基于能量法分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性

孫琪凱， 張 楠， 劉 瀟， 陶曉燕， 鄭 宇， 霍明宇

(1. 北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044； 2. 高速鐵路軌道技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081； 3. 中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081)

近幾年來，隨著我國鐵路事業(yè)的發(fā)展，鋼-混組合梁以其自重輕、承載力高的特點(diǎn)而備受關(guān)注。鋼-混組合梁由處于受壓區(qū)的混凝土板和受拉區(qū)的鋼梁兩部分組成，其間通過剪力鍵來傳遞剪力[1]。在實(shí)際工程應(yīng)用中，一般鋼-混組合梁的梁端剪力鍵布置較密集，而跨中較稀疏[2]；再者，鋼梁截面沿梁長可能是變化的。從而造成剛-混組合梁的抗彎剛度沿梁長是變化的，這種梁型可被稱為考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁。

由于鋼-混組合梁間的剪力鍵是柔性的，使得混凝土板和鋼梁之間會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑移。在分析鋼-混組合梁動(dòng)力特性時(shí)，必須考慮相對(duì)滑移造成的影響[3-4]。鋼-混組合梁動(dòng)力特性的研究已比較常見，基于Euler-Bernoulli梁理論，侯忠明等[5-6]采用直接平衡法推導(dǎo)了考慮界面相對(duì)滑移的鋼-混組合梁自振特性解析解，并在此基礎(chǔ)上提出了動(dòng)力剛度折減系數(shù)。對(duì)于大高跨比的鋼-混組合梁，若繼續(xù)忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)自振頻率的影響，計(jì)算結(jié)果將存在較大的誤差。為減小這種誤差，Xu等[7-9]把各子梁按照Timoshenko梁考慮，得到了鋼-混組合梁自由振動(dòng)模態(tài)的精確解析解。鑒于較難確定Timoshenko梁理論中的剪切變形系數(shù)，He等[10-11]在研究短粗鋼-混組合梁的動(dòng)力性能時(shí)，引入了高階剪切理論。以上相關(guān)鋼-混組合梁動(dòng)力性能研究中，均假設(shè)梁體抗彎剛度沿梁長不變，未涉及到考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁。

再者，大量學(xué)者[12-16]的試驗(yàn)及理論研究結(jié)果表明鋼梁和混凝土板界面連接處的黏結(jié)效應(yīng)和摩擦效應(yīng)對(duì)鋼-混組合梁的受力性能影響較小，一般可忽略并將其作為一種安全儲(chǔ)備，只考慮二者間的剪力連接鍵作用。

本文中基于能量原理，采用分區(qū)變分法推導(dǎo)了考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁彎曲運(yùn)動(dòng)微分方程并求解。給出了簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支等四種常見邊界條件下，考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振頻率的解法。最后，對(duì)兩孔鋼-混組合梁的理論計(jì)算、ANSYS數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 基本假定

圖1 考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁構(gòu)造圖Fig.1 Structural drawing of steel-concrete composite beam considering longitudinal stiffness distribution

分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性時(shí)，基本假定如下：①混凝土板和鋼梁均為線性彈性體；②混凝土板與鋼梁間始終保持豎向密貼而水平向可相對(duì)滑動(dòng)，即混凝土板不會(huì)發(fā)生豎向掀起脫離；③混凝土板與鋼梁均按照Euler-Bernoulli梁理論考慮，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；④鋼-混組合梁變形與結(jié)構(gòu)尺寸相比為小量；⑤混凝土板與鋼梁之間是光滑的,即可忽略混凝土與鋼梁之間的黏結(jié)力，結(jié)合面處剪力全部由剪力鍵承受，剪力鍵等效為連續(xù)分布的彈簧。

2 運(yùn)動(dòng)微分方程

2.1 位移場(chǎng)函數(shù)

(1)

式中，hc，hs分別為混凝土板和鋼梁形心軸到鋼混分界面的距離。

圖2 鋼-混組合梁位移場(chǎng)Fig.2 Displacement field of steel-concrete composite beam

由豎向密貼假定，可知混凝土板和鋼梁的豎向位移相等。因此鋼-混組合梁位移場(chǎng)函數(shù)可假設(shè)為

(2)

根據(jù)假設(shè)，鋼-混組合梁處于彈性工作狀態(tài)，混凝土梁、鋼梁和剪力鍵均滿足胡克定律，則各子梁軸向應(yīng)變應(yīng)滿足

(3)

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足

σixx=Eiεixx

(4)

(5)

2.2 構(gòu)建分區(qū)模型能量泛函

采用分區(qū)變分法[17]計(jì)算分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性。沿x軸向?qū)?混組合梁劃分為N個(gè)子塊，定義第j子塊與j+1子塊分區(qū)界面為x=xj+1，左端面為x=x1，右端面為x=xN+1。見圖3。

圖3 鋼-混組合梁分區(qū)模型圖Fig.3 A domain decomposition model of steel-concrete composite beam

構(gòu)造鋼-混組合梁的能量泛函，如下

(6)

(7)

分區(qū)變分法中，分區(qū)界面廣義位移協(xié)調(diào)方程是近似滿足的，因此式(6)中引入的方程為

(8)

(9)

式中：i=c,s；ρi，Bi和Hi分別為子梁的材料密度、截面寬度和截面高度；Ai，Iyi分別為子梁的橫截面積、繞各自yi軸慣性矩。

(10)

式中：i=c,s；Ei為子梁材料的彈性模量。

(11)

(12)

式中，Bc,s為混凝土板和鋼梁交界面的寬度。

將式(8)、式(9)、式(10)和式(12)代入式(6)中，并對(duì)能量泛函Π取一階變分，由駐值條件δΠ=0，可得分區(qū)界面上的未知參數(shù)為

(13)

把式(13)的值代入式(6)，并且基于懲罰函數(shù)的思想，為了保證式(6)計(jì)算的穩(wěn)定性，在分區(qū)界面勢(shì)能項(xiàng)中添加懲罰函數(shù)項(xiàng)，最終得到包含約束項(xiàng)的鋼-混組合梁能量泛函

(14)

其中，

Πb=ζucαjδuc+ζusβjδus+ζwχjδw+ζw′γjδw′

(15)

(16)

式中：ζm(m=uc,us,w,w′)為分區(qū)界面和邊界界面上的控制參數(shù)；μm(m=uc,us,w,w′)為分區(qū)界面和邊界界面上的罰參數(shù)，其值為一個(gè)特別大的實(shí)數(shù)。

在內(nèi)部分區(qū)界面上，界面控制參數(shù)ζm=1；在邊界界面上，根據(jù)邊界條件的不同，界面控制參數(shù)ζm取值，如表1所示。

表1 邊界條件界面控制參數(shù)取值列表Tab.1 The value list of control parameter considering with boundary condition

2.3 求解動(dòng)力學(xué)方程和自振頻率

為了求得考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁離散運(yùn)動(dòng)微分方程，可采用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式模擬各梁單元的位移函數(shù)。M階展開式

v=Nδe,j

(17)

第j子塊位移場(chǎng)展開式可寫為

(18)

第j子塊應(yīng)變展開式可寫為

(19)

式中，D為微分算子矩陣。

第j子塊相對(duì)滑移量展開式可寫為

(20)

把邊界界面控制參數(shù)和展開的位移函數(shù)式(17)～式(20)代入式(14)，并取一階變分δΠ，根據(jù)駐值條件δΠ=0，可得組合梁的離散運(yùn)動(dòng)方程。

(21)

式中：δe,j和δe,j+1分別為第j子塊和第j+1子塊位移函數(shù)系數(shù)的列向量；Me,j，Kj分別為第j子塊的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣；K1,j，K2,j分別為分區(qū)界面和懲罰函數(shù)項(xiàng)引入的第j子塊與第j+1子塊分區(qū)界面附加剛度矩陣。如下所示

(22)

其中，

最后，將所有子域的矩陣進(jìn)行裝配，得到鋼-混組合梁區(qū)域分解的離散動(dòng)力學(xué)控制方程。

(23)

式中：M和K分別為廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣;K1，K2分別為分區(qū)界面廣義協(xié)調(diào)位移和懲罰函數(shù)項(xiàng)引入的分區(qū)界面附加剛度矩陣；δg為位移函數(shù)系數(shù)的列向量。

因此，自由振動(dòng)公式為

(K-ω2M)δg=0

(24)

從而可得鋼-混組合梁的頻率方程式(25)，即可求得考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁的各階頻率。

|K-ω2M|=0

(25)

把鋼-混組合梁各階頻率分析結(jié)果代入式(24)，即可求對(duì)應(yīng)于各階頻率的振型。

3 算例分析

通過2孔簡支考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證本文理論的正確性。測(cè)試內(nèi)容為：2孔簡支鋼-混組合梁的自振特性；采用ANSYS FEA和文中理論的計(jì)算內(nèi)容為：簡支-簡支(S-S)、固支-自由(C-F)、固支-簡支(C-S)和固支-固支(C-C)等四種邊界條件下2孔鋼-混組合梁的自振特性。

實(shí)驗(yàn)梁結(jié)構(gòu)如圖4所示，實(shí)驗(yàn)梁1和實(shí)驗(yàn)梁2的鋼梁板厚均為28 mm，結(jié)構(gòu)形式相同，僅剪力鍵布置不同。實(shí)驗(yàn)梁1共計(jì)312個(gè)φ22 mm剪力鍵；實(shí)驗(yàn)梁2共計(jì)168個(gè)。實(shí)驗(yàn)梁材料參數(shù)見表2。

圖4 實(shí)驗(yàn)梁構(gòu)造圖(mm)Fig.4 Structural diagram of test beams(mm)

表2 鋼-混組合梁參數(shù)表Tab.2 Parameters of composite beams

采用文中方法或ANSYS FEA分析實(shí)驗(yàn)梁1、實(shí)驗(yàn)梁2的自振特性時(shí)，單個(gè)剪力鍵的剪切剛度均服從荷載-滑移曲線模型[18]。

Q=Qu(1-e-βs)α

(26)

式中：Q為單個(gè)剪力鍵所受剪力；s為界面相對(duì)滑移量；α=0.7，β=0.8為計(jì)算參數(shù)；Qu為單個(gè)剪力鍵抗剪承載力，按如下取值

(27)

式中：Ast為剪力鍵橫截面積；Ec為混凝土彈性模量；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度；fstu為剪力鍵極限抗拉強(qiáng)度。

采用文中方法分別計(jì)算簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支等四種邊界條件下實(shí)驗(yàn)梁1、實(shí)驗(yàn)梁2時(shí)的自振特性，關(guān)鍵計(jì)算參數(shù)取值見表3。

表3 計(jì)算參數(shù)表Tab.3 Parameters of calculation

在實(shí)驗(yàn)梁跨的1/8截面、1/4截面、3/8截面和1/2截面處布置測(cè)點(diǎn)，測(cè)試兩孔實(shí)驗(yàn)梁的自振頻率和振型。測(cè)試工作照見圖5。

圖5 實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.5 Photos of the tests

實(shí)驗(yàn)梁1和實(shí)驗(yàn)梁2的頻率測(cè)試結(jié)果見圖6。

應(yīng)用ANSYS軟件建立鋼-混組合梁的三維數(shù)值模型。模型中混凝土板采用SOLID65單元，工字鋼梁的各鋼板采用SHELL63單元，剪力鍵采用COMBIN39三維彈簧單元，豎向耦合但縱橫向不耦合，為彈性約束。邊界條件分別為簡支-簡支、固支-自由、固支-簡支和固支-固支。計(jì)算模型見圖7。

圖6 測(cè)試結(jié)果Fig.6 Test results

圖7 計(jì)算模型Fig.7 Calculation models

對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)梁1和實(shí)驗(yàn)梁2豎向一階自振頻率和豎向一階振型的文中方法計(jì)算結(jié)果、ANSYSFEA計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果，見表4和圖8。

表4 豎向一階自振頻率對(duì)比表Tab.4 Comparison of vertical fundamental frequency

由表4和圖8可得：

(1) 四種邊界條件的兩孔實(shí)驗(yàn)梁的自振頻率和振型的文中理論、ANSYS FEA和實(shí)測(cè)結(jié)果三者基本吻合。說明可以采用文中的分區(qū)變分法分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁的自振特性。

(2) 文中理論與ANSYS FEA計(jì)算結(jié)果更為接近，與實(shí)測(cè)結(jié)果有一定的誤差。初步分析產(chǎn)生這種誤差的原因主要有兩個(gè)方面：其一，理論結(jié)果、ANSYS數(shù)值結(jié)果均沒有考慮混凝土板和鋼梁之間的黏結(jié)效應(yīng)和摩擦效應(yīng)；其二，計(jì)算時(shí)，剪力鍵的等效剛度與實(shí)際剪切剛度之間存在誤差。

圖8 實(shí)驗(yàn)梁一階振型Fig.8 First-order mode shape of the test beams

4 結(jié) 論

通過以上分析，結(jié)論如下：

(1) 基于能量法原理，采用分區(qū)變分法推導(dǎo)了考慮相對(duì)滑移影響的縱向剛度分布鋼-混組合梁基本運(yùn)動(dòng)微分方程。

(2) 將文中理論計(jì)算、ANSYSFEA模擬和實(shí)測(cè)的基頻和一階振型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果顯示三者基本吻合，表明了分區(qū)變分法用于分析考慮縱向剛度分布的鋼-混組合梁自振特性的合理性。

(3) 文中的2片簡支鋼-混組合模型梁理論計(jì)算、ANSYS數(shù)值模擬和實(shí)測(cè)結(jié)果均表明鋼-混組合梁自振頻率隨剪力鍵的抗剪剛度降低而降低，說明組合梁的界面相對(duì)滑移不可忽視。