利用動態(tài)圓求解粒子在電磁場中的運動問題

李開瑋

（廣東理工學(xué)院工業(yè)自動化系，廣東 肇慶 526100）

電荷在電磁場中運動時，常常考察不同速度的粒子流在有限區(qū)域邊界中的運動軌跡，求解的問題一般有以下幾類：1）運動時間最值；2）離開邊界時出射點符合一定條件的粒子問題；3）粒子獲得動能最值。該類問題屬于動態(tài)問題，情景比較復(fù)雜，筆者在研究時發(fā)現(xiàn)許多情況下，利用動態(tài)圓能夠描繪出隨參數(shù)條件變化的動態(tài)軌跡圖像，觀察到問題的臨界情形，對解題提供一個很好的突破口[1-4]。接下來將以幾道真題的解析來討論動態(tài)圓的運用技巧，給學(xué)生在思考該類問題時提供一些思路和啟發(fā)。

1 真題研究

1）例1（2020 年全國Ⅰ卷18 題）一勻強磁場磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖1 中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為（ ）。

圖1 例1 示意圖

圖2 隨著半徑變化，粒子不同運動軌跡

圖3 出射點在半圓上時的動態(tài)圓示意圖

若沒有考慮到動態(tài)圓中相切的情形，可以采用常規(guī)的代數(shù)方法求解，如圖4所示，連接半圓圓心與出射點，根據(jù)三角形余弦定理有：

由式（2）得，當r=R時，φ取最大值π/3，此時圓心角最大。

圖4 代數(shù)法求解示意圖

2）例2（某省高考模擬題）如圖5 所示，一平行板電容器水平放置，在其兩極板中央分別開了一條上下正對的直狹縫，以上極板的狹縫所在直線為x軸，豎直向上為y軸建立一豎直平面內(nèi)的直角坐標系，質(zhì)量為m，電量為-q的粒子流從下極板的狹縫沿豎直向上方向進入電容器，粒子速率各不相等，粒子經(jīng)過電容器的兩個狹縫后進入第一象限，在第一象限內(nèi)，某一片區(qū)域有垂直紙面向里的勻強磁場B，點為磁場邊界上的一點。電容器上板比下板電勢高，電勢差為U，忽略粒子的重力及粒子間相互作用，且。

圖5 例2 示意圖

①若某粒子進入下極板時初速度大小為v0，則當此粒子進入磁場區(qū)域后，作圓周運動的半徑為多少？

③為滿足第②問中的粒子運動情況，第一象限內(nèi)的磁場面積至少是多大？

解析：①該問比較簡單，做法常規(guī)，粒子在離開電容器時速度為v，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化關(guān)系：

粒子在磁場中受洛倫茲力作用，作圓周運動：

由式（3）、式（4）可得圓周運動半徑為：

②根據(jù)洛倫茲力方向，粒子進入磁場區(qū)域向右偏轉(zhuǎn)，部分粒子能到達P點，且過P時速度斜向右上方與豎直方向夾角60o，根據(jù)圓的幾何特點，過P點作垂線垂直于速度方向，同時粒子進入磁場時速度方向為豎直向上，也作垂線垂直于入射速度方向，圓的半徑應(yīng)處處相等，根據(jù)這些特點作出粒子運動軌跡，如圖6 所示，E點應(yīng)為軌跡圓心，根據(jù)幾何關(guān)系，DE 為水平方向，應(yīng)為等邊三角形，因此有：

圖6 能到達P 點粒子運動軌跡

由式（5）、式（6）可得：

③根據(jù)第②問中能到達P點粒子運動軌跡圖像，作出不同橫坐標x處入射的粒子運動軌跡圖，如圖7 所示，當v0=0 時，圓周運動半徑最小，入射點橫坐標最大，即點A，入射點橫坐標最小為x=0，即點B，O1A 與O2B 均為水平方向均為等邊三角形，因此B、A、P 三點共線，故磁場的邊界為BA、，根據(jù)式（5）、式（6），粒子運動的最小半徑R1，最大半徑R2分別為：

根據(jù)圖7中幾何知識可得，磁場區(qū)域最小面積為：

由式（8）、式（9）得：

圖7 不同位置入射粒子在磁場區(qū)域軌跡示意圖

2 結(jié)語

本文通過兩道真題解析，講述了動態(tài)圓在解帶電粒子在電磁場中運動問題的技巧，有助于提高學(xué)生作圖，利用幾何圖像得到臨界條件的能力，加強學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合處理問題的思維。