三角函數的六邊形關系在不定積分中的應用

師光華 季澤儀

【摘要】 三角函數六邊形給出了三角函數間的一些重要關系，易于記憶，便于使用.本文研究三角函數的六邊形關系在不定積分中的應用，為初學高等數學的學生提供一套有效的處理不定積分問題的解題思路，幫助學生較好地理解和運用三角換元法.

【關鍵詞】不定積分;三角函數;三角換元法;反三角函數

【基金項目】江蘇省自然科學基金（BK20190874）

1 引言

在高等數學的學習中，積分的三角換元法是一個重點和難點，關于三角函數的公式也最為豐富.對于初學高等數學的學生而言，正確使用三角換元法求解積分問題是比較困難的.三角函數公式的六邊形記憶法將六個三角函數之間的常用關系通過圖形清晰地展示了出來，本文研究三角函數六邊形關系在求解不定積分中的應用，以及從新的角度處理不定積分的三角換元法，以期給學生提供一種行之有效的解題思路.

2 三角函數六邊形公式

2.1 三角函數六邊形

如圖為三角函數六邊形，六個三角函數的位置依次如圖所示，利用該圖形能更好地記憶三角函數公式.

三角函數六邊形

2.1.1 三角函數六邊形所包含的公式

（?。┤呛瘮盗呅蔚膶蔷€互為倒數，即：

sin xcsc x=1， cos xsec x=1， tan xcot x=1.

（ⅱ）六邊形里每個倒三角形（陰影部分）底端函數的平方等于兩肩上函數平方的和，即：

sin2x+cos? 2x=1， tan2x+1=sec2x， 1+cot2x=csc2x.

（ⅲ）三角函數六邊形上任何一點對應的函數等于相鄰兩點對應函數的乘積，即：

sin x=tan xcos x， cos x=sin xcot x， tan x=sin xsec x，

cot x=cos xcsc x， sec x=tan xcsc x， csc x=cot xsec x.

2.1.2 三角函數六邊形公式的記憶口訣

（?。蔷€倒數，（ⅱ） 倒三角平方和，（ⅲ） 鄰點積.

此外，六邊形中還蘊含了三角函數的求導法則.

（ⅳ）求導規則記憶口訣：左正右負，上互反，中下方，下中下.

其代表的含義為：位于六邊形左邊的三個三角函數的導數符號是正的，而位于六邊形右邊的三個三角函數的導數符號是負的.在此基礎上，六邊形上面兩個三角函數的導數是互反的，即（sin x）′=cos x，（cos x）′=-sin x;六邊形中間的兩個三角函數的導數是下方三角函數的平方，即（tan x）′=sec2x，（cot x）′=-csc2x;六邊形下方的兩個三角函數的導數為中間三角函數與下方三角函數的乘積，即（sec x）′=tan xsec x，（csc x）′=-cot xcsc x.

學生可根據三角函數六邊形的圖形和上述記憶口訣快速理解并記憶一系列三角函數公式.在做題的過程中，學生可簡單畫出該六邊形或三個倒三角形，并將中間的交叉點看作1，即可快速、方便地使用此套公式.根據教學經驗，六邊形中包含了高等數學所需的關于三角函數的部分最常用公式.

2.2 運用三角函數六邊形求解不定積分

對于被積函數中含有a2-x2， a2+x2，以及x2-a2的積分問題，我們可以使用三角換元法.一般教材中直接給出了換元規律：

（ⅰ）被積函數中含有a2-x2，可作代換x=asin t或x=acos t;

（ⅱ）被積函數中含有a2+x2，可作代換x=atan t或x=acot t;

（ⅲ）被積函數中含有x2-a2，可作代換x=asec t或x=acsc t.

但是學生很難記住這些規律.針對這類問題，我們通過如下幾類典型例題給出新的解題思路，幫助學生更好地理解上述換元規律，并在解題過程中為學生提供一套行之有效的處理方式.

例1 求∫1x2+a2dx（a>0）.

我們首先觀察一下該不定積分，其求解困難在于對無理式a2+x2的處理，我們需要想辦法去除根號，這就要求根號下的式子可以通過換元法寫成某一函數的平方式的形式.為此，我們將a理解為1，根據三角函數六邊形中倒三角形所蘊含的公式進行處理.通過觀察，我們使用公式tan2t+1=sec2t進行換元：令x=atan t-π2

令x=atan t，則dx=asec2tdt，x2+a2=a2tan2t+a2=asec t，因此

∫1x2+a2dx=∫asec2tasec tdt=∫sec tdt=ln（sec t+tan t）+C′.

接下來我們需要進行變量回代.一般的做法是根據邊角關系和勾股定理建立一個直角三角形模型，從而確定三角函數的回代關系式.此方法可以培養學生的數形結合能力，但不利于操作.在此，我們給出一種更加簡便的方法，直接利用三角函數六邊形中的關系進行轉換.首先，已知tan t=xa， 為了確定sec t，我們運用六邊形中左下角的倒三角形所蘊含的公式：tan2t+1=sec2t，得到sec t=tan2t+1=x2+a2a， 因此

∫1x2+a2dx=lnx2+a2a+xa+C′

=ln（x2+a2+x）+C.

例2 求∫a2-x2dx（a>0）.

我們需要處理無理式a2-x2， 這就要求根號下的式子可以通過換元寫成某一函數的平方式的形式，從而去除根號.為此，我們將a理解為1，根據三角函數六邊形中的關系式，我們采用上方倒三角形所蘊含的公式，即1-sin2x=cos 2x.令x=asin t -π2

于是，

∫a2-x2dx=∫acos t·acos tdt=a2∫1+cos 2t2dt

=a22t+12sin 2t+C.

為了將sin 2t轉化為關于x的函數，我們可以根據六邊形上方的倒三角形所蘊含的公式，即cos t=1-sin2t，得

sin 2t=2sin tcos t=2·xa·1-xa2，

因此

∫a2-x2dx=a22arcsin xa+x2a2-x2+C.

例3 求∫1x2-a2dx（a>0）.

該問題中，被積函數含有根式x2-a2，其解題難點依舊是無理式的處理，所以我們要想辦法去除根號，此時就需要進行換元.只有根號下的式子構成某一函數的平方式時，才能去掉根號.根據三角函數六邊形公式的規律（ⅱ），我們可以運用左下倒三角形中蘊含的公式：tan2t+1=sec2t，經過移項得到tan2t=sec2t-1.因此，我們自然想到令x=asec t0

令x=asec t， 則dx=d（asec t）=atan tsec tdt，x2-a2=a2sec2t-a2=atan t，因此

∫1x2-a2dx=∫sec tdt=ln（sec t+tan t）+C′.

注意，上述過程中的求導或求微分的公式亦可從六邊形公式記憶口訣（ⅳ）中快速獲得.接下來我們進行變量回代.由x=asec t，得sec t=xa，再根據tan2t+1=sec2t得

tan t=sec2t-1=xa2-1=x2-a2a，

因此，

∫1x2-a2dx=lnxa+x2-a2a+C′=ln（x+x2-a2）+C.

通過三角函數六邊形公式和記憶口訣，學生可以很快地確定正確的三角換元關系，并在做題過程中輕松應對各種公式變形問題，從而高效地解決不定積分或定積分問題.在高等數學的教學過程中，三角函數六邊形公式是學生最喜歡的數學公式模型之一.

【參考文獻】

[1]俞詩秋.三角函數雙曲函數及其導數積分公式的六邊形記憶法[J].中南民族大學學報（自然科學版），2000（19）：17-19.

[2]劉金林，蔣國強.高等數學[M].北京：機械工業出版社，2014.