一種三自由度并聯機器人運動控制系統性能分析及仿真

路博凡，張若平，韓家哺，錢仲楷

（上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海201620）

0 引 言

隨著工業時代的發展，人們對于并聯機器人的研究在不斷的深入。并聯機器人在對于需要重載工作場合和零部件表面較為復雜的加工場景上都有著無可比擬的優秀表現；但由于并聯機器人的結構較為復雜，所以控制系統的設計一直是一個難題。首先由趙東亞等學者［1-2］將并聯機器人控制方式劃分為基于模型與不基于模型兩大類，針對基于模型的方法有狀態反饋法［3］、魯棒自適應控制、滑模變結構控制等［4］。將模糊控制［5］、神經網絡等應用于不基于模型的并聯機器人控制；吳博等學者［6］采取分散式控制方式來制作控制系統；陳強等［7］復合控制采用傳統PID與智能控制方法的結合。

本文將采用模糊PID的控制方法；并結合并聯機器人的Simscape物理模型進行改進，從而得到更好的控制效果。

1 3UPS-UP并聯機器人的運動建模

提出一種冗余驅動3UPS-UP并聯機構，該機構可用于各種汽車零部件的加工復雜曲面等工程應用中。如圖1所示。

圖1 3UPS-UP并聯機器人結構Fig.1 ER20-1700 robot structure

由圖1所示，其中該并聯機構從上到下分別由定平臺、中間恰約束從動支鏈UP、3個完全相同的UPS驅動支鏈和底部定平臺部分構成。其中定平臺和3個驅動支鏈動是起到驅動機器人正常運動及支撐固定的作用，使整個系統更加穩定，是整個并聯機器人的基礎。而動平臺為末端執行器的安裝平臺，傳遞位置和力的信息。其中，（U）為虎克鉸；（P）為移動副；（S）為球鉸鏈。UPS支鏈中球副（S）與動平臺相連，另一端通過虎克角與定平臺相連接。

2 機器人運動學與性能分析

2.1 確定機器人運動學模型

該冗余驅動3UPS-UP并聯機構的原理圖如圖2所示，A i和B i分別為3UPS-UP并聯機構第i條分支桿與動平臺和定平臺的鉸接點。在定平臺中心建立固定坐標系｛O-x yz｝，坐標原點O位于正三角形B1B2B3外接圓圓心。x軸由O點指向B1點，與O B1重合，y軸由右手法則確定，UP支鏈的U副通過O點，z軸朝向A1A2A3動平臺，并與定平臺法線重合z軸于定平臺法線重合。

圖2 機器人運動模型圖Fig.2 Robot motion model

2.2 機器人運動學逆解

設a為動平臺A1A2A3外接圓半徑，b為定平臺B1B2B3外接圓半徑，Ai在動坐標系｛O′-x yz｝下的矢量和點Bi在定坐標系［O-x yz］下的矢量分別為：

動平臺外接圓中心在定坐標系｛O-x yz｝下的位置矢量：

建立矢量方程式（3）：

則3UPS-UP的位置逆解為：

式（3）對時間求導得：

其中，J L∈R3×6即為剛性驅動鏈速度雅可比矩陣。

2.3 3UPS-UP并聯機器人模態與諧響應分析

根據3UPS-UP并聯機構實際工作情況來固定靜平臺，然后通過ANSYS做結構自由振動分析；得到該機構的前6階固有頻率（見表1）。

表1 3UPS-UP并聯機器人固有頻率Tab.1 Natural frequency of 3UPS-UP parallel robot

分析出并聯機構在0～60 Hz范圍內機構的響應情況。圖3～圖5為3UPS-UP并聯機器人動平臺沿X，Y，Z的位移響應曲線。

由X，Y，Z的位移響應曲線圖可以看出在1，2階固有頻率附近，動平臺沿X，Z方向容易產生影響；3，4階固有頻率附近，動平臺沿X，Y，Z方向產生的影響最為明顯；表示17 Hz和65 Hz的頻率對3UPS-UP并聯機器人最容易造成破壞。所以說明該機構在剛度和穩定性方面都達到應用標準。

圖3 動平臺沿X軸方向位移響應曲線Fig.3 The displacement response curve of the moving platform along the X axis

圖4 動平臺沿Y軸方向位移響應曲線Fig.4 The displacement response curve of the moving platform along the Y axis

圖5 動平臺沿Z軸方向位移響應曲線Fig.5 The displacement response curve of the moving platform along the Z axis

3 3UPS-UP并聯機器人控制系統設計

3.1 基于SimMechanic工具箱的機器人建模

首先打開之前做好的三維建模裝配體，對其進行模型的簡化，盡量減少不必要的細節同時要注意關節之間的約束關系；改進后的并聯機器人物理模型，如圖6所示。

圖6 改進后的并聯機器人物理模型Fig.6 Improved Parallel robot physical model

3.2 搭建電機驅動Simscape物理模型

因為在不需要編碼器的前提下，Simulink里自帶的步進電機是可以直接輸出位置信號的，所以可以根據并聯機器人實際工作場景需求對初始再進行改良。為了適應不同初始角度狀態，在電機的輸出后將電機的物理角度信號轉換成模擬值，修改后的電機模型如圖7所示。

圖7 改進后步進電機模型圖Fig.7 Improved model of rear stepper motor

4 模糊PID的搭建與控制仿真結果

4.1 模糊PID控制器的搭建

模糊控制器的設計主要分三步驟，首先定義輸入的隸屬度函數使其模糊化；再建立規則庫進行模糊推理；最后輸出隸屬度函數使其清晰化。

通過MATLAB的Fuzzy工具箱，在經典PID的基礎上加上模糊控制，使其變成模糊PID。首先設置輸入、輸出以及其論域的相應參數；在Fuzzy工具箱中設置輸入為誤差E和誤差變化E C；輸出為ΔK P、ΔK D、ΔK I；人們使用Add Variable指令來增加輸入輸出，并定義輸入和輸出的論域均為（-6，6），如圖8所示。

其次為輸入輸出變量選取對應類型、數量的隸屬度函數，在Fuzzy工具箱的Member Function Edit中完成調試。本文采用部分三角隸屬度函和部分高斯型隸屬度函數混合的形式；定義的隸屬度函數，如圖9所示。

圖8 系統的輸入輸出設定Fig.8 System input and output Settings

圖9 隸屬度函數的設定Fig.9 Set of membership functions

然后按照設計原則設計出模糊規則，通過Rule Editor界面開始逐一輸入共49條模糊規則成立模糊規則庫。模糊規則庫建立完成以后，可以通過Surface viewer來直接觀測到3個輸出ΔK P、ΔK D、ΔK I的模糊規則和模糊推理曲面并加以修訂和完善規則庫。完善之后把模糊數據庫另存為Fuzzy222.fis格式的文件，如圖10所示。

圖10 完善后的模糊規則和模糊推理曲面Fig.10 The Improved fuzzy rules and fuzzy inference surfaces

4.2 模糊PID與經典PID控制效果對比

至此模糊PID控制的所有準備工作已經完成，接下來將在一套系統里同時搭建經典PID和模糊PID，并進行控制系統各項指標性能測試，比較二者的控制性能。

由于經典PID控制和現代控制理論都需要被控對象的精準模型，根據給定的模型和性能指標去設計控制器，但是在大多數實際工程運用中會發現很多時候被控對象的控制模型是存在一定誤差的。如果在并聯機構底部裝有負載的時候調整PID的參數，在機器人變成空載狀態下再使用相同參數就很有可能發生超調現象，因為在輸出量保持不變的情況下，其慣性和質量變小了，就容易產生超調。

在Matlab中用上一小節中做好的模糊數據庫搭建一套完整的模糊PID控制系統，同時搭建一套經典PID的控制系統；如圖11所示。

為了比較仿真的可靠性，經典PID的參數是經過多次測試得出比較優良的參數，而模糊PID的數據搭建更是根據查閱各種文獻和幾次測試后得出的最佳數據庫。開始測試控制系統動態性能非常重要的指標之一的伺服性能，伺服性能代表著控制系統高頻輸入信號的跟隨能力。在之前控制模型中同時對其加入隨機的高頻信號模塊。將高頻信號設置為采樣時間為100 s；并且變化幅度大。

圖11 模糊PID與經典PID控制模型圖Fig.11 Fuzzy PID and PID control model

如圖12所示，黃色的最初始的輸入信號曲線在1左右，每隔100 s就會有一個較大的隨機幅值變化，而傳統PID的曲線無法很好的跟隨原始信號，反應是較慢的。如圖13所示，模糊PID的曲線相較傳統PID是更能反應原始信號的情況跟隨的更好。如果要讓并聯機器人執行高頻且大幅度擺動的任務，模糊PID比傳統PID的效果是更好的。

圖12 經典PID伺服性能圖Fig.12 Classic PID servo performance

為了測試控制系統指標的魯棒性，在上一個實驗的基礎上不改變2種PID的控制參數，把傳遞函數的分子改為0.1，相當于把機器人從空載狀態變為滿載；因為傳遞函數的分子可以理解為物理含義的慣性，仿真結果如圖14所示。

由圖14可知，在滿載情況下讓并聯機器人高頻且大幅度擺動，模糊PID雖然不能非常精確的擺動到位，但能表現出正確的擺動趨勢；反觀傳統PID則完全無法表現擺動趨勢。綜合以上3個測試表明對于并聯機器人來說模糊PID的動態控制性能是比傳統PID要好的，結合前文建立的并聯機器人機械物理模型和改進電機模型，在并聯模型的支鏈上；添加模糊PID、驅動和傳感模塊等；建立的SimMechanic機構模型如圖15所示。

圖13 模糊PID伺服性能圖Fig.13 Fuzzy PID servo performance

圖14 模糊PID和經典PID魯棒性圖Fig.14 Fuzzy PID and classical PID robustness

圖15 某一支鏈驅動器和傳感器安裝圖Fig.15 Chain drive and sensor installation drawing

取3UPS-UP并聯機構Z軸方向的位置移動和速度。軌跡跟蹤和速度仿真結果如圖16所示。

如圖16所示，藍色的軌跡跟蹤曲線當跟蹤至0.54 s時其位移、速度和加速度都趨于穩定。說明通過模糊控制可以很好地反映出運動趨勢，穩定性好、調節時間短和控制動態性的優異。

圖16 Z軸方向位移與速度Fig.16 The Z axis displacement

5 結束語

從零搭建3UPS-UP并聯機器人的控制系統，先在MATLAB／SIMULINK中搭建仿真模型；然后同時搭建經典PID和模糊PID兩套控制模型進行比較分析；最后用較優的模糊PID配合之前的物理模型進行仿真實驗。仿真結果表明控制系統的動態性能良好達到控制效果。