關于相對Bousfield類和相對Bousfield等價關系

黃文林

(中國人民大學數學學院,北京 100872)

0 引言

自上世紀70年代以來,Bousfield類及其結構問題已經發展成為拓撲學、代數幾何、群與代數的表示論等領域的共同研究課題[1?5],Bousfield類是研究穩定同倫范疇、交換環上的導出范疇、穩定模范疇等張量三角范疇的局部化子范疇及其分類問題的重要途徑,特別地,有限群的穩定模范疇的局部化子范疇就是它的Bousfield類[4].

有限群G的穩定模范疇StMod(kG)及其滿子范疇Stmod(kG)(全體有限生成的kG-模的穩定范疇)是有限群表示論中十分重要的表示范疇.基于相對穩定范疇StmodH(kG),Okuyama、Carlson和Peng等將有限群表示論中經典的相對子群H的投射推廣為相對模V的投射,利用Happel的方法相應地建立了更加廣義的相對穩定范疇StmodV(kG),并研究其中的相對同調問題和上同調問題[6?10].本文研究相對穩定范疇StmodV(kG)的Bousfield類問題.

本文提出的相對V-Bousfield類融合了相對模V-投射問題和經典Bousfield類問題,事實上,它既是相對模V-投射的推廣,又是相對穩定范疇Stmod(kG)上經典Bousfield類的推廣(注1.4).而且,從結構上看,相對V-Bousfield類還與群代數的模上的張量積及其直和分解問題緊密相關,而張量積的直和分解方法已經廣泛運用到Green環的冪零元素、幾乎可裂序列、內平凡模、Dade群的結構、廣義跡映射等問題的研究中去[11?14].

作者著重研究了相對V-Bousfield類在模上的限制、誘導、張量誘導等運算下的包含關系問題(定理1.14、定理1.15、定理1.16、定理1.19),以及利用相對V-Bousfield類定義了模上的相對V-Bousfield等價關系和相對V-Bousfield等價類,證明了在模上的限制和誘導運算下仍保持相對V-Bousfield等價關系問題(定理2.8、定理2.11、定理2.12),并在子群是強p-嵌入的情形下建立了群與子群的相對V-Bousfield等價類之間的一一對應(定理2.14、推論2.15).這些結論綜合、統一和推廣了相對模V-投射和經典Bousfield類的若干結論[4,5,6?10,17].

本文中,我們設定,p是一個素數,G是階含有因子p的有限群,k是特征為p的域,所有的模均是有限生成的.本文的記號和術語,可參見文獻[8],[15].

1 相對Bousfield類

定義1.1[8]設V是(有限生成的)kG-模,對于(有限生成的)kG-模M,若存在(有限生成的)kG-模X,使得M是張量kG-模V?X的(在模同構意義下的)直因子,則稱M是相對V-投射kG-模,或稱M是V-投射的,記為M∈P(V),其中,P(V)是全體相對V-投射kG-模的類.

注1.2(1)對于G的子群H,若V=Ind,由[15,Corollary4.3.8]知,P(V)=P(Ind)是全體相對H-投射kG-模的類;特別地,V=kG時,P(V)=P(kG)=P(Ind)是全體投射kG-模的類;

(2)對于任意kG-模V,每個投射kG-模P∈P(V),也即全體投射kG-模都是V-投射的;

(3)若pdimk(V),由[12,Corollary4.7]知,k|V?V?,此時,P(V)=mod(kG).

定義1.3設M是(有限生成的)kG-模,記

稱V為有限群G上的kG-模M的相對V-Bousfield類.

注1.4(1)顯然,V={(有限生成的)kG-模X|在StmodV(kG)中M?X=0},并且,V是StmodV(kG)的局部化滿子范疇;

(2)<0>V=mod(kG),并且對于任意kG-模M,若pdimk(V),則V=mod(kG);

(3)V=P(V),所以V恰是全體相對V-投射kG-模的類,這表明本文中關于相對Bousfield類V的結論在相對投射類P(V)情形都成立,從而本節結論涵蓋了文獻[6-10]中關于相對投射的若干相應結論;

容易驗證下面的性質1.5,證明此略.

性質1.5設M、N、U和V是kG-模;若M,U,以及N是相對V-投射kG-模,則

(1)V?V?<0>V;

(2)V=mod(kG);

(3)V=mod(kG);

(4)V=V.

性質1.6設M、N和V是kG-模,則

(1)V=V∩V;

(2)V?V∪V;

(3)V=V;

(4)V=V.

證容易驗證(1)、(2),下面證明(3)、(4).

首先,由(2)知,

是關于kG-模典范態射的可裂短正合列,這里,所以,M|Hom(M,M)?M,由此,M|M??M?M.

最后,再結合(1)知,V?V.綜合上述,(3)得證.

類似地,用(3)的證明方法可證明(4).

性質1.7設M和V是kG-模,?V(M)是M的相對Heller算子模[8],則

證 首先,注意到M～=(M?)?,再結合性質1.5(4)、性質1.6(4),容易驗證V=V.

其次,一方面,由[8,Section 2]知,?(M)|M??(k),再結合性質1.6的(1)和(2)知,V?V;另一方面,若kG-模X∈V,則?(M)?X∈P(V),由[8,Section 2]知,

所以,?(M?X)∈P(V),又由[8,Section 2]知,M?X|(?(M?X)???1(M?X))⊕S,這里,S是一個投射kG-模,由注1.2(2)知,S∈P(V),由此,M?X∈P(V),X∈V,以及V?V;V=V得證.

最后,類似地,結合[8,Proposition 3.6],用上述V=V的證明方法可以證明V=V.

性質1.8設M、U和V是kG-模;若U∈P(V),則U?V;特別地,若U|V,則U?V.

證一方面,若kG-模X∈U,則存在kG-模Y,使得M?X|U?Y;另一方面,因為U∈P(V),所以存在kG-模Z,使得U|V?Z;綜合上述,M?X|V?Z?Y,也即X∈V,由此證得,U?V.

特別地,若U|V,顯然U∈P(V),U?V也成立.

性質1.9設M、U和V是kG-模,則

(1)U⊕V?U∪V;

(2)U?V=U∩V.

證(1)由性質1.8得知,U?U⊕V,以及,V?U⊕V,所以,U⊕V?U∪V;(1)得證.

(2)一方面,若X∈U∩V,則有kG-模Y和Z,使得M?X|U?Y,M?X|V?Z,又因為,

所以,

也即,X∈U?V,這表明,U?V?U∩V,另一方面,顯然U?V∈P(U),由性質1.8得知,U?V?U,同理,U?V?V,所以,U?V?U∩V;綜合得知(2)成立.

性質1.10設M和V是kG-模,則

證首先,因為V|V??V?V,所以,V∈P(V?),結合性質1.8得知,V?V?,對稱地,可以證明,V?V?,綜上,V=V?得證.

其次,一方面,若kG-模X∈V,則存在kG-模Y,使得M?X|V?Y,又因為V|V??V?V,所以M?X|(V??V)?(V?Y),這說明,X∈V??V,由此,V?V??V;另一方面,注意到V??V∈P(V),由性質 1.8 得知,V??V?V;綜上,V=V??V得證.

再次,一方面,設V= ?0(V)⊕W,這里W是一個投射kG-模,由注1.2(2)知,W∈P(?0(V)),由此,V∈P(?0(V)),再由[8,Section 2]得知,?0(V)|?(V)???1(V),也即,?0(V)∈P(?(V)),結合性質1.8得知,V??(V);另一方面,由[8,Section 2]得知,?(V)|V??(k),由此,?(V)∈P(V),再結合性質1.8得知,?(V)?V,綜合上述,V=?(V)得證.

最后,類似地,結合[8,Proposition 3.6],用上述證明V=?(V)的方法還可以證明V=?V(M).

設M、N、U和V是kG-模,記：

性質1.11設M、N、U和V是kG-模,則

證設X∈U,Y∈V,則M?X∈P(U),N?Y∈P(V),也即,存在kG-模W1,W2,使得

所以,

也即,X?Y∈U?V,性質1.11得證.

設M、N、U和V是kG-模,記：

性質1.12設M、N、U和V是kG-模,則

證設X∈U,Y∈V,則M?X∈P(U),N?Y∈P(V),也即,存在kG-模W1,W2,使得

所以,

也即

所以

性質1.12得證.

推論1.13設M和V是kG-模,則End(V)?End(V)=V.

證由性質1.12、性質1.5(4)、性質1.6(4)和性質1.10可知推論1.13成立.

設G≥H,M和V是kG-模,記：

定理1.14設G≥H,M和V是kG-模,則

證設kG-模X∈V,則M?X∈P(V),也即,存在kG-模Y,使得M?X|V?Y,從而,

設G≥H,M和V是kH-模,記：

定理1.15設G≥H,M和V是kH-模,則

又因為由[15,Corollary 4.3.8]得知,

進一步得到,

類似地,

這說明,

定理1.16設G≥H,M、N、U和V是kG-模,若U?V,則

所以,

最后,再由定理1.14知

證由定理1.16知必要性成立,下面證明充分性.

設X∈U,則由定理1.14知,

由此,

結合[15,Theorem 5.2.1]知,

所以,

證畢.

證由推論1.17和[15,Proposition 11.3.5]知推論1.18成立.

定理1.19設G≥H,M和V是kH-模,則

證設kH-模X∈V,則M?X∈P(V),也即,存在kH-模Y,使得M?X|V?Y.

設V?Y=(M?X)⊕Z,Z是一個kH-模,那么,由[18,Proposition 3.15.2]知,存在kG-模W,使得,

所以,

2 相對Bousfield等價關系

定義2.1設V是(有限生成的)kG-模,對于(有限生成的)kG-模M和N,若V=V,則稱M與N是相對V-Bousfield等價的,記為MN.M所在的相對V-Bousfield等價類記為?M?V,(有限生成的)kG-模上的全體相對V-Bousfield等價類記為(kG)V.

注2.2(1)可以驗證,相對V-Bousfield等價關系是kG-模上的一種等價關系,并且,若M～=N,則MN,所以,相對V-Bousfield等價關系是kG-模上的一種較模同構關系弱的等價關系;

(2)設V=kG,則相對V-Bousfield等價關系恰是Bousfield等價關系～,這表明本文中關于相對V-Bousfield等價關系的結論在Bousfield等價關系情形都成立[4,5,17];

(3)每個相對V-Bousfield類V對應著一個唯一確定的相對V-Bousfield等價類?M?V,全體相對V-Bousfield等價類C(kG)V從類別上對相對穩定范疇StmodV(kG)的局部化子范疇進行分類,對局部化子范疇上的代數結構(例如,格結構)進行刻畫.

性質2.3設M、N、X、Y是kG-模;若MN、XY,則

(1)M⊕XN⊕Y;

(2)M?XN?Y.

證由性質1.6(1)易知(1)成立;容易證明(2)也成立.

性質2.4設X、M、N和V是kG-模;若MN,則

(1)XX?X;

(2)X?MX?X?N.

證由性質1.6(3)可知(1)成立,再結合性質2.3(2)可知(2)成立.

性質2.5設M和V是kG-模,則

證由性質1.7易知性質2.5成立.

推論2.6設M、N和V是kG-模,則

(1)MN當且僅當M?N?;

(2)MN當且僅當?(M)?(N);

(3)MN當且僅當?V(M)?V(N).

證由性質2.5可知推論2.6成立.

性質2.7設M、N和V是kG-模;若MN,則

證由性質1.10可知性質2.7成立.

定理2.8設G≥H,M、N和V是kG-模;若MN,則

證顯然,定理2.8是定理1.16的直接推論,可另證如下.

由此,

對稱地,可以證明,

推論2.9設G≥H,M、N和V是kG-模;若M和N是相對H-投射kG-模,則

證由推論1.17知推論2.9成立.

推論2.10設G≥H,M、N和V是kG-模;若H包含G的Sylowp-子群,則

證由推論1.18知推論2.10成立.

定理2.11設H是G的強p-嵌入子群,M、N和V是kH-模;則MN當且僅當

由[15,Theorem 5.2.1]得知,

對稱地,可以證明,

綜合上述,得知

也即,

結合定理1.14知,

由此,

對稱地,可證明,V?V,從而,V=V,則MN.充分性得證.

定理2.12設H是G的強p-嵌入子群,M、N和V是kG-模;則

證由定理2.8知必要性成立,下面證明充分性.

結合[15,Theorem 11.6.4]知,考察M的每個不可分解直因子的Green對應,可以得到,

同理可得,

綜合上述,V=V,MN,充分性得證.

定理2.13設G≥H,V是kG-模;若H包含G的Sylowp-子群，則模上的限制映射建立了從kG-模上的全體相對V-Bousfield等價類(kG)V到kH-模上的全體相對(V)-Bousfield等價類的單射對應.

證利用模上的限制映射建立從(kG)V到的映射,如下：

由推論2.10知,映射f是合理定義的,并且是從(kG)V到的單射對應.證畢.

定理2.14設H是G的強p-嵌入子群,V是kG-模;則kG-模上的全體相對VBousfield等價類(kG)V與kH-模上的全體相對(V)-Bousfield等價類一一對應,并且

證(kG)V與之間的兩個映射定義如下：

一方面,定理2.11和定理2.12說明,f和g是合理定義的;另一方面,結合定理2.12的證明細節,可以得到,

以及結合定理2.11的證明細節,可以得到,

是kG-模上的全體相對V-Bousfield等價類(kG)V,并且它們之間是一一對應的.證畢.

推論2.15設H是G的強p-嵌入子群,U是不可分解的kH-模,V是不可分解的kG-模,并且U和V互為Green對應;則kG-模上的全體相對V-Bousfield等價類(kG)V與kH-模上的全體相對U-Bousfield等價類(kG)U一一對應,并且

證由定理2.14,再結合定理2.11和定理2.12的證明細節,可知推論2.15成立.