空域色噪聲背景下雙基地MIMO雷達角度估計

師俊朋, 文方青, 艾 林, 張 弓, 龔政輝

(1. 國防科技大學電子科學與工程學院, 湖南 長沙 410073;2. 三峽大學計算機與信息學院, 湖北 宜昌 443002;3. 長江大學電子信息學院, 湖北 荊州 434200;4. 南京航空航天大學電子信息工程學院, 江蘇 南京 210016)

0 引 言

多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達技術是下一代陣列雷達系統最具潛力的發展方向之一,也是學術界和工程界的研究熱點[1]。該研究方向不僅有重大的理論和學術意義,而且具有巨大軍用價值和潛在的民用價值,其在國防、反恐與救援、遙感、交通運輸諸多領域應用前景廣闊。所謂MIMO雷達,即指雷達系統采用多根發射天線和多根接收天線的配置,且發射天線發射相互正交的波形。由于MIMO雷達采用波形分集和空間分集,能形成一個遠大于實際物理孔徑的陣列虛擬孔徑。相比相控陣雷達,MIMO雷達具備更好的反隱身、抗截獲、抗干擾等性能。一般而言,MIMO雷達可分為兩大類:分布式MIMO雷達和集中式MIMO雷達[2-3]。分布式MIMO雷達采用空間廣泛分布的收發陣元,能有效應對目標雷達截面(radar cross section,RCS)系數閃爍現象。集中式MIMO雷達采用共址天線,能夠獲得高分辨率的目標方位估計。本文主要關注雙基地MIMO雷達中角度估計問題,屬于集中式MIMO雷達范疇。

聯合波離角(direction of departure, DOD)和波達角(direction of arrival, DOA)估計是雙基地MIMO雷達目標定位的基本任務[4-6]。經過十余年的發展,己涌現一大批性能優異的角度估計算法。典型的估計策略有譜峰搜索類算法[7],基于旋轉不變技術的信號參數估計(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)類算法[8],稀疏表示類算法[9],張量分析類算法[10-11],其中,張量算法由于利用MIMO雷達數據的多維結構特性,因而往往能獲得更精確的參數估計性能。然而,上述算法良好的估計性能均是在理想高斯白噪聲的假設下獲得的。在實際工程中,由于雷達系統的復雜性、任務的多樣性及探測背景的特殊性,MIMO雷達的接收噪聲往往是非高斯的。其中,空域色噪聲是MIMO雷達中一類典型的非白高斯噪聲,在諸多場景中均會涉及。例如,考慮到賦予MIMO雷達發射波束一定的指向性(MIMO-相控陣雷達)[12],以及在一體化MIMO雷達-通信系統中[13],均需要發射非正交的波形,而非正交發射波形會導致空域有色噪聲[14]?？沼蛏肼晻е略肼晠f方差矩陣不再與單位矩陣呈比例關系,因而引起現有矩陣與張量分解算法性能惡化,甚至失效。

針對MIMO雷達中的空域色噪聲問題,目前己有一些抑噪算法。概括說來,主要有空域互協方差算法[15-18]、時域互協方差法[19-21]、協方差差分法[22-23]、高階累積量法[24]、矩陣填充法[25-26]。其中,空域互協方差法將發射陣列劃分為若干個子陣列。盡管陣列接收噪聲是空域相關的,但噪聲經過不同的匹配濾波器后會不相關,因此不同發射子陣列所對應的匹配濾波輸出的噪聲互協方差為0。然而,該方案會減小MIMO雷達的虛擬孔徑,因而在高信噪比(signal to noise ratio, SNR)時參數估計的精度會下降;時域互協方差法將陣列匹配濾波輸出在時域上劃分成若干個子陣列,其假設不同脈沖間的噪聲是非相關的,通過噪聲時域互相關特性抑制色噪聲。該方案沒有孔徑損失,但是其需要噪聲及目標RCS滿足某些特殊的要求;高階累積量法利用色噪聲的高階(如4階)累積量消除色噪聲的影響,但該方案要求目標的RCS系數服從嚴格的非高斯分布,且算法的復雜度往往較高;協方差差分法主要利用平穩色噪聲協方差矩陣的Toeplitz特性,通過構造差分變換矩陣抑制色噪聲。該方案也不存在孔徑損失,但其可辨識性會下降,且角度估計需要額外的解模糊運算;考慮到色噪聲協方差矩陣的稀疏特性,文獻[25-26]提出基于矩陣填充的色噪聲抑制框架,該方法對噪聲或者目標RCS無特殊要求,且不存在虛擬孔徑損失。該框架通過去除信號協方差矩陣中受色噪聲影響的數據抑制有色噪聲,將無噪協方差矩陣的恢復問題等效為矩陣填充問題,最后采用ESPRIT算法進行角度估計。其中,文獻[25]利用凸優化工具箱(如CVX)進行矩陣填充,文獻[26]采用奇異值閾值 (singular value thresholding, SVT)算法對MIMO雷達無噪協方差矩陣進行恢復[27]。然而,凸優化工具箱算法一般以內點法為基礎,其運算效率往往低下，而SVT對相關參數的設置較敏感，算法魯棒性較差。此外，上述算法中MIMO雷達數據的多維結構特性被忽略，參數估計的精度還有較大的提升空間。

一般來說，矢量是一個一維張量，矩陣是一個二維數組，而高于二維的數組被統稱為張量。相比矢量和矩陣分析,張量分析方法能充分利用數據內部的結構信息,因而能獲得更加精確的結果。由于MIMO雷達數據具有豐富的空-時張量結構,故使用張量分析可有效提高參數估計精度[10-11]。特別是在色噪聲背景下,使用張量分解技術能獲得更加精確的角度估計性能[17,21]。受啟發于張量填充思想[28],本文提出一種張量框架下改進的雙基地MIMO雷達色噪聲抑制方法。該方法首先構造MIMO雷達匹配濾波后的協方差張量信號模型,并通過去除協方差張量中受噪聲協方差中非零元素影響的元素對色噪聲進行抑制。然后，通過張量框架下的快速填充算法對無噪的協方差張量進行恢復。最后,利用平行因子(parallel factor,PARAFAC)分解獲得含DOD和DOA的因子矩陣,再通過最小二乘算法對DOD和DOA進行擬合。所提算法能充分利用MIMO雷達數據的張量結構,且對參數設置不敏感。相比現有算法,所提算法具有更高的估計精度和更好的魯棒性,仿真結果驗證了該方法的有效性。

1 張量基礎與信號模型

1.1 張量基礎

一個張量就是一個多維數組。本文將所涉及的張量基礎表述如下。

(1)

(2)

式中,⊙為Khatri-Rao積。

(3)

1.2 信號模型

(4)

式中,bk(τ)為目標的RCS,并假設其在一個脈沖持續時間Tp內保持不變;τ為慢時間索引;at(φk)為第k的目標的發射響應矢量,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T為發射波形矢量。陣列接收信號可表示為

(5)

其中,ar(θk)=[1,e-jπ sin θk,…,e-jπ(N-1)sin θk]T為第k的目標的接收響應矢量;w(t,τ)=[w1(t,τ),w2(t,τ),…,wN(t,τ)]T為陣列接收噪聲,本文假設噪聲滿足均值為零、協方差為C的色高斯分布,即

E{w(t1,τ)wH(t2,τ)}=Cδ(t1-t2)

(6)

(7)

則

[At⊙Ar]b(τ)+n(τ)=Ab(τ)+n(τ)

(8)

Ry=E{y(τ)yH(τ)}=Rs+Rn

(9)

其中,Rs=ARbAH為信號協方差矩陣,Rb=E{b(τ)bH(τ)}。本文假設目標RCS是非相關的,則Rb為一個對角矩陣,Rn=E{n(τ)nH(τ)}為噪聲協方差矩陣。事實上,Ry也可以表示成張量[17]的形式:

(10)

如果MIMO雷達的一個相干處理時間內包含L個脈沖,即τ=τ1,τ2,…,τL,則陣列協方差矩陣可以通過

(11)

2 所提算法

2.1 色噪聲抑制

首先分析色噪聲對噪聲協方差矩陣的具體影響。根據nm(τ)的具體形式,易知

(12)

將式(12)代入Rn,并利用性質(A?B)·(C?D)=(AC)?(BD),可得

wH(t2,τ)]H}dt1dt2=I?C

(13)

式中,I為單位矩陣。當陣列接收噪聲為空域白噪聲時,假設噪聲功率為σ2,則陣列接收噪聲為C=σ2I,此時Rn=σ2I。因此可知,白噪聲是色噪聲的一種特殊情況。由于單位矩陣不會影響信號特征分布,因而傳統子空間分解算法在高斯白噪聲的條件下有效。然而,在色噪聲的影響下,噪聲協方差矩陣不再與單位矩陣呈比例,因而子空間算法會失效。

定義Ω為Rn中非零元素的索引集合,即

Ω={(m,n)∣Rn(m,n)≠0}

(14)

(15)

(16)

(17)

式中,rank{R}表示R的秩。由于矩陣的秩是非凸的,因而上述優化是一個非確定性多項式問題。一種有效的凸松弛方法是利用矩陣的核范數約束替換上述對秩的約束,從而將上述優化問題變為

(18)

(19)

上述問題可通過凸優化工具箱如CVX或SeDuMi求解,也可以利用矩陣填充算法求解,如SVT。然而,凸優化工具箱大多基于內點法,其計算復雜度往往非常高。SVT算法計算效率高,但其對參數的設置較為敏感。此外,由于上述優化過程忽略了MIMO雷達數據的多維結構特性,因而數據恢復效果在低SNR條件下性能較差。

2.2 張量填充

(20)

并考慮通過類似于式(18)的優化過程恢復無噪信號協方差張量,即

(21)

上述張量的核范數定義為張量的模-n展開的加權和,即

(22)

(23)

上述問題是一個不可微分的凸優化問題,該問題可借助于變量分離技術進行求解。為加快算法運算速率,文獻[28]提出通過平滑上述優化問題進行求解,其優化目標函數為

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

2.3 PARAFAC分解

(29)

(30)

(31)

(32)

對于上述優化問題,一般采用交替最小二乘法。假設At,Ar和Ac中的任意二者已知,則可通過最小二乘完成對未知矩陣的估計,對At,Ar和Ac的最小二乘估計分別為

(33)

其中,(·)?表示矩陣偽逆。對At,Ar和Ac的更新采用交替迭代的方式進行,直到算法收斂。由于交替最小二乘算法對初值敏感,本文采用COMFAC算法加速算法收斂。首先將三階PARAFAC模型進行壓縮,然后再對壓縮后的低維張量進行算法迭代,最后再將獲得的解恢復到原始高維張量空間。

由PARAFAC分解的過程可知,張量分解實際上是利用矩陣分解進行的。但是傳統矩陣分解方法都是張量在某個維度展開的基礎上進行的,其只能利用張量數據某個維度的結構而忽略了張量數據其他維度的結構。使用張量分解方法具有天然張量增益[29],能夠充分利用數據的多維結構,從而獲得更加精確的分解結果。

2.4 聯合DOD和DOA估計

kAt+kAr+kAc≥2K+2

(34)

時,上述PARAFAC分解除了具有列模糊和尺度模糊,其具備唯一性。其中,kA表示A的Kruskal秩。列模糊和尺度模糊可以表示為

(35)

其中,Π是一個置換矩陣;Δ1,Δ2和Δ3為分別為對應的尺度模糊矩陣,均為對角矩陣,且Δ1Δ2Δ3=I;N1,N2和N3為誤差矩陣。

(36)

式中,phase{·}為取相位運算。易知

(37)

令ht,k和ht,k分別是ht,k和hr,k的估計值,則ct,k和cr,k可通過最小二乘法估計如下:

(38)

(39)

3 算法分析

3.1 可辨識性

M+N-1.5≥K

(40)

故所提算法最多可辨識M+N-1個目標。傳統的ESPRIT算法[8]可辨識min{(M-1)N,M(N-1)}個目標;基于空域互協方差的ESPRIT算法[16](簡記為SC-ESPRIT)和基于空域互協方差張量高階子空間分解[17](簡記為SC-HOSVD)的算法最多可辨識min{(M1-1)N,M1(N-1),(M2-1)N,M2(N-1)},其中M1和M2分別為非重疊子陣列中陣元的個數,M1+M2=M;基于時域互協方差張量高階子空間分解的算法[21](簡記為TC-HOSVD)與基于矩陣填充的ESPRIT算法[26](簡記為SVT-ESPRIT)的可辨識性與傳統ESPRIT相同。相比之下,所提算法的可辨識性可能會弱于這些算法。然而,由于所提算法能夠利用陣列信號的張量特性,因而所提算法的精度會優于這些算法,通過仿真結果可證明所提算法性能的優勢。

3.2 統計克拉美羅界

假設Rn中含有確定的未知參數q1,q2,…,qP。根據文獻[34],色噪聲背景下雙基地MIMO雷達角度估計的統計克拉美羅界為

(41)

其中,

(42)

4 仿真結果

仿真實驗1:高斯白噪聲背景下不同SNR時的RMSE比較。其中,M=8,N=8,L=500,并將α和β分別設置為0.9和100,此時Rn≈0.9I。仿真結果如圖1所示。

圖1 白噪聲背景下不同算法的RMSE隨SNR變化情況Fig.1 RMSE with SNR of different algorithms in white noise background

從圖1可以看出,所有的算法的RMSE都會隨著SNR的提高而降低。由于目標特征矢量不滿足時域互協方差算法的要求,TC-HOSVD算法性能會大打折扣。由于對參數設置敏感,SVT算法在低SNR下性能幾乎與ESPRIT一致,但高SNR下算法性能幾乎維持不變?？沼蚧f方差方法(SC-ESPRIT和SC-HOSVD)受孔徑損失的影響,性能比傳統的ESPRIT差。本文所提算法的性能和傳統PARAFAC算法相差不大,相比之下,二者性能均優于ESPRIT算法。

仿真實驗2:色噪聲背景下不同SNR時的RMSE性能比較。其中,M=8,N=8,L=500,α=0.9,β=0.01,仿真結果如圖2所示。

圖2 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨SNR變化情況Fig.2 RMSE with SNR of different algorithms in colored noise background

可以看出,在低SNR條件下(SNR≤-5 dB),所有算法性能均不理想。受色噪聲的影響,ESPRIT算法在SNR≤0 dB時無法正常工作,但采用了抑噪策略的算法的性能均會隨著SNR的増加而改善。由于抑制過程存在孔徑損失,SC-ESPRIT算法性能在高SNR條件下弱于ESPRIT算法,但在使用張量分解技術后,SC-HOSVD性能會有所改善。由于TC-HOSVD對回波系數有特殊要求,在本仿真條件下,算法會完全失效。SVT-ESPRIT算法對參數敏感,盡管其在低SNR時具有良好的估計性能,但當SNR較高(SNR≥12 dB)時性能也會比傳統的ESPRIT差。相較而言,由于能利用陣列數據的多維結構,所提算法的性能一直處于最優的狀態。此外,應該注意到,色噪聲對常規算法性能影響主要在低SNR區域,而在高SNR條件下對算法影響影響較小。因而PARAFAC算法在低SNR條件下會失效,而在高SNR時性能趨近所提算法。

仿真實驗3:色噪聲背景下算法在不同快拍數L條件下的RMSE性能比較。其中,M=8,N=8,SNR=0,α=0.9,β=0.01,仿真結果如圖3所示?？梢钥闯?ESPRIT、PARAFAC及TC-HOSVD在此場景下均會失效,而其余算法的性能都會隨著L的増加而改善。得益于張量結構的應用,所提算法的性能要優于其他比較算法。

圖3 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨快拍數變化情況Fig.3 RMSE with snapshot number of different algorithms in colored noise background

仿真實驗4:色噪聲參數β對RMSE性能的影響。其中,M=8,N=8,L=500,SNR=0,α=0.9,仿真結果如圖4所示。由于當β?1時,Rn≈αI,即噪聲退化為高斯白噪聲。而當β<1時,隨著β的減小,噪聲的空域相關性逐步變大。仿真結果表明,隨著β的増加,所有算法的RMSE均會有所改善,但當β>10時,算法的RMSE性能幾乎不再變化。另外,使用了抑噪策略的算法(除TC-HOSVD外),其性能均對β不太敏感。盡管SVT-ESPRIT算法也對β不敏感,但其RMSE曲線總和所提算法的RMSE曲線間存在一定的差距。相比較而言,所提算法的性能始終優于所有算法。

圖4 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨噪聲參數β變化情況Fig.4 RMSE with noise parameter β of different algorithms in colored noise background

仿真實驗5:色噪聲背景下發射陣元數M對RMSE性能的影響。仿真結果如圖5所示。由仿真結果可知,發射天線數目M越大,算法的RMSE性能越好。從式(13)可以看出,Rn中非零的元素的個數應該是MN2,其占協方差矩陣Rn元素總數(M2N2)的1/M,故M越大,受色噪聲影響的協方差數據就越少,從而算法性能越好。從仿真結果可以看到SVT-ESPRIT算法由于對參數敏感,其在M≥10時會失效,而其他算法均能正常運行。此外,所提算法在不同的M時均能夠保持最好的估計性能。

圖5 色噪聲背景下不同算法的RMSE隨陣元數變化情況Fig.5 RMSE with number of array elements of different algorithms in colored noise background

5 結 論

針對雙基地MIMO雷達角度估計中的有色噪聲問題,本文提出一種基于張量分析的信號處理框架。首先,構造角度估計的協方差張量模型。其次,將色噪聲抑制問題轉化為一個張量填充問題,并利用現有快速算法進行無噪數據協方差張量的恢復。然后,使用PARAFAC分解對協方差張量進行分解。最后,使用最小二乘技術完成目標DOD和DOA的聯合估計。所提算法可有效抑制空域色噪聲,不會引起陣列孔徑損失。仿真結果表明,所提算法精度高、魯棒性好。