“對數函數”教學探微

王雅倩 湯強

【摘要】在簡單比較中國《普通高中數學課程標準》和日本《高等學校數學學習指導要領》中對數函數教學要求的基礎上，選取我國普通高中課程標準實驗教科書A版數學必修1和日本高等學校數學課用新編數學Ⅱ中有關“對數函數”的內容，對其內容結構、內容設置等方面進行深入比較研究，并對中國高中數學教科書的編制提出了一些合理化的建議.

【關鍵詞】中國;日本;高中數學教科書;對數函數

1 教學要求的比較

中日高中數學對數函數教學要求的比較

在對數函數教學要求上，《普通高中數學課程標準》中要求得比較詳細.《普通高中數學課程標準》要求在引入時注重從實際背景出發，構造函數模型來進行對數函數概念的教學.在探究對數函數圖像及其性質時，可以借助計算機工具來畫出對數函數的圖像，從而加深學生對對數函數及其圖像的理解.我國的教學還明確要求掌握反函數的概念.日本在《高等學校數學學習指導要領》中對對數函數的教學要求寫得比較簡練，把教學要求的重點放在掌握對數函數的概念和對數計算上，也要理解函數圖像及其性質，并能靈活運用.

2 內容結構的比較

中國普通高中課程標準實驗教科書A版數學必修1和日本高等學校數學課用新編數學Ⅱ中有關“對數函數”的內容存在一定的差異，包括掌握要求與內容安排.

2.1 掌握要求

中國教科書中的“對數函數”位于高中數學人教A版必修1第二章第二節第二課時，屬于高中數學必修內容，這是我國高中生必須掌握的基本初等函數，學生沒有選擇的余地;日本教科書中的“對數函數”位于高中數學Ⅱ第五章第二節第三課時，屬于高中數學選修內容（在數學6個科目中，除了數學Ⅰ以外都是選修內容），學生有選擇學習的余地.

2.2 內容安排

中日兩國教科書在對數函數內容的安排上大致都是先通過介紹對數函數，然后由特殊到一般，歸納總結出對數函數的圖像及其性質，最后對其內容進行實際的應用.但是，在內容的選取上，兩國教科書仍然存在著一定的差異.

3 內容設置的比較

在這兩種教科書中，這一節內容的設置都由對數函數的定義、對數函數圖像及性質、反函數這三部分組成，但在內容設置上仍存在著一定的差異.

3.1 定義的引入

3.1.1 中國對數函數的引入

中國必修1中對數函數的引入是通過利用學生已經掌握了的對數的概念與函數概念的知識，讓學生利用函數的概念來判斷對于每一個碳14含量P，通過對應關系t=log573012P，是否都有唯一確定的生物死亡年數t與之對應，從而得出對數函數的概念.這樣從對數過渡到對數函數的方式很自然，學生不僅容易接受，也符合學生的認知規律，也與現代認知主義理論，建構主義思想相一致.這樣的情境創設是從對數函數的形式出發，幫助學生掌握對數函數的形式，從而有利于幫助學生判斷一個函數是否為對數函數.

3.1.2 日本對數函數的引入

日本數學Ⅱ中對數函數的引入沒有情景的設置，而是直接給出了對數函數的定義.這樣的引入方式是基于學生在學習對數與對數運算內容時，已經熟練掌握了對數式的形式，因此，學生學習此節內容并不是很困難，應該能夠輕松掌握對數函數的形式，然后從對數函數的形式出發得出對數函數的概念.但是，從學生認知發展的過程看，中國必修1中對數函數的引入方式比較恰當，比較符合學生的認知發展規律.

3.2 函數圖像及其性質

中國必修1和日本數學Ⅱ這兩種教科書都是先通過研究y=log2x和y=log12x，y=log13x的圖像及其性質，然后再從特殊到一般，歸納總結出對數函數的圖像及其性質.不過，這兩種教科書在細節內容上的設置仍然存在著一定的差異.

3.2.1 函數圖像及其性質的探究

在中國必修1中，教師先讓同學們運用列表、描點、連線的方法在同一個直角坐標系中畫出y=log2x和log12x的函數圖像，然后讓學生運用相同的方法畫出log13x的圖像.讓學生親自動手作圖不僅可以培養學生的動手操作能力，而且對深刻理解對數函數的圖像及其性質有著一定的促進作用.教師還可以充分利用信息技術，讓學生隨意地取a的值，并在同一個坐標系中畫出它們的圖像.學生可以通過觀察對數函數的圖像，從特殊到一般，歸納總結出對數函數的性質，并順理成章地討論底數.在數學必修1中還把y=log12x，y=log2x這兩個函數圖像放在同一個直角坐標系中，發現其函數圖像關于x軸對稱，強調其對稱性.

在日本數學Ⅱ中，也是先讓同學們根據y=log2x的對應表值畫出其函數圖像，再讓同學們自己動手操作畫出log12x的函數圖像，從而歸納總結出對數函數的圖像及其性質.但在日本數學Ⅱ中，沒有討論對數函數y=log2x和y=log12x的對稱性，反而重點討論了y=log2x和y=2x關于函數y=x對稱，從而為學習反函數做鋪墊.

3.2.2 函數圖像及其性質的總結

在中國數學必修1和日本數學Ⅱ兩種教科書中給出的對數函數圖像相同，都分為了01兩種情況.對數函數性質都有三條，但在內容與表述方法上也有一定的差異.在中國必修1中，對數函數的定義域通過正實數域（0，+∞），值域是通過實數集R來表示.而在日本數學Ⅱ中，對數函數的定義域和值域都是通過文字直接表述出來的，沒有體現出數學符號的簡便性.在表述對數函數單調性時，中國必修1直接給出了兩種情況下的單調性;日本數學Ⅱ則利用不等式非常形象、直觀地表明了對數函數的單調性.

3.3 例題的選取

中國必修1和日本數學Ⅱ中的對數函數都設置了比較大小的題目，其主要目的是想幫助學生靈活運用對數函數的單調性來比較對數的大小.其不同點在于中國必修1中的例題每組給出的數據只有兩個，而日本數學Ⅱ中的例題每組給出的數據有三個，給出三組數據更容易幫助學生發現每組數據的規律，從而能靈活運用對數函數的單調性來進行比較，也體現出了日本教科書更加注重學生學習的自豪感和成就感.

3.4 反函數

中日兩種教科書在對數函數這一節內容中都對y=logax（a>0且a≠1）與y=ax（a>0且a≠1）互為反函數進行了一定的介紹，但在內容設置上也存在著一定的差異.

3.4.1 中國反函數的內容設置

中國必修1教科書對反函數內容的介紹放在本節內容的最后，把對數函數及其性質探究完后再進行反函數的學習.反函數的內容所占篇幅很少，教科書中逐漸縮減反函數所占的比重.教師通過探究指數函數與對數函數的關系，歸納出反函數的概念;通過指數函數圖像與對數函數圖像的關系，總結出互為反函數圖像間的關系是關于直線y=x對稱的，讓學生體會從特殊到一般的思維過程，加深對指數函數和對數函數的理解.介紹完反函數之后，教科書中也沒有安排例題來幫助學生進一步加深理解反函數.

3.4.2 日本反函數的內容設置

日本數學Ⅱ教科書對反函數內容的介紹放在畫出對數函數y=log2x圖像之后.在通過列表、描點、連線的方法畫出對數函數之后，在同一個直角坐標系中畫出函數y=2x的圖像.通過觀察對數函數與指數函數的圖像，歸納總結出反函數的概念和互為反函數圖像間的關系是關于直線y=x對稱的.在日本教科書中還畫出了當a>1和0

總之，日本的教學要求中雖然沒有明確提出掌握反函數，但在教科書中反函數所占比例較大，在探究對數函數圖像時就給出了反函數的概念，總結出了反函數的性質.

4 小 結

通過對中日高中教科書對數函數內容進行比較，我得出了一些結論與啟示，并對中國高中數學教材中有關對數函數這一節內容的編制提出一些建議.

4.1 內容結構上，教科書應更注重基礎

日本教科書在對數函數圖像內容講解時，插入了很多圖片供學生直觀觀察，從而有利于學生更輕松地掌握對數的性質，這正是值得我們借鑒的;在對數函數性質的表述中，日本教科書把有些數學關系符號化是很關鍵的，這樣的符號能夠形象地描述比較復雜的數學關系，能夠幫助學生更好地理解記憶.

4.2 內容設置上，教科書應更注重知識銜接

在學習對數函數時，教師要注意把對數函數與指數函數、不等式、方程聯系起來，幫助學生形成更好的學習網.把學習的知識全部串聯起來，更加深刻地理解所學內容.教師將這種串聯起來的內容設置為例題進行講解，也可以設置為課后習題供學生自主研究.

4.3 習題設置上，教科書應更注重能力培養

習題的設置也不能只是基礎知識的簡單重復，也應該設置一些富有綜合性、挑戰性、新穎性的題目來培養學生的數學思維，提高學生的數學能力.習題內容的選擇可以是數學內容的補充或延伸，但也應該考慮到學生的認知水平和掌握知識的能力，其目的是激發學生的學習興趣和開發學生的發散思維.習題內容的選擇也可以是下一節所學內容的鋪墊，從而幫助學生更輕松地進入下一節內容的學習.

【參考文獻】

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