出有關Diffeological空間范疇的一些基本概念與性質,在第二節給出定理0.1的證明,在第三節給出定理0.2的證明.

1 預備知識

本節介紹有關Diffeological空間的一些基本概念與性質.

定義1.1[5]設X是一個集合,U是歐式空間的開子集,任一映射P:U→X稱為X的一個參數化.

定義1.2[5]設X是一個非空集合,U是歐式空間的開子集.X的一個參數化族DX={f|f:U→X},稱為X的一個diffeology,如果它滿足以下三個條件:

(1)常值參數化在DX中;

(2)對任一映射P:U→X,若對于U中的任一點u,存在u的一個開鄰域V,使得P|V:V→X在DX中,則P在DX中;

(3)對DX中的任一參數化P:U→X和任一歐式空間開子集之間的光滑映射Q:V→U,P?Q在DX中.

集合X和它的一個diffeologyDX一起稱為一個Diffeological空間.稱DX中的每個成員為X的plot.

定義1.3[5]給定Diffeological空間X和Y,我們稱映射f:X→Y是光滑的,如果對于X的任一plotP:U→X,f?P是Y的一個plot.

命題1.4[5]設X,Y和Z都是Diffeological空間,若f:X→Y,g:Y→Z都是光滑映射,則復合映射g?f:X→Z也是光滑映射.

以下介紹幾類常見的Diffeological空間及其相關的性質.

定義1.5[7]設A是X的一個非空子集,i:A→X是包含映射.A有一個子diffeology

我們稱具有子diffeology的A是X的子空間.在本文中,我們把單位區間I看成R的子空間.

定義1.6[7]設X和Y都是Diffeological空間,π:X→Y是一個光滑的、滿的映射,如果對于Y的任一plotP:U→Y和任一點u∈U,存在u的開鄰域V和X的plotQ:V→X,使得P|V=π?Q,則稱映射π為一個除法.

命題1.7[5]設X,Y和Z都是Diffeological空間,π:X→Y是除法.則映射f:Y→Z是光滑的當且僅當f?π是光滑的.

定義1.8[7]設X是Diffeological空間,Y是非空集合.π:X→Y是滿射.Y有一個商diffeology

稱帶商diffeology的Y為X的商空間或X的Diffeological商.由以上定義可見,π是一個除法.

定義1.9[7]設X與Y都是Diffeological空間,令C∞(X,Y)={所有光滑映射f:X→Y}.則C∞(X,Y)有一個函數式diffeology

其中ev:C∞(X,Y)×X→Y是賦值映射,定義為ev(f,x)=f(x).

則稱H為tame同倫.

以下給出光滑纖維化與光滑上纖維化的概念.

定義1.12[2]設E,B和X都是Diffeological空間.如果對任一光滑映射f:X→E,光滑同倫G:X×I→B,G0=p?f,都存在光滑同倫F:X×I→E,使得F0=f,p?F=G(F是G的提升),則稱p有關于空間X的光滑同倫提升性質.把X看成X×{0},設i0:X→X×I是包含映射,則有交換圖表如下:

若對所有Diffeological空間X,p都有光滑同倫提升性質,則稱p是光滑纖維化.

定義1.13[2]設X,Y是Diffeological空間,A是X的子空間.如果對任一光滑映射f:X→Y,光滑同倫G:A×I→Y,G0=f|A,都存在光滑同倫F:X×I→Y,使得F0=f,F|A×I=G(F是G的擴張),則稱f有關于空間X的光滑同倫擴張性質.設i:A→X是包含映射,則有交換圖表如下:

若對所有Diffeological空間X,f都有光滑同倫擴張性質,則稱f是光滑上纖維化.

2 定理0.1的證明

定理2.1(即定理0.1)任何一個光滑映射f:A→B可表示成為一個光滑同倫等價和光滑纖維化的復合.

證令Pf={(a,λ)∈A×BI,f(a)=λ(1)},看成乘積空間A×BI的子空間,其中BI=C∞(I,B).令

則有以下交換圖表:

從而可證光滑映射f可表示成為光滑同倫等價映射h和光滑纖維化g的復合，即證g是光滑纖維化,以及h是光滑同倫等價.

首先證明g是光滑纖維化.

(1)證g是光滑映射.

任取P:U→Pf∈DPf,設P(u)=(a,λ),u∈U.則g?P:U→B為

設i:Pf→A×BI是包含映射,則i?P:U→A×BI∈DA×BI:

取Q:U→I,Q(u)=0,u∈U.則Q∈DI.取光滑映射l:U→U×U,l(u)=(u,u),u∈U.于是,ev?(P0×Q)?l∈DB:

即g?P=ev?(P0×Q)?l∈DB:∈DB.故g是光滑映射.

(2)證g對所有Diffeological空間都有光滑同倫提升性質.

設X是任一Diffeological空間,k:X→Pf是任一光滑映射,G:X×I→B是光滑同倫使G0=g?k.不妨設G是tame同倫.

記k1πA?i?k:X→A,k2πBI?i?k:X→BI.根據指數對應法則,k2對應k0:X×I→B,k0(x,t)=k2(x)(t).定義F0B:X×I×I為

由于G(x,0)=g?k(x)=k2(x)(0)=k0(x,0),G是tame映射,故是光滑的.根據指數對應法則,得到光滑同倫FB:X×I→BI.

再定義F:X×I→A×BI為F(x,s)=(k1(x),FB(x,s)),由k1和FB的光滑性得F是光滑的.又f(k1(x))=k2(x)(1)=k0(x,1)=(x,s,1)=FB(x,s)(1),從而F是從X×I到Pf的映射.同時,F(x,0)=(k1(x),FB(x,0))=(k1(x),k0(x,t))=(k1(x),k2(x))=k(x);g?F=FB(x,s)(0)=F0B(x,s,0)=G(x,s).

因此,由(1)(2)知g是光滑纖維化.

其次證明h是光滑同倫等價.

(1)證h:A→Pf,h(a)=(a,ef(a))是光滑映射.

任取P:U→A∈DA,h?P:U→Pf為

要證h?P∈DPf,即證P0,i?h?P:U→A×BI,u 7→(P(u),ef(P(u)))∈DA×BI,則轉化為證P1,πA?P0:U→A∈DA,和P2,πBI?P0:U→BI∈DBI:

可見,P1=P∈DA.而要證P2∈DBI,即證對任意Q:V→I∈DI,都有ev?(P2×Q)∈DB:

由f的光滑性得ev?(P2×Q)∈DB成立,從而h?P∈DPf,即h是光滑映射.

(2)定義j:Pf→A,j(a,λ)=a,是第一個坐標的投射,則是光滑的.

(3)證1A,h?j1Pf.

首先j?h=1A,而h?j:1Pf→1Pf為h?j(a,λ)=(a,ef(a)).

定義H:Pf×I→Pf,H(a,λ,s)=(a,λs),λs(t)=λ(t+s(1?t)),t∈I.下證H是光滑的.

任取P:U→Pf×I∈DPf×I,設P(u)=(a,λ,s),u∈U.需證H?P:U→Pf∈DPf:

由于P:U→Pf×I∈DPf×I,設πPf:Pf×I→Pf,πI:Pf×I→I是自然投射,得到i?πPf?P:U→I∈DA×BI,πI?P:U→I∈DI:

因此,由(1)(2)(3)知h是光滑同倫等價.

3 定理0.2的證明

定義3.1[5]設X和Y都是Diffeological空間,如果f:X→Y是雙射,且f和f?1都是光滑的,則稱映射f為diffeomorphism.

引理 3.2映射φ:X×Y/α×β →X/α×Y/β(由φ([x,y])=([x],[y])定義)是diffeomorphism.

證(1)由等價關系α,β,α×β的定義和映射φ的定義,得φ是雙射,且有以下交換圖表:

(2)pα,pβ是除法,易證pα×pβ是光滑的.又pα×β是除法,由命題1.7知φ是光滑映射.

(3)由于pα×pβ是除法,pα×β是光滑映射,故由命題1.7知φ?1是光滑映射.

引理3.3設F:X×I→Y是光滑同倫.定義等價關系α:xαx0當且僅當F(x,t)=F(x0,t),任意t∈I.設pα:X→X/α是粘合映射.則F誘導光滑同倫F0:X/α×I→Y,使得F0?(pα×1I)=F.

證 設1是I上的等價關系,定義i1i0當且僅當i=i0,則α×1是X×I上的等價關系.由引理3.2知φ:X×I/α×1→X/α×I是diffeomorphism.根據F的假設知,存在映射F00:X×I/α×1→Y使F00?pα×1=F,且因為pα×1是除法,所以F00是光滑的.得到以下交換圖表:

令F0=F00?φ?1,即是所求.

定理3.4(即定理0.2)任何一個光滑映射f:A→B可表示成為一個光滑上纖維化和光滑同倫等價的復合.

則有以下交換圖表：

故可證光滑映射f可表示成為光滑上纖維化g和光滑同倫等價h的復合,即證g是光滑上纖維化,以及h是光滑同倫等價.

首先證明g是光滑上纖維化.

(1)證g是光滑映射.把A看成A×{0},則是Mf的子空間,而g是相應的包含映射,則是光滑的.

(2)證g對所有Diffeological空間都有光滑同倫擴張性質.

設Y是任一Diffeological空間,k:Mf→Y是任一光滑映射,G:A×I→Y是光滑同倫使G0=k?g.不妨設G是tame同倫.

定義FB:B×I→Y為FB(b,s)=k(b),和FA:A×I×I→Y為

由于k是光滑的,G是tame同倫,且G(a,0)=k?g(a)=k([a,0]),故FB和FA是光滑的.因為FA(a,1,s)=k([a,1])=k(f(a))=FB(f(a),s),根據引理3.3,FA∪FB誘導光滑同倫F:Mf×I→Y,使F?(p×1)=FA∪FB.則F(x,0)=FB(x,0)=k(x),當x∈B;F([x,t],0)=k([x,t]),當(x,t)∈A×I;故F0=k.F?(g×1I)(a,s)=F([a,0],s)=G(a,s),即F?(g×1I)=G.

因此,由(1)(2)知g是光滑上纖維化.

其次證明h是光滑同倫等價.

(1)證h:Mf→B是光滑映射.

因為在Mf中,f(a)=[a,1],a∈A,所以把h:Mf→B看成

任取P:U→Mf∈DMf,設P(u)=[a,t],(a,t)∈A×I或P(u)=b,b∈B,u∈U.則h?P:U→Mf為

(2)定義j:B→Mf,j(b)=b,b∈B.可見j是包含映射,則是光滑的.

首先h?j=1B,而j?h:1Mf→1Mf為

定義H:Mf×I→Mf為

下證H是光滑的.

任取P:U→Mf×I∈DMf×I,設P(u)=([a,t],s),(a,t)∈A×I或P(u)=b,b∈B,u∈U.則H?P:U→Pf為

設πMf:Mf×I→Mf,πI:Mf×I→I是自然投射,由于P:U→Mf×I∈DMf×I,則P1,πMf?P:U→Mf∈DMf,P2πI?P:U→I∈DI:

于是對任意u∈U,存在u的開鄰域V和Q1:V→A×I∈DA×I,使P1|V=p?i1?Q1,或者Q2:V→B∈DB,使P2|V=p?i2?Q2.

因此,由(1)(2)(3)知h是光滑同倫等價.