乘性噪聲作用下延遲分數階系統中的隨機共振

朱建渠 ，金煒東 ，郭 鋒

（1. 西南交通大學電氣工程學院，四川 成都 610031；2. 重慶科技學院電氣工程學院，重慶 401331；3. 西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010）

隨機共振是一種由于系統外部隨機力與動力系統輸入信號、噪聲三者間協調而出現的一種非線性現象. 隨機共振已經在多種非線性[1-4]和線性[5]系統中發現，包括雙穩系統[1-2]、單穩系統[3]及多穩系統[4]，干擾的噪聲有白噪聲[1,3]和色噪聲[2,4]. 時間延遲（時滯）是動力系統的共同特性. 在通信電路中，利用延遲可組成振蕩器. 在數字系統中，多個具有不同延遲的單元可以構成橫向濾波器. 在無線接收系統中，多個具有不同延遲的信號合并可以提升接收信號的性能. 延遲系統的隨機動力特性受到學者們的廣泛關注[6-11]. 比如，利用延遲Fokker-Planck方程的性質研究了具有延遲反饋的非線性隨機系統的動力特性[6]，研究具有多個延遲反饋的半導體納米結構中的由噪聲誘導的空時電流密度特性[7]. 研究延遲雙穩系統[8-9]中的隨機共振，研究時延反饋EVG系統隨機共振特性及軸承故障診斷[10]，研究延遲非對稱雙穩系統中的動力復雜性和隨機共振現象[11]. 實際上，可變延遲和隨機延遲在許多領域中存在. 由于響應時間或介質的非均質性[12]，或外部環境和系統內部條件的變化[13-14]，系統延遲常常不是固定不變的，應該作為一個隨機量看待.

分數階微積分具有時間記憶性和長程空間相關性，能更好地描述具有記憶、路徑依賴性的物理過程[15-16]，因此分數階系統在許多領域得到研究，包括記憶效應阻尼系統和梁板[17]、含時滯反饋與漲落質量的記憶阻尼系統的隨機共振[18]及平穩響應[19]和主共振[20]、Duffing-van der Pol振子的分數階導數和時滯阻尼特性[21]、隨機頻率分數階振子的隨機共振行為[22-24]，以及隨機質量分數階振子的隨機共振[25]. 具有記憶阻尼的線性系統可以描述粒子在非均勻環境（如黏性材料、稠密流體等）中的運動，由于媒質對粒子速度的記憶性，系統的阻尼項可以用分數導數描述[18,22-23,25]. 文獻[22]研究了具有兩種阻尼記憶核的線性系統中的隨機共振，文獻[23]和文獻[25]分別研究了擾動頻率與擾動質量作用下分數線性振蕩器中的隨機共振，但是沒有考慮系統延遲的影響. 文獻[18]雖然研究了含時滯（延遲）反饋與漲落質量的記憶阻尼系統的隨機共振，但是其延遲量為常量.

另一方面，雖然學者們已經研究了時滯整數線性系統[26]或時滯分數線性系統[27]中的隨機共振，但只考慮了加性噪聲作用下的一階線性系統. 眾所周知，二階分數線性系統，即分數線性振子，被廣泛應用于各個領域[22-24]；如果考慮分數線性振子的阻尼系數受到外界擾動即隨機阻尼的情形[24]，則系統模型中會出現噪聲與系統態變量（這里指振蕩速度，是位移對時間的導數）的乘積項，即出現乘性噪聲. 可見，研究具有隨機阻尼的時滯分數線性振子中的非線性現象具有普遍意義. 基于上述分析，本文研究乘性噪聲作用下具有隨機延遲的分數階線性振子中的非線性共振現象，分析系統輸出性能與時間延遲、噪聲參數和驅動頻率的關系.

1 延遲分數階線性系統及其輸出幅度增益

考慮由下面的隨機微分方程描述的具有隨機延遲和記憶阻尼的分數階系統（振蕩器）：

式中：x(t)、r和 β分別為粒子的振蕩位移、線性黏性阻尼和摩擦因數；t為時間；ω和 α為振蕩器特征頻率和分數階數（0 <α<1 ）； τ為延遲時間；Ω為驅動信號頻率； Γ(?) 為Gamma函數； ξ(t)為馬爾科夫雙值噪聲；A為信號幅值.

馬爾科夫雙值噪聲由于在數學計算上相對簡單，對含雙值噪聲的數學模型分析容易得到精確的數學表達式；同時雙值噪聲在極限條件下可得到工程中常用的高斯白噪聲和白脈沖噪聲兩種噪聲模型，因此雙值噪聲對動力學系統的影響受到廣泛的關注[5,18,22,25]. 本文設 ξ(t)∈{a,?a}，a為雙值噪聲的取值，a>0 ，其穩態概率p(a)=p(?a)=1/2，均值為0，自相關函數為

式中：D和 λ1分別為 ξ(t)的乘性噪聲強度和相關率；Δt為時間差.

延遲時間 τ為一個隨機量：

式中：τ0為設定的延遲時間， τ0>0 ；η (t)為雙值噪聲，η (t)∈{ ?τ0,τ0}，均值為0，自相關函數為

式中：P和 λ2分別為 η (t) 的噪聲強度和相關率.

設 噪 聲 ξ(t) 和 η (t) 間 的 耦 合 強 度 為 σ ，即E(ξ(t)η(t))=σ. 利用隨機延遲的性質[27-29]，有

將式（5）代入式（1），得

利用小延遲近似條件[30]，式（6）可改寫為式（7）所示的無延遲分數階微分方程.

對式（7）兩邊隨機平均，得

等式（7）兩邊分別乘以 ξ(t)、η (t) 和 ξ(t)η(t)，然后隨機平均，得

利用Shapiro-Loginov公式[31]，對于指數相關隨機過程 ξ(t)、η (t) 及其函數g(ξ(t)、η(t))，存在關系如式（12）～（13）所示.

式中：n為正整數.

利用式（12）～（13），可得

利用雙值噪聲 ξ(t) 和 η (t)的性質，有

系統平均輸出幅度的穩態解為

式中：G為系統輸出幅度增益（output amplitude gain，OAG），即平均輸出幅度與輸入信號幅度的比值，可以表示為

式中：

2 分析與討論

時間延遲廣泛用于不同的領域，本文研究分數階線性系統中的延遲對系統輸出的影響. 基于拉普拉斯變換，利用雙值噪聲的性質，推導出了系統輸出幅度增益的表達式. 利用式（22）～（39） 和圖1～7，分析時間延遲、系統參數和噪聲參數對輸出幅度增益的影響. 首先，分析時間延遲對分數階系統輸出的影響. 由圖1和圖2容易得出結論，即幅度增益G是設定延遲時間 τ0的非單調函數，即出現了廣義的隨機共振現象. 隨著 τ0的增大，G可以取得兩個極值.它先快速地減小到一個最小值，然后緩慢地增大至一個最大值，最后單調減小，在較大的 τ0（ τ0>>1）情況下G趨于0. 該現象表明相對較小的 τ0（τ0<0.06） 或大的 τ0（ τ0>0.62） 會抑制系統輸出信號，而 τ0取相對中值時（ τ0≈0.60） 可以提升系統輸出性能. 這里出現的 τ0對系統輸出的非單調影響與在整數階線性系統[26]和分數維線性系統[27]中有所不同.在整數階線性系統中，只出現一個極值，即最大值；而在分數階線性系統中，可以觀察到兩個峰值現象.隨著分數指數 α和摩擦因數 β的增大，系統輸出最小值朝小的 τ0方向移動，如圖1 和圖2所示. 同時，由圖2可以發現，幅度增益也是β的非單調函數.

圖1 α取不同值時 G 與 τ0的關系曲線Fig. 1 A mplitude gain Gversus random delay-time τ0 for different values of fract ion al exponent α

圖2 β取不同值時 G 與 τ0的關系曲線Fig. 2 Amplitude gain G versus random delay-time τ0 for different values of friction coefficeintβ

其次，利用圖3～5來分析系統輸出幅度增益與噪聲的依賴關系. 圖 3表明：在幅度增益G與乘性噪聲強度D的關系曲線上存在一個最小值和一個最大值，即出現了傳統的隨機共振現象. 隨著D的增大，G首先減小到一個最小值，接著增大到一個峰值，然后單調減小. 這種輸出性能提升的效應可以解釋為噪聲與系統輸入信號間的協同作用.隨著阻尼系數r增大，共振峰朝大的D方向移動.因此對于大的阻尼系數值，應該選擇強的乘性噪聲以提升系統輸出信號. 同時，G隨r的變化而非單調變化. 當D<2.8 時，G隨r的增大而減小；而當D>5.0 時，G隨r的增大而增大. 另外，由圖4可以看出：在G與乘性噪聲相關率 λ1的關系曲線上有一個極值，即最大值. 當 λ1較小或較大 （λ1<6.5或 λ1>9.0 ）時，G隨r的 增 大 而 減 小；而 當 λ1取中間值時，G隨r的增大而增大. 比較圖5和圖4可以看出：隨機延遲量的相關率 λ2對G的影響與λ1對G的 影 響 有 所 不 同. 在G與 λ2的 曲 線 上 存 在兩個峰值，即出現隨機多共振現象. 故可以選擇兩個不同的 λ2值使G最大化. 注意到輸出信號與隨機延遲相關率的雙峰現象是一個新的結果，在文獻[27]中沒有研究過.

圖3 r 取不同值時 G 與 D 的關系曲線Fig. 3 Amplitude gain G versus multiplicative noise strength D for different values of damping coefficientr

圖4 r取不同值時 G 與 λ1的關系曲線Fig. 4 Amplitude gain G versus correlate rate λ1 of the multiplicative noise for different values of damping coefficient r

圖5 系統頻率 ω取不同值時 G與 λ2的關系曲線 Fig. 5 Amplitude gain G versus correlate rate λ2 of random delay noise for different values of system frequencyω

圖6 β取不同值時 G 與 α 的關系曲線Fig. 6 Amplitude gain G versus fractional exponent α for different values of friction coefficeintβ

圖7 σ 取不同值時 G 與 Ω 的關系曲線Fig. 7 Amplitude gain G versus driving forcefrequencyΩ for different values of couple noise intensity σ

最后，分別利用圖6和圖7來研究G與 α、驅動信號頻率 Ω的共振行為. 由圖6可見：在G與 α 的關系曲線上有一個最大值和一個最小值. 這個新的結果在文獻[26-27]中沒有研究過. 該現象可以解釋為分數指數與乘性噪聲的共同作用的結果. 從微觀的角度看，式（1）描述粒子在振蕩器中的運動過程. 基于籠子效應（cage effect）[32]，當 α 較小時，介質誘導的力是主要作用力，它不僅減慢了粒子的速度，而且還使粒子產生了拍擊運動. 粒子被介質束縛而運動緩慢，因此摩擦力導致系統輸出信號受到抑制. 隨著α的增大，籠子效應減弱，輸出幅度增大，在 α增大到某個值時系統輸出幅值最大；同時，粒子運動更快，由乘性噪聲導致的摩擦力變成了主要的力，它有效地限制了粒子的運動，降低了系統的輸出，使系統的振幅達到最小值. 當 α 進一步增大，α →1 時，籠子效應變得越來越弱，對于一定的噪聲 ξ(t)， ξ(t)與系統的非線性作用可能提升系統的輸出，從而增大系統的輸出信號幅值. 同時，由圖6可見：G隨著 β的變化也非單調變化. 由圖7容易發現：在G與 Ω的關系曲線上存在兩個峰值，即出現了“真實”的隨機共振現象. 隨著 σ的增大，幅度增益曲線變得越來越扁平，因此大的耦合噪聲強度可以擴展系統的帶寬但是卻抑制了系統的輸出性能.

3 結 論

綜上所述，本文研究了乘性噪聲作用下具有隨機延遲的二階分數線性系統中的隨機共振現象. 時間的隨機延遲采用雙值噪聲建模. 利用雙值噪聲的性質，基于線性系統理論和小延遲近似條件，得到了系統輸出幅度增益OAG的表達式. 研究結果表明，得到了許多在延遲一階線性系統中沒有的新結果：OAG隨著延遲時間、隨機延遲量的強度和相關率、乘性噪聲相關率、分數指數以及驅動信號頻率的變化而非單調變化. 觀察到了傳統的隨機共振、廣義的隨機共振和“真實”的隨機共振現象. 由于時間延遲現象和二階線性系統模型在科學領域中廣泛應用，同時實際的物理系統總是受到各種外界干擾的影響，本文的研究結果對于噪聲環境下整數階線性系統中的非線性現象研究有一定的補充作用.