井眼軌跡單根控制的新計算方法

魯港 鐘曉明 李勝中 來建強

1.北京四利通控制技術股份有限公司；2.中石化西南石油工程公司裝備處；3.中國石化中原石油工程公司裝備處

井眼軌跡控制是定向鉆井中的重要任務，在進行井眼軌跡控制方案設計時，通常是從當前井底的井斜角和方位角出發，鉆進ΔL進尺之后，井斜角和方位角達到預定值，這其中要確定未知的井眼曲率或工具面角［1-2］，使用空間圓弧模型可以比較方便地計算出設計方案參數。定向井工程師在現場進行軌跡控制時，是根據鉆具組合造斜能力，先復合鉆進某些進尺，再滑動鉆進至預定的井斜角和方位角；或者先滑動鉆進至預定的井斜角和方位角，再使用復合鉆進方式完成一個單根的剩余進尺。在這一過程中，需要確定的施工參數是滑動鉆進的工具面角以及復合和滑動進尺各是多少。韓志勇［3-4］教授建議在圓弧型設計軌道控制時，使用恒裝置角曲線模式。

筆者根據現場定向井工程師的思路，給出了井眼軌跡單根控制設計方案的計算方法。約定本文計算公式中，凡是具有長度量綱的參數，其物理單位皆為m；角度參數的物理單位皆為弧度(rad)；井眼曲率的單位為rad/m。在算例中轉化為工程單位：角度單位為°，井眼曲率單位為(°)/30 m。

1 恒工具面角模型

在滑動鉆進時，鉆具組合是給定的，鉆具組合造斜能力和工具面角基本上保持不變，因此用恒工具面角模型來描述滑動鉆進所形成的井眼軌跡比空間圓弧模型更恰當一些，因為在空間圓弧模型中，工具面角是隨井深而變化的，而恒工具面角模型［1-4］是滿足“井眼曲率和工具面角恒定”的曲線。

井斜角變化規律為

方位角變化規律為

式中，ω為工具面角，κ為井眼曲率， ΔL為井深增量，α和 α0分別為井眼軌跡上任意井深和初始井深處的井斜角，φ 和 φ0分別為井眼軌跡上任意井深和初始井深處的方位角。

定義

根據洛必達法則［5］可知：將式(1)代入式(2)，可將方位角變化規律簡寫為

記ΔN=N-N0、ΔE=E-E0、ΔH=H-H0分別為北坐標增量、東坐標增量和垂深增量，則當α =α0時，

當α ≠α0時，

式(8)、式(9)中的積分需要使用數值積分公式［5］來計算，例如Simpson數值積分公式，但是計算量比較大。方敏等［6］使用冪級數展開技巧給出了一種計算量較小的新方法。

2 單根控制方案設計

假設鉆具組合造斜率 κh是已知的，單根長度為ΔLg，復合鉆進進尺為ΔL1， 滑動鉆進進尺為 ΔL2、工具面角為 ω2，滑動鉆進形成的井眼軌跡為恒工具面角曲線，則成立以下方程組

式中， αA和 φA分 別為當前井底的井斜角和方位角，αB和 φB分別為預定鉆達的井斜角和方位角。

在方程組(11)，有3個未知數 ΔL1、 ΔL2、 ω2，只要任給一個 ΔL1值 ，就可以確定出ΔL2值，再從后2個方程確定出工具面角ω2。從方程組(11)可得

工具面角的定義范圍是 0≤ω2＜2π。在工程上常常使用-180°≤ ω2＜180°，故本文公式中約定-π≤ω2＜π。

由于三角函數的周期性，單獨從式(11)的第1式或第2式并不能唯一確定角度 ω2，參見圖1，正確的計算公式是：

(1)當s2+c2≠1時無解；

(2)當|s|≤1并 且|c|≤1時：

需要注意的是，如果已知參數給定的不合適，可能求不出滑動鉆進的工具面角 ω2。 ΔL1必須滿足的約束條件為

其中，δL=0.5 m。

圖1 工具面角的變化范圍Fig.1 Variation range of tool face angle

3 方案設計優選

由于適當給定復合進尺 ΔL1就可以求出滑動鉆進工具面角 ω2、使得單根結束時的井斜角和方位角達到預定值，這說明控制方案可以有很多種。這么多種設計方案中，必有一種設計方案是最佳的。

在做設計方案時，除了知道要控制的井斜角αB和 方位角 φB之外，實際上還知道目標點(B)的NEH坐標 (NB,EB,HB)。不同的設計方案結束點的NEH坐標是不同的，它與目標點(B)的距離也是不同的，認為這個距離達到最小時的設計方案是最佳的。

設井底(A)的NEH坐標為 (NA,EA,HA)，復合鉆進結束時的NEH坐標為 (N1,E1,H1)，滑動鉆進結束時的NEH坐標為(N2,E2,H2)，ΔN2、ΔE2、ΔH2由式(5)～(7)或者式(8)～(10)來計算，則有：

滑動鉆進結束點與目標點B的距離為

改變段長 ΔL1，如果距離達到最小值，則是最佳方案，此時的 ΔL1、 ΔL2、 ω2即為最佳控制參數。圖2給出了某算例距離隨 ΔL1變 化的曲線，可見當 ΔL1增加時，距離逐漸減小，達到最小值后又逐漸增大；距離曲線的幾何特征是(單峰)下凸連續曲線，故可使用二分法求最小值點，下面給出兩種數值算法。

圖2 滑動鉆進結束點與目標點的距離隨復合鉆進進尺的變化Fig.2 Variation of the distance from the target point with the compound drilling footage

3.1 算法一

給定復合進尺分辨率dL=0.01 m，在 ΔL1的允許取值區間(式(14))中取等間距點

如果單根長度 ΔLg≈10 m，則算法一至多需要1 000次計算就可以求出最佳控制參數的近似值，誤差至多為1 0-2，這對于工程應用來說，近似值已經足夠準確，但是缺點是計算量比較大。

3.2 算法二

簡記Y={ΔL1,ω2,d}，稱之為一個計算點。給定復合進 尺 精度 dL=10-m和 距 離 精度 ε=10-p，其中m≥2、p≥4,均為正整數。

(0)初始：令

分別計算滑動鉆進結束點與目標點B的距離，相應的計算點記為Y[1]、Y[3]、Y[3]。

如果d[m]=min{d[1],d[2],d[3]}≤ε， 則計算點Y[m]記為最小值點，結束。

(2)判斷：如果d[m]=min{d[a],d[2],d[b]}≤ε，則計算點Y[m]為最小值點，循環結束。

(3)選擇：當d[a]≤d[1]且d[a]≤d[2]， 稱1 /a/2是一個下凸構型；當d[b]≤d[2]且d[b]≤d[3]， 稱2 /b/3是一個下凸構型。

如果 1/a/2 和 2/b/3都 是下凸構型，則：當d[a]≤d[b]時 ，令Y[3]=Y[2]、Y[2]=Y[a]， 轉(1)；當d[a]＞d[b]時，令Y[1]=Y[2]、Y[2]=Y[b]， 轉(1)。如果只有1 /a/2是下凸構型，則令Y[3]=Y[2]、Y[2]=Y[a]， 轉(1)。如果只有2/b/3是下凸構型，則令Y[1]=Y[2]、Y[2]=Y[b]，轉(1)。否則令Y[1]=Y[a]、Y[3]=Y[b]，轉(1)。

由于復合進尺區間每次循環后都縮小1/2，故至多計算M次就可以求出近似最小值點。

取 δL=0.5 m， ΔL1max= 9.5 m， dL=10-6m，則M≈23，這個次數比算法一的1 000次減少50多倍。

4 算例

4.1 算例1

為檢驗算法二的性能，制作一個算例。設計鉆具組合造斜能力 κh=7.87(°)/30 m，單根長度ΔLg=10 m，復合鉆進長度 ΔL1=3 m，滑動鉆進長度ΔL2=7 m，工具面角 ω2=6 0°，井底井斜角 αA=30°、方位角φA=120°，使用這些數據計算出來的單根結束時的井斜角、方位角、坐標增量見表1，其中實數至多保留小數點后8位有效數字是為了考察算法二的性能。算法二的精度參數取 dL=ε=10-10。其求解結果為： ω2=6 0.000 000 012 7°， ΔL1=2.999 999 997 3，ΔL2=7.000 000 002 7，d=9.263×10-11，其他計算結果見表2。求解結果表明，算法二非常正確地求出了最佳設計參數。

4.2 算例2

現場計算中，數據一般只能保證小數點后2位有效數字。將表1中數據保留小數點后2位有效數字，見表3。算法二的求解結果為： ω2=60.277 1°，ΔL1=2.926 7， ΔL2=7.073 3，d=0.001 85，其他計算結果見表4。求解結果表明，算法二求出的最佳設計參數與制作算例時使用的參數非常接近。

表1 算例1的已知數據Table 1 Known data of example 1

表2 算例1的計算結果Table 2 Calculation result of example 1

表3 算例2的已知數據Table 3 Known data of example 2

表4 算例2的計算結果Table 4 Calculation result of example 2

4.3 算例3

待鉆井眼軌設計數據的井身點的數據見表5，由于井眼軌道設計使用的是最小曲率法(空間圓弧模型)，工具面角在設計井段上不是常數，表中的11.97°是設計井段開始點的工具面角，11.37°是結束點的工具面角。使用“復合+滑動”鉆進方式進行施工參數優化設計，鉆具組合造斜能力κh=7.87(°)/30 m，使用算法二求得： ω2=19.352 1°，ΔL1=2.970 0， ΔL2=7.029 97，d=0.029 9，井身參數計算結果見表6。

表5 算例3的已知數據Table 5 Known data of example 3

表6 算例3的計算結果Table 6 Calculation result of example 3

5 結論

(1)對于現場單根控制問題，用“線段+恒工具面曲線”建立了“復合+滑動”鉆進數學模型，給出了使用正弦值和余弦值計算工具面角的正確公式。

(2)對于單根控制設計的求解，使用最優化思想給出了兩個數值算法，尤其是算法二的計算量很小，滿足實時控制的要求。

(3)使用理論模型算例和實際鉆井數據對算法進行了大量驗證，結果表明，在理論模型算例的情形，算法二能夠無限精確地反求出理論模型參數；在實際鉆井數據的情形，算法二也能比較精確地求出控制參數。

(4)本文是針對現場定向井工程師研制的數學模型和求解算法，既可以適用于現場定向井工程師用于單根鉆進時進行施工參數設計，也可以適用于電控系統的實時反饋控制。