基于相參積累的捷變頻雷達系統相位誤差估計與稀疏場景重構算法

丁 遜, 張勁東, 王 娜, 王玉瑩

(南京航空航天大學電子信息工程學院, 江蘇 南京 211106)

0 引 言

相參捷變頻雷達[1](frequency agile coherent radar,FACR)結合了捷變頻和相參體制兩大優勢,一方面利用相參體制提供的信號相位信息來提高雷達對目標的分辨能力,另一方面通過捷變頻技術快速切換雷達的工作頻率使得雷達在電子對抗中獲得優勢。目前,實現FACR接收的手段一般通過直接數字式頻率合成方法,但因其無法實現數千赫茲范圍的跳頻,為了實現大范圍的調頻避免大寬帶的干擾,改用直接頻率合成方法,然而該方法不可避免在各脈沖間產生隨機初相,即系統相位誤差,從而影響到目標回波信號的相參積累性能。如何實現對系統相位誤差、目標距離和速度引起的脈間回波相位的精確估計以及獲得良好的目標重構幅度性能,成為研究問題的關鍵。

由于FACR工作載頻處于脈間跳頻狀態時,目標回波相位不僅受到目標雷達之間距離變化的影響,還受到載頻捷變的影響,傳統的延遲對消或快速傅里葉變換的多普勒處理方法與FACR回波已不再兼容,無法提取目標的多普勒信息。因此,在FACR中,需要采用高分辨率距離-多普勒聯合處理的方式,同時提取雷達載頻和距離變化帶來的相位信息。麻省理工學院林肯實驗室研究人員提出的Stretch處理方法[2]是步進頻雷達高分辨距離成像的基本方法,其核心算法是利用逆離散傅里葉變換來實現匹配濾波的思想從而合成高分辨距離像。文獻[3]提出一種擴展的Stretch方法,通過設計高分辨距離-速度二維匹配濾波器來聯合估計FACR中高分辨距離和速度。文獻[4]提出一種基于最大似然法的目標相干積累方法用于捷變頻雷達中高速目標檢測。文獻[5]應用了Radon變換,相位補償函數,Chirp-z變換和離散傅里葉變換來完成捷變頻雷達中高速目標的相干積累。文獻[6]根據載波頻率將回波分為不同的脈沖群,然后采用keystone變換和尺度變換來消除捷變載頻和慢時間所帶來的殘余相位耦合,完成目標的相參積累。上述基于匹配濾思想的方法優點在于整個計算過程都是線性運算,計算復雜度低,計算結果也比較穩定;缺點在于存在旁瓣平臺較高,造成虛警,弱小目標被掩蓋等問題。

隨著壓縮感知(compressed sensing,CS)理論[7]的迅速發展,利用目標在捷變頻雷達高分辨距離-速度觀測場景內具有明顯的稀疏性,引入稀疏先驗信息,有望對場景進行精確重建,從而抑制匹配濾波中的旁瓣問題。文獻[8]通過挖掘場景的稀疏性,提出一種基于壓縮采樣的步進頻雷達系統,探究了基于壓縮采樣的目標距離速度聯合估計問題。文獻[9]提出并行傳輸離散隨機選擇的頻率,并用CS進行數據重建。文獻[10-11]提出兩種基于CS的步進頻率連續波探地雷達,使用一組隨機選擇的頻率來重建一維或二維稀疏目標,利用CS減少所需的頻率數,以實現精確重構。文獻[12]提出一種基于CS的隨機頻率合成孔徑雷達成像方案,利用目標的稀疏性,僅發射少量的隨機頻率就足以重建目標,在保持距離和方位分辨率的同時,提高了有效的成像范圍寬度。文獻[13]提出將高分辨率逆合成孔徑雷達(inverse synthetic aperture radar,ISAR)成像問題轉化為正交基信號的重構問題,并基于CS理論給出交叉距離分辨率的概念上界。文獻[14]提出一種新的速度估計和目標圖像重建算法用于解決隨機步進頻ISAR雷達成像中的距離擴展問題。文獻[15]提出一種捷變頻雷達的認知機制,根據觀測到的目標場景來自適應設計發射脈沖頻率,提高CS算法的性能和追求更精確的目標重構。文獻[16]提出一種相干自適應脈沖壓縮算法,以抑制隨機步進頻雷達中距離維旁瓣以及解決高速運動目標帶來的距離遷移問題。文獻[17]等人提出基于高分辨率距離像的CS算法和一種新的最小1范數運動補償準則,用于解決隨機步進頻雷達成像中的高旁瓣問題。文獻[18]提出了交互投影技術用于捷變頻雷達中高分辨率距離-速度聯合估計,和匹配濾波算法相比,該方法能準確恢復出弱小目標,避免了弱小目標被旁瓣掩蓋的問題。

針對雷達系統中存在的誤差問題,相關文獻也給出具體的研究。文獻[19]詳細探討了在正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法中目標真實參數與離散網格點之間的格點誤差問題,提出一種基于約束總體最小二乘的自適應匹配追蹤算法來自適應進行網格格點的校正。文獻[20]針對多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達系統中存在的隨機相位誤差和載頻偏差,分別提出期望最大化的稀疏成像算法和基于有界擾動的稀疏成像算法,同時針對網格失配,將基于Band-exclusion技術的改進型OMP算法引入MIMO稀疏成像,提出基于連續參數估計的稀疏成像方法。文獻[21]提出基于連續稀疏重構的成像方法用于解決稀疏重構算法在雷達成像中的基失配問題。文獻[22]提出一種用于隨機步進頻-ISAR相位補償和圖像自聚集的方法,該方法第一階段是目標徑向運動的參數化粗補償,第二階段是運動殘差和雷達系統缺陷的非參數化精補償。文獻[23]提出一種基于加權最小二乘(weighted least squares,WLS)算法的相位誤差估計方法,用于ISAR自聚焦應用,該方法在估計誤差方差最小的意義上最優。文獻[24]提出一種基于稀疏約束的ISAR方位自聚集算法,利用圖像的稀疏特征建立相位誤差下基于矩陣模型的最小1范數成像代價函數,通過數值迭代進行相位誤差自適應估計,最終獲得聚焦良好的ISAR圖像。文獻[25]從復圖像領域出發,利用最小熵準則盲解卷積原理,通過多維搜索完成相位誤差校正,同相位梯度自聚集算法相比,無需在圖像域分離出強點目標,適用于無任何明顯特征的圖像。文獻[26]基于WLS的最小方差準則,根據各個距離單元的相位方差的差異,提出一種加權最小熵的ISAR自聚集算法,權值系數的應用可以提高算法的收斂速度以及有效降低雜波和噪聲對聚焦結果的影響。

由于系統相位誤差導致FACR目標回波信號相位非相參,從而無法進行有效的相參積累,導致估計的目標散射強度精度不高。針對系統相位誤差導致的FACR信號相參積累性能下降問題,本文考慮在FACR目標回波稀疏重構模型的基礎上引入系統相位誤差作為模型誤差,通過建立最小1范數優化模型來實現對目標場景的二維稀疏表征。根據Kuhn-Tucker理論[27],即廣義拉格朗日乘子的存在定理,將原目標函數和約束條件通過乘子項結合形成新的目標函數。借鑒文獻[24]中稀疏約束自聚焦算法,對系統相位誤差與目標稀疏解進行迭代求解。然而,該方法在不同信噪比下為了平衡場景稀疏度和原始信號估計誤差精度,需要動態調整乘子項系數,以達到不等式約束中噪聲門限的約束作用。為了充分利用噪聲門限這一閾值,同時做到不同信噪比下自適應平衡求解,考慮對最小1范數優化模型進行輔助變量的引入,將不等式約束改寫成含有輔助變量的等式約束,同時將噪聲門限轉價給輔助變量。其目的在于,一方面可以將原先的優化模型變成等式約束條件下的凸優化問題,進一步轉化成無約束的增廣拉格朗日函數形式,通過懲罰項的引入,提高待估計解的求解精度和速度。另一方面在利用一般形式的交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)[28]框架進行各個類型變量的交替迭代求解過程中,對于目標稀疏解的更新可以借鑒ISAR相位自聚焦算法,但對于輔助變量的更新需要以噪聲門限為閾值進行更新,以達到不同信噪比下場景稀疏度和原始信號估計誤差精度的自適應平衡求解,相較于傳統的ADMM算法框架,該步驟的更新思路更具有工程實踐性。

1 捷變頻信號相位自聚焦稀疏重構

1.1 系統相位誤差觀測模型

假設FACR脈沖初始載頻為fc,第n個脈沖載頻為fn=fc+dnΔf,n=0,1,…,N-1,其中n為脈沖序列號,N為一個相參處理間隔(coherent processing interval, CPI)內的脈沖個數,Δf為跳頻間隔,dn為隨機整數,被稱為第n個脈沖的頻率調制碼字。則捷變頻雷達發射的第n個脈沖表示為

(1)

那么對于距離為R,沿雷達視線方向的速度為v的目標回波可以寫成:

(2)

式中，c表示光速。

在不考慮目標速度帶來包絡的位移情況下,對回波信號下變頻處理后,根據基帶信號形式,若為矩形脈沖信號則直接采樣,若為線性調頻信號則脈壓后采樣,采樣時刻選擇靠近目標最近的距離單元,即tn=2R/c+nTr,則得到目標在第n個脈沖回波信號為

(3)

式中,C(R,v)表示與目標速度和距離相關的目標后向散射幅度。

對于非全FACR而言,除了上述存在由目標的距離和速度引起的相位因子,還存在一個由于非數字跳頻導致系統相位誤差φn,滿足[0,2π)內均勻隨機分布,即

Sr(n)≈C′(R,v)exp[-j(dnp(R)+q(v)n+φn)]

(4)

式中,

(5)

考慮跟蹤情況,即目標距離和速度可以先驗獲取,但存在一定的估計誤差,無法滿足精確補償的要求。因此可以將目標區域和雜波區域進行分離,即可以忽略雜波的影響,即:

q(vl)n+φn]}+wn

(6)

將式(6)寫成如下緊湊形式:

y=EFa+w

(7)

式中,a為散射目標在距離和速度維網格點上的形成的PQ×1維散射系數向量,w為加性噪聲向量;y為目標所在的距離門參考單元觀測數據,為N×1維向量,表示為

y=[y(0),y(1),…,y(N-1)]T

(8)

將目標觀測場景距離維和速度維分別離散化為P,Q個網格格點，形成N×PQ維稀疏字典矩陣F,表示為

(9)

式中,導引矢量定義為

φl(n)=exp{-j[dnp(Rlp)+q(vlq)n]},

0≤lp≤P-1;0≤lq≤Q-1;0≤l≤PQ-1

(10)

式中,l與lp,lq的關系為:l=lp×Q+lq,lp=|l/Q|,lq=mod(l,Q)。

式中,E為N×N維系統相位誤差矩陣:

E=diag(e)

(11)

式中,e的定義為

e=[exp(jφ0),exp(jφ1),…,exp(jφN-1)]T

(12)

1.2 基于稀疏重構的優化模型

稀疏重構理論利用信號的稀疏性,通過1范數最優化問題近似完美的重構出原始信號[29-30],由于目標在距離維-速度維強散射點個數有限,因此可以用強散射點近似表示目標距離-速度分布,利用二維場景的稀疏性,通過數學建模來求解系統相位誤差,得到基于稀疏表征的目標距離-速度二維場景分布,分析式(7)觀測方程和利用a的稀疏性,建立如下最優化問題:

(13)

1.3 相位自聚焦稀疏重構算法

根據Kuhn-Tucker理論,式(13)最優化問題可以轉化為

(14)

上述目標函數包含了估計誤差精度和場景稀疏度兩種約束信息。其中,常數μ>0,用于平衡稀疏度和估計誤差精度之間的關系,作用與ε相同。

(15)

式中,an為向量a中的第n個元素;(·)*表示取共軛操作;δ>0為非常小的量。

將式(15)代入式(14)中,目標函數改寫成:

(16)

對目標函數求得a的共軛梯度函數為

(17)

式中,

(18)

共軛梯度函數的梯度代表目標函數f(a)的Hessian矩陣:

(19)

式中,

(20)

由式(19)中,等式右邊第1項為半正定矩陣,第2項為正定矩陣可知目標函數的Hessian矩陣正定,則目標函數為凸函數,對于無約束的凸函數,其穩定點,局部極小點,全局極小點三者等價。

令共軛梯度向量等于零向量,求得a的遞推表達式:

(21)

(22)

式中,

(23)

式中,[·]n表示取向量的第n個元素操作。

利用式(21)～式(23)可以得到a(t+1)以及E(t+1)的更新表示,則迭代終止條件設為

(24)

式中,ζ是設置大于零的常數門限值。當a和E的相鄰兩次估計滿足式(24)或者滿足一定的迭代次數時,停止迭代更新。ISAR相位自聚焦稀疏重構算法具體步驟如下所示。

算法 1 ISAR相位自聚焦稀疏重構算法輸入:觀測向量y,稀疏字典F輸出:稀疏向量估計a^,誤差矩陣估計E^步驟 1 記t為迭代次數,初始化t=0,初值a(0)隨機生 成,初值E(0)設為單位矩陣。步驟 2 利用共軛梯度算法更新向量a: a(t+1)=FH(E(t))HyμW(a(t))+FHF步驟 3 利用式(22)和式(23)更新E: e(t+1)=[exp(jφ(t+1)0),exp(jφ(t+1)1),…, exp(jφ(t+1)N-1)]TE(t+1)=diag(e(t+1))ì?í????步驟 4 若滿足迭代收斂條件式(25)則算法終止,否則 令t=t+1,回到步驟2,繼續循環。

2 基于ADMM的相位自聚焦稀疏重構

2.1 ADMM相位自聚焦稀疏重構算法

根據第1.3節所得到的相位自聚焦稀疏重構算法,考慮采用ADMM來實現稀疏向量a和相位誤差矩陣E的交替求解。考慮到后續推導公式的簡潔性,采用向量e進行替換,建立如下等價優化問題:

ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(25)

根據ADMM算法框架,引入輔助變量β,將其變形為

β=Fa-e*°y

ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(26)

根據式(26)寫成增廣拉格朗日函數:

(27)

記u=(λr+jλi)/ρ,則式(27)可寫成:

(28)

設a(t),e(t),β(t),u(t)為第t次ADMM迭代后取值,則更新步驟如下。

步驟 1更新a,此時e(t),β(t),u(t)可看作已知量:

(29)

(30)

一般代價函數的共軛梯度可以表示目標函數的收斂方向,求得梯度函數為

(31)

上述目標函數的Hessian矩陣與第1.3節一致,采用共軛梯度算法可求得a的解:

(32)

步驟 2更新e,此時a(t+1),β(t),u(t)可看作已知量:

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(33)

忽略常值部分,轉化為

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(34)

因為式(34)中e中N個元素為所求變量,且相互獨立,可將上述問題分解成N個子問題,記q(t)=β(t)-Fa(t+1)+u(t),則第i個子問題:

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1

(35)

(36)

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1

(37)

上述幾何意義為求k(i)滿足0≤k(i)<1,使得復平面兩個向量夾角最小,則令

(38)

其中,arg(·)表示取相位操作,則k(i)的解為

(39)

(40)

步驟 3更新β,此時a(t+1),e(t+1),u(t)看作已知量:

(41)

(42)

步驟 4更新u,此時a(t+1),e(t+1),β(t+1)看作已知量:

u(t+1)=u(t)+β(t+1)-(Fa(t+1)-e(t+1)*°y)

(43)

算法 2 基于ADMM的稀疏約束最優化相位自聚焦 算法輸入:觀測向量y,稀疏字典F輸出:稀疏向量估計a^,相位誤差向量估計e^步驟 1 記t為迭代次數,初始化t=0,給定隨機生成的初值a(0),e(0),β(0),u(0)步驟 2 利用共軛梯度算法更新向量a: a(t+1)=FH[β(t)+e(t)?y+u(t)]ρ-1W(a(t))+FHF步驟 3 利用式(39)更新向量e: e(t+1)=[e(t+1)0,e(t+1)1,…,e(t+1)N-1]T步驟 4 根據β(t+1)=Fa(t+1)-e(t+1)?y來更新β: β(t+1)= εβ(t+1)-u(t)(β(t+1)-u(t)), β(t+1)-u(t)>εβ(t+1)-u(t), 其他ì?í????步驟5 更新u: u(t+1)=u(t)+β(t+1)-(Fa(t+1)-e(t+1)?y)步驟 6 若滿足迭代收斂條件β(t+1)-β(t)2<ζ,ζ為足 夠小的正數,則算法終止,否則令t=t+1,回到 步驟2,繼續循環。

2.2 算法流程圖

ADMM相位自聚焦算法流程設計中,針對各變量間相互獨立,首先利用共軛梯度算法求解目標稀疏解向量a,接著在對系統相位誤差向量e的更新中,考慮e中各元素彼此相互獨立,進一步分解成單個元素問題的求解,進行輔助變量β的更新時以噪聲門限ε為限制約束條件,從而保證不同信噪比下場景稀疏度和原始信號估計誤差精度的平衡,重復交替迭代各個變量,直至達到算法終止條件,輸出求解向量a和e。

圖1 ADMM相位自聚焦算法流程圖Fig.1 Flow chart of ADMM phase autofocus algorithm

3 仿真結果及分析

3.1 實驗仿真及分析

本節設計仿真實驗進行驗證,在一個CPI內,FACR信號參數設置為:脈沖個數N=64,脈沖重復周期Tr=100 μs,脈沖寬度Tp=20 μs,基準載頻fc=10 GHz,跳頻個數64,脈間跳頻方式采用偽隨機遍歷,跳頻間隔Δf=16 MHz,合成帶寬B=1 GHz,假設距離-速度維的觀測場景中存在一個動目標,其距離參數R=118 m,速度參數v=10 m/s,目標的后向散射幅度A=10。相位誤差采用隨機相位誤差形式。

ADMM算法參數設置:收斂門限ζ=10-3,二次項懲罰系數ρ依據不同信噪比下進行相應合理設置。相位誤差矩陣E初值設為單位矩陣,β,a,u初值隨機生成。

圖2給出了在信噪比SNR=10 dB,系統相位誤差隨機存在時,直接相參積累和基于ADMM相位自聚焦稀疏重構的目標場景恢復對比圖。可以看出本文所提方法通過對系統相位誤差的自適應估計,實現了目標距離-速度的精確估計,同時提高了目標幅度的重構性能。由于利用目標場景的稀疏特征,顯著降低了恢復場景的旁瓣水平。

圖2 存在相位誤差時目標場景恢復對比Fig.2 Comparison of target scene restoration with phase error

圖3給出了不同信噪比下存在系統相位誤差時直接相參積累和本文所提方法對比。可以看出本文所提方法在不同信噪比下都能獲得良好的稀疏重構結果,原因在于本文方法可以根據噪聲門限進行自適應平衡場景稀疏度與原始信號估計誤差精度。同時可以看到,在不同系統相位誤差下,直接相參積累隨著相位誤差的增大,目標幅度不斷降低,而本文方法因能夠進行系統相位誤差校正,故目標幅度基本不隨系統相位誤差的變化而出現大的波動。

圖3 不同信噪比下存在相位誤差時目標重構幅度Fig.3 Target reconstruction amplitude with phase error under different signal to noise ratio

圖4給出了基于ADMM的相位自聚焦稀疏重構算法在不同信噪比下的系統相位誤差估計誤差對比。由圖 4可以看出,在信噪比一定時,該算法在不同系統相位誤差下,誤差估計精度基本不隨系統相位誤差的變化而出現大的波動。當信噪比改變時,會隨著信噪比的提高,系統相位誤差估計誤差不斷降低,即表明系統相位誤差的估計精度不斷提高,在信噪比20 dB,估計誤差在2°以內。

圖4 不同信噪比下系統相位誤差估計誤差Fig.4 Estimation error of system phase error under different signal to noise ratio

圖5給出了SNR=20 dB時,不同系統相位誤差下,本文方法與借鑒ISAR相位自聚焦算法對比圖。可以看出,在目標重構幅度性能上本文方法優于借鑒ISAR相位自聚焦算法。

圖5 本文方法與借鑒ISAR相位自聚焦方法所得目標幅度對比Fig.5 Target amplitude obtained by the proposed method compared with that obtained by ISAR phase autofocus method

圖6給出了本文方法與借鑒ISAR相位自聚焦方法收斂情況,可以看出約10次迭代后,本文方法逐漸趨于收斂,而借鑒ISAR相位自聚焦約15次迭代才趨于收斂。且相比于借鑒ISAR相位自聚焦方法,本文方法在目標重構幅度誤差上提高了10 dB左右。表1給出了兩種方法的運算時間,可以看出本文方法在計算效率上也具有優勢,運算時間減少一半。

圖6 本文方法與借鑒ISAR相位自聚焦方法收斂曲線對比Fig.6 Convergence curve of the propsed method compared with that of ISAR phase autofocus method

表1 本文方法與借鑒ISAR相位自聚焦方法運算時間對比Table 1 Calculation time of the proposed method compared with that of ISAR phase autofocus method s

3.2 實測數據驗證及分析

本部分通過實測數據以驗證本文所提方法的有效性,對某型雷達對海捷變頻數據進行處理,根據跟蹤給定的目標距離和方位截取出某些目標區域,該數據為捷變頻波形對海輻射數據,系統參數為:X波段,基帶瞬時帶寬45 MHz,捷變頻點數為8。圖7給出了對海觀測數據的處理結果圖,可以看出,采用本文方法進行相位誤差補償后,場景中各個目標的恢復效果相比于非相參積累更加明顯。圖8給出了位于第775～776個距離門上的目標積累幅度對比情況,可以看出,相位補償后的相參積累目標幅度遠高于非相參積累下的目標積累幅度,表明本文的算法能夠進行相位誤差的校正。

圖7 非相參積累和相參積累場景恢復對比圖Fig.7 Comparison of incoherent accumulation and coherent accumulation scene recovery

圖8 非相參積累和相參積累下目標積累幅度對比Fig.8 Comparison of target accumulation range under incoherent accumulation and coherent accumulation

4 結 論

本文針對捷變頻相參雷達系統相位誤差導致回波信號相參積累性能下降問題,結合相位自聚焦與ADMM算法,提出了一種系統相位誤差校正與目標場景稀疏重構聯合處理算法。建立了系統相位誤差和目標稀疏解相互獨立的最小1范數稀疏重構優化模型,利用所提出的算法實現了系統相位誤差和目標參數的精確估計。仿真結果表明,該算法在信噪比為20 dB的情況下,系統相位誤差估計誤差在2°以內,且相比于相位自聚焦稀疏重構算法,目標的重構幅度均方差可以提高10 dB,運算時間減少一半。最后通過實測數據驗證了本文方法的有效性。