研究RLC串聯電路的時間特性實現對示波器捕獲時間校準

劉 丹，忻 靜，鄧 莉，張詩按

(華東師范大學 物理與電子科學學院，上海 200241)

生活中，對常用RLC振蕩電路進行研究，可以得出RLC微分方程、傳遞函數、動態結構圖與狀態方程等數學模型，并且用合適的軟件進行仿真模擬可以有效地將實驗與理論結合起來。同時，通過對RLC串聯電路的暫態過程進行分析，可以用于修正臨界阻尼的測量值。RLC電路中涉及的物理量一般有時間常數、衰減常數、諧振頻率、臨界阻尼等，在回路中接入示波器可以測量這些物理量[1-4]，且通過對這些參數進行修正，可以得到更為精確的結論。

示波器的用途廣泛，可以用數字示波器測量RLC電路的諧振特性[5]，用雙蹤示波器較為精確地測量RC或RLC電路中電容大小[6]，常用方波來觀察RLC電路的暫態特性。當RLC電路中接入方波時，選擇合適的周期，可以明顯地觀察到RLC電路的暫態特性，且在欠阻尼、過阻尼和臨界阻尼情況下有不同的阻尼振蕩情況。這是由于在方波新的半個周期內，t=0+時刻電容和電感感受到回路中電壓的變化，導致電容兩端電壓和回路電流相應地發生變化，在t=0+時刻后，輸入電壓保持不變，回路可在穩定的電壓條件下達到平衡，也就可以觀察到RLC電路在t=0+時刻的暫態特性。

如果輸入正弦形電壓結果會怎么樣呢？由于正弦波輸出電壓每時每刻都能夠在發生新的電壓變化前達到平衡，也就是說如果示波器在某個時刻捕獲到電容兩端的電壓值，就會將該電壓作為該時刻的輸出，緊接著下一個時刻將有新的輸出，所以示波器上將會出現隨時間連續變化的曲線。本文研究基于三點假設的RLC串聯電路欠阻尼、過阻尼、臨界阻尼的時間特性，實現對示波器捕獲時間的校準。

圖1 RCL電路暫態特性曲線

1 理論分析

在RLC電路中，聯立KVL和VCR方程，代入相應表達式可得如下二階非齊次方程

(1)

其中us為接在回路中的電壓，α為衰減常數(其倒數為時間常數)，ω0為諧振圓頻率。

當回路在t=0+時刻接收到第一個正弦交流信號，此時回路是對示波器捕獲能力的校準，認為信號源輸出的正弦波將在一瞬間改變回路電壓，不存在延遲，實際上該過程所需時間非常短暫(幾微秒)[7]，所以不考慮時間延遲是合理的。

(1)當us為0時(零輸入響應)，

(2)

(3)

可解得

(4)

(5)

(2)當接入電壓為正弦形電壓us=Asin(ωt)時，將輸出調至從余弦開始掃描，那么在t=0+時刻可以認為初初始條件中A=U0。

因此上面的通解適用于下面的分析。如果將正弦波在t=0+的輸出看作周期無限小的方波，則有如下分析：

(1)欠阻尼(α<ω0)：(此時s1和s2為復數，為了畫出圖像，所以要對上面的通解進行代入變換，用到歐拉公式)，得到(6)式

(6)

(7)

根據以上分析，(6)式可看作是回路電壓突變的瞬時時刻，所以認為在t=0+時刻，電容兩端電壓滿足(6)式，此時將uC(t=0+)看作時電容C的函數，可將uC(t=0+)表示為uC(C)：

(8)

(2)過阻尼(α>ω0)：此時s1和s2為實數，可直接利用通解畫圖，認為在t=0+時刻，電容兩端電壓滿足(5)式，此時：uC(t=0+)=U0可以看出電容兩端電壓是一個常數，理論上并不隨電容C的改變而改變

(3)臨界阻尼(α=ω0)：如果直接將s1和s2代入(5)式，將出現分母為0不可解的情況，因此直接將方程代入解出，解為：

uC(t)=U0e-ω0t(1+ω0t)

(9)

即當在t=0+時刻，電容兩端電壓滿足(9)式，此時uC(t=0+)=U0也為一個常數，即改變電容值時電容兩端電壓將保持不變。

(4)要注意到的是，在欠阻尼條件下，連接好RLC串聯電路，將示波器接在電容兩端，調節信號源(FB318型RLC電路實驗儀)輸出正弦波，振幅為2.86 V，頻率分別為595 Hz和596 Hz，回路中外接電阻R=1 000 Ω，電感L=100 mH，電容從0.01 μF開始增加，用示波器(單次按鍵，進入捕獲模式，觸發調節為0 V)讀出電容兩端輸出波形穩定時的電壓峰值(衰減倍數均為1X)。

2 實驗數據與模擬分析

2.1 實驗數據

根據以上理論分析，結合實驗條件，可將RLC電路中t=0+時刻電容兩端的電壓均不隨電容而改變。表1的數據結果顯示，當電容從0.01 μF開始變大時，電容兩端電壓先線性增大，當電容值超過0.09 μF時，電容兩端電壓線性減小。且對于不同的頻率，電容兩端輸出電壓值有較為明顯的不同(即頻率增大1 Hz，電容兩端電壓增大0.02 V)。

表1 電容電壓隨電容變化實驗數據

根據以上分析，得出如下推論：當對RLC電路中輸入正弦交流電時，如果認為示波器捕獲每個數據點的圖像均是在t=0+時刻捕獲，且認為調節的余弦輸出的波形是完全精確的，觸發電壓精確為0時，加在電容兩端電壓應當不隨電容的改變而改變，但實驗得到的數據并不符合該規律，當增大電容時，電容兩端電壓在欠阻尼狀態下隨電容增大而(近似線性)增大，在臨界阻尼狀態左右近似不隨電容而改變，在過阻尼狀態下隨電容增大而(近似線性)減小，為什么會出現這種現象呢？關鍵在于做理論分析時有三個假設：

(1)認為示波器捕獲每個數據點的圖像均是在t=0+時刻捕獲；

(2)調節的余弦輸出的波形是完全精確的；

(3)調節的觸發電壓精確為0。

下面將討論這三個假設的合理性。根據(5)式，把uC表示為時間t、電容C和初始電壓U0的函數，即為

(10)

(11)

當t=0+時，上式為

(12)

根據理論畫出的圖像可以知道，當T取某一個確定的值時，式(12)與式(10)只有一點區別；當在式(12)中T取正數時，對應式(10)中t應取T的相反數。因此盡管后面的分析中存在可能影響初始時刻的因素，但是通解(10)式仍然適用。

對于假設(2)，影響余弦輸出和初始時刻。首先討論對U0的影響。在2.86 V附近變化，取U0的值為0，圖像如圖2所示，可以看出，盡管將U0減小了0.06 V，對曲線的影響也幾乎很小，即數值模擬得到的理論曲線并不能只通過優化U0參數來使理論與實驗曲線一致,因為U0影響的是輸出波形的振幅，并不能對電壓隨電容變化的實驗事實做出解釋。對于假設(3)，觸發電壓事實上就是影響U0，所以假設(2)和假設(3)都是探討U0的值對電容兩端電壓的影響。上面已經分析，U0對曲線的影響并不是導致理論與實驗曲線不一致的主要原因。對于假設(1)，需要注意兩點：一是認為示波器都是在同樣的時間點捕獲每個數據點；二是這個同樣的時間點為t=0+時刻。如果在數值模擬時改變時間t=0+為t=t1(保持U0為2.86 V)，在某個數據點的捕獲時間點為t1，但并不能表明在每個數據點捕獲的時間點均為t1，這是需要特別注意的。假設(2)和假設(1)中都提到對初始時刻的影響，所以下面對時間的修正包含對這兩部分假設的驗證。

圖2 改變U0后的理論與實驗數據曲線

2.2 模擬分析

(1)過阻尼和臨界阻尼情況

圖3(a)所示有四條曲線，紅色和綠色的散點圖分別代表在f=595 Hz和f=596 Hz的輸入頻率下、增大電容，測得的電容兩端電壓值曲線。黃色曲線是在捕獲時間為-0.000 27 s、U0為2.86 V時電容兩端電壓u(-0.000 27,C,2.86)隨C的理論變化曲線，可理解為當U0為2.86 V、且示波器每次都在-0.000 27 s捕獲數據點時，改變電容大小得到的關于電容兩端電壓的變化曲線。同樣地，藍色曲線是在捕獲時間為-0.000 28 s、U0為2.86 V時電容兩端電壓u(-0.000 28,C,2.86)隨C的理論變化曲線，可理解為當U0為2.86 V、且示波器每次都在-0.000 28 s捕獲數據點時，改變電容大小得到的關于電容兩端電壓的變化曲線。

(a)過阻尼和臨界阻尼情況

通過比較黃色曲線與綠色曲線，當改變捕獲時間點時，對曲線有明顯的影響，說明假設(1)是導致理論曲線與實驗曲線不一致的最主要原因。按照分析，如果示波器每次均是在相同的時間點捕獲每個數據點，那么調節捕獲時間，理論曲線與實驗數據應該能夠重合。但是經過數值模擬后發現，無論如何改變捕獲時間點，都不能使理論曲線與實驗曲線完全重合，只能出現有交點的情況。

這說明示波器每次捕獲的數據點并不是在相同的時間點，這與實際也是相符的，示波器不可能每次都恰好在完全同樣的時間點捕獲數據。從上面理論分析可以看出，不同數據點捕獲的時間點有很小的時間差(330 μs)。數值模擬得到的曲線與實驗曲線存在交點。黃色曲線與散點圖大致相交于C=0.4 μF處，說明在本次實驗條件下，當C=0.4 μF、U0=2.86 V時，示波器在第一個余弦圖樣輸出前270 μs時捕獲到電容兩端電壓數據。藍色曲線與散點圖大致相交于C=0.6 μF處，說明在本次實驗條件下，當C=0.6 μF、U0=2.86 V時，示波器在第一個余弦圖樣輸出前600 us時捕獲到電容兩端電壓數據。從圖像中可以看出，示波器捕獲的實驗點(0.4 μF，1.74 V)(為臨界阻尼)和(0.6 μF，1.20 V)(595 Hz)的曲線相對于余弦圖像上該點(0,1)(時間為0，電壓單位化為1)超前270 μs，這里表明盡管示波器在很短時間內到達平衡，但是仍然不可將示波器捕獲的圖像認為是t=0+時刻的圖像。這里T為負數表明示波器捕獲到的穩定圖樣超前于信號源輸出的第一個余弦圖樣(前面已經認為調節至余弦輸出并且已經討論其對實驗結果的影響)。理論與實驗曲線的交點即為上面提到的某個數據點。

值得注意的是，理論計算出電容兩端電壓存在負值，這其實是合理的，因為示波器也能夠顯示電壓為負值，至于為什么在實驗條件下沒有測得負電壓，與實驗條件有關。這里需要注意的是實驗與理論曲線的交點，不管該交點是正電壓還是負電壓，如果當理論曲線中T取某一個值T1時，實驗數據與理論沒有交點，那則說明在本次實驗條件下測得的實驗數據中，不存在示波器捕獲時間為T1的數據點。T在前面的含義是指人為調節的第一個余弦輸出圖樣超前標準余弦輸出圖樣的時間，但是這里不能忽視示波器本身的捕獲數據的能力(即示波器能否在極短的時間內捕獲到數據點)，所以T延伸的含義是指示波器的捕獲能力與實際余弦輸入波形的時間差。可以調整時間零點，使正余弦輸出是完全精準的，那么T就只代表示波器本身的捕獲能力。

(2)欠阻尼情況

如圖3(b)所示，四條曲線，其中黃色代表T=-0.000 1 s時電容兩端電壓隨C的理論變化曲線；藍色代表T=0.000 1 s時電容兩端電壓隨C的理論變化曲線。從這里可以看出當T越大，交點往電容值小的方向靠近。這說明電容值越小，示波器捕獲瞬時電壓的能力越差，延后或超前的時間越長。

3 結 語

電路從欠阻尼狀態到臨界阻尼到過阻尼狀態示波器捕獲能力隨電容增大而提高。當C逐漸增大時，回路電壓由振蕩趨于平穩，在輸入方波較為平穩的條件下，示波器能夠捕獲的電路RLC瞬時狀態數據將更為準確。通過研究RLC電路的時間特性，進行數值模擬，知道在某一實驗數據與理論曲線的交點反映了示波器在該實驗條件下、對該數據點的捕獲狀態，實現捕獲時間校準。如果在實驗條件要求很高、示波器的捕獲能力對實驗影響較大的情況下，就需要對其捕獲時間點進行校準，以獲得更精確的結論。