知識傳授與價值引領

摘 要：“概率論與數理統計”在開展課程思政教學上有得天獨厚的優勢，本文以“相互獨立條件下事件概率的計算”和“貝努利分布及其應用”兩個教學案例，通過引入大量的生活常識、耳熟能詳的諺語、搭建知識結構體系等教學方式，引導學生用概率的眼光解讀未知的世界，用統計的方法指導工作與生活。在關注知識傳授、能力培養、情感價值塑造的同時，將辯證唯物主義、科學精神、家國情懷、人生觀及社會主義核心價值觀等思政元素，潤物細無聲的融入“概率論與數理統計”課程教學，使知識傳授與價值引領同頻共振，最終實現“概率論與數理統計”課程“立德樹人”的核心功能。

關鍵詞：相互獨立事件;概率;貝努利分布;知識傳授;價值引領

“概率論與數理統計”是高等院校理工類、經管類開設的重要課程之一，在培養學生的理性精神、隨機事件應對能力、數據處理與建模能力、綜合素質培養及思想政治隱性教育等方面起著十分重要的作用。

在課程思政背景下，“概率論與數理統計”課程在培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人這個教育根本問題上，除了要關注知識傳授與能力培養，更要關注知識傳授與價值引領的同頻共振。目前關于“概率論與數理統計”課程開展課程思政教學的文獻和教學案例還很少，筆者多年從事高校“概率論與數理統計”課程教學，形成了自身的一些教學特點，對其推進課程思政的教學有些體會，本文就此做些

總結。

一、課程思政背景及“概率論與數理統計”課程思政的優勢

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調，要把立德樹人作為中心環節，要用好課堂教學這個主渠道，把思想政治工作貫穿教育教學全過程，實現全程育人、全方位育人。……各類課程都要守好一段渠，種好責任田，與思想政治理論課同向同行，形成協同效應[1]。“概率論與數理統計”作為研究隨機現象及其統計規律性的一門學科，在課程思政教育教學上自帶得天獨厚的優勢。

從人文價值角度看，“概率論與數理統計”中很多隨機實驗、概念、公式、定理和方法背后，都體現著統計學家們不懈努力、刻苦研究、嚴謹周密、一絲不茍的科學精神，這足以激發學生勇攀科學高峰、戰勝各種困難的信念和勇氣。

從哲學層面看，“概率論與數理統計”獨具特色的概念、公式、定理和方法中，體現著大量的隨機與確定、聯系與發展、局部與整體、一般與特殊、精確與近似、對立與統一、量變與質變、理論與實踐等辯證唯物主義哲學思想，這些都是很好的思政元素資源。

從技術層面看，“概率論與數理統計”提供了從不同角度認識世界和改造世界的具體理論和方法。概率論是根據大量同類隨機現象的統計規律，對隨機現象出現某一結果的可能性作出一種客觀的科學判斷，并作出數量上的描述。數理統計則是基于概率論的理論和方法，研究收集數據、分析數據并據以對所研究的問題作出一定結論的科學和藝術。無論是貝葉斯學派，還是皮爾遜、費舍爾、尼曼等學派，都希望通過統計方法從歸納的角度認識世界，改造世界，很好體現了“知行合一”。

二、“概率論與數理統計”開展課程思政的教學設計素材

課堂教學是育人最主要的過程，也是教書育人最重要的途徑。知識傳授與價值引領是育人的基本實現形式。教學中既要注重在價值傳播中凝聚知識底蘊，又要注重在知識傳播中強調價值引領，突出顯性教育和隱性教育相融通，實現從思政課程向課程思政創造性轉化[2]。

在“概率論與數理統計”課程教學中，要充分挖掘并呈現課程思政優勢的各種素材。

1.將科學家的鉆研精神和愛國主義情懷融入教學

挖掘“概率論與數理統計”基本概念、實驗、公式、定理和方法背后的人文價值素材。例如開創中國概率論、數理統計領域教學和研究工作的一代宗師許寶騄教授，是世界公認的多元統計分析奠基人之一，在參數估計理論、奈曼-皮爾遜理論、多元分析、極限理論等領域都取得了卓越成就。許教授曾在英國倫敦大學留學并任教，但在祖國艱難時期，謝絕國外著名大學的挽留，毅然選擇回國。通過開設講習班等形式，為我國培養了一批批概率統計學科的教學和科研人才。許教授心懷祖國、報效祖國、為科學奉獻終身的事跡足以激發學生勇攀科學高峰的信念和報效祖國的愛國情懷。

2.將辯證唯物主義哲學思想融入教學

挖掘“概率論與數理統計”基本概念、實驗、公式、定理所蘊含的對立統一、量變質變、局部與整體、精確與近似、理論與實踐、絕對與相對轉化等規律，這些都是對學生進行辯證唯物主義思想教育的很好素材。例如，隨機現象的概念體現了表面呈現的偶然性與內部蘊含的必然性二者的對立統一關系。隨機變量分布函數的引入，體現了隨機性思維與確定性思維的統一，也體現了數學不同學科之間的聯系和統一。大數定律和中心極限定理體現了從量變到質變、從精確到近似的轉化規律。數理統計中的參數估計和假設檢驗體現了從部分與總體、理論與實踐的區別與聯系的和諧統一。

3.將正確的世界觀、人生觀、價值觀融入教學

“概率論與數理統計”課程的大量計算、證明及其應用中，每個過程都要依據概念、性質、定理或推論，有理有據的推導，這種貫穿課程始終的嚴謹理性的邏輯思維，會引領學生將規則意識銘記于心，不做違法、違規之事。

可通過列舉身邊大量的生活常識、耳熟能詳的諺語或寓言故事、講述知識點的歷史典故、總結搭建知識結構體系等方式，啟發學生用概率的眼光解讀我們的世界，用統計的方法來指導我們的工作與生活，在關注知識傳授、能力培養、情感價值塑造的同時，進行道德品質教育，起到育才與育人一舉兩得的效果。例如，在全概率公式和貝葉斯公式教學中，以“狼來了”寓言故事，展現人們以動態的方式思考問題，對一些問題的看法要隨著新信息的加入而進行動態的調整、修正，通過建立誠信度的量化評價模型，得出結論：誠信缺失之后，若想重建誠信、重新獲得人們信任并不是簡單的一兩次信守承諾就可以做到，很可能用相當長時間也不易恢復，以此告誡社會中的每個成員都要信守承諾[3]。總之，用統計知識解讀日常生活和工作中碰到的一些現象，用統計方法去指導生活和工作，做到知行合一。

三、“概率論與數理統計”課程思政教學的探索實踐

下面通過兩個教學案例拋磚引玉，探索以知識傳授與價值引領同頻共振的方式踐行課程思政的教學模式。

1.相互獨立事件概率計算的教學探索

隨機事件發生可能性大小的度量是通過概率的大小來反映。在很多實際問題和理論研究中，經常會涉及相互獨立事件概率的計算問題。與一般隨機事件的概率計算相比，獨立事件概率的計算有其特殊的性質和結論。

（2）相互獨立事件概率計算的思政元素

隨機非隨意，概率破玄機。生活中很多耳熟能詳的成語、諺語、生活常識、甚或國家政策制定，大多都呈現出隨機性的特點。用數學的語言表達，從概率的眼光來進行分析，其實就是“多個事件相互獨立時至少有一個事件發生的概率計算”問題。

例1. 兄弟同心，其利斷金

以“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”來分析。

假設號稱諸葛亮的那個聰明人能正確解決某問題的把握為P（A0）=0.90，另假設劉備、關羽、張飛三人，各自能獨立解決該問題的把握分別為P（A1）=0.60，P（A2）=0.55，P（A3）=0.45。將數據代

入性質4，可以得到劉關張三人合作，解決該問題的概率為：

P（A1∩B2∩C3）=1?P（A1）P（B2）P（C3）=0.901

該計算結果表明，雖然劉關張三人實力并不很強，各自獨立解決該問題的把握都不太大，但他們三人若能在充分發揮自身能力的情況下展開合作，則該問題被解決的把握卻達到0.901，已經超過號稱聰明人的諸葛亮的能力。這足以體現弱者間互助合作、抱團取暖的重要。

再看劉備三顧茅廬請來諸葛亮輔佐之后，將上面相同的數據代入性質5，結果會很驚人，該問題被解決的概率為：

P（A0∩A1∩B2∩C3）

=1?P（A0）P（A1）P（B2）P（C3）=0.998845

計算結果表明，劉備、關羽、張飛邀請聰明的諸葛亮一起共商國是，問題被解決的把握幾乎百分之百，簡直天下無敵。這也是三國演義中看到的，劉備的兵力雖遠遠比不上曹操，但是卻沒有比曹操遜色多少，甚至在后期形成了魏蜀吳三國鼎立的局面。

進一步假設，若有100個人，每個人的實力都很弱，各自能獨立解決某問題的把握很小，不妨都以0.05估計，仍采取合作，由性質5，可得到這個問題被解決的概率為：

這個結果，是不是從概率的角度能更好理解了“人民群眾是人類歷史的創造者”這句話的含義了呢？

（3）搭建知識體系，展現求解問題時“特殊化與一般化”相互轉化的數學思想

對性質5做進一步的歸納引申：任意n個相互獨立的隨機事件A1， A2， …，An，若每個事件發生的概率都相同，是否會得到更一般的結論？這樣的引申，既展現了解決問題所用的“一般化與特殊化”相互轉化的數學思想，同時也自然引入后續的隨機變量概念及其貝努利分布的相關內容，搭建了內容之間的聯系框架，有利于學生能更好地掌握本課程的基本理論知識。

（4）知識傳授與價值引領同頻共振

與上面的分析類似，現實生活中有很多現象或道理，用“相互獨立條件下事件概率的大小”來進行解釋、闡述，其結果比空洞的說教更具說服力。

例如，在生活或工作、學習中，每個人難免會遇到各種各樣的不如意和困難相互獨立的隨機事件，正確解決問題或戰勝困難的打開方式，應該是學會和人溝通，與人合作，通過與人合作提高解決問題或戰勝困難的把握，成就團隊的同時也會提升自身的價值。同時，發揚團結友愛、合作互助精神在提高整個團隊工作效率的同時，也會溫暖彼此的心靈，營造融洽的人際關系。另外，對生活中聰明的諸葛亮也有一定警示作用，為人要謙遜，山外有山，人外有人，做人做事都應該勝不驕、敗不餒。

小到個人、企業，大到一個國家都是一樣，面對共同的問題，都可以看作是n個相互獨立的隨機事件，尋求真誠合作實乃明智之舉。共同的機遇，強強聯合可以打造精品，發展更大。共同的難題，尋求合作抱團取暖，可以共渡難關，實現突破。這樣的實例還可以舉出很多，比如，在民事訴訟或刑事訴訟中大多都采用合議庭審理案件，再如，國家重大政策采用民主集中制等，都可按“相互獨立事件概率的計算”結果來進行解釋和闡述其中的道理。

但要注意的是，在對“相互獨立事件的概率”進行計算時要明確，合作每一方的工作態度假設都要前后一致，要各盡所能、各盡其力，才能體現合作的優越性。否則，如果合作時有人想搭便車、或為一己私利互相拆臺，則合作的優越性就會蕩然無存，甚至會起到相反作用。正如水能載舟，亦能覆舟。

2.貝努利分布及其應用的教學探索

隨機變量概念的引進，使得對隨機現象的處理更簡單與直接，也更統一而有力，它是通向現代概率理論的起點，是概率論發展走向成熟的一個標志。其中貝努利分布（或稱二項分布）是一種常見的離散型隨機變量分布，在理論研究中占據非常重要的地位，在日常生活中也有廣泛的應用。

（1）貝努利分布的特點及性質

定義1. 若隨機試驗在相同條件下可以獨立重復進行n次，每次試驗只有兩個可能結果A和A，事件A在每次試驗中出現的概率p保持不變，即P（A）=p，就稱這樣的試驗為n重貝努利試驗。

上述結果很好闡述了，某件事即使僅有1%的希望，也要盡100%的努力。當努力的次數n足夠多，即n→∞時，幾乎可以百分百的肯定“事件A至少會發生一次”。即

例3. 人生在勤，不索何獲

假設在某次“概率論與數理統計”課程的考試中，依據教學大綱，一共設計了100道來自不同知識點的單項選擇題，每道題附有A、B、C、D四個選項，至少答對60道題為及格。下面計算下考生憑運氣僥幸通過這次考試的概率有多大？

以X表示答對的題數，假定每道題的選擇是相互獨立的，則這個問題可以看成是100重貝努利試驗，即X～B（100，0.25），其分布列為

此概率幾乎為零，它相當于在10 000億個碰運氣的考生中，會有1.33人能通過該考試。而到2020年，人口數最多的中國僅有14多億人口，全球人口總數也才僅有75多億人口，足可認為靠運氣通過這次考試幾乎是不可能發生的事件，這也就從概率的角度刻畫了這種考試對每個考生都是公平的。

（3）搭建知識體系，展現數學解決問題的模型思維、發散思維

貝努利分布實際就是一個數學模型，利用該模型可以解決所有條件相同下的大數時，計算概率變得很麻煩，此時需要尋找近似求解的變通方法。既可以用“切比雪夫不等式”以期望和方差估計概率，也有法國數學家泊松引入的“泊松分布”作為二項分布的近似，更有棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理給出的二項分布的“正態近似”。這些都很好展現了發散思維，也體現了“概率論與數理統計”中精確與近似、離散與連續的對立與統一，同時也自然引申出后續的教學內容（在此僅給出如下近似求解定理結論，不做過多闡述）。

定理1.（二項分布的泊松近似）若隨機變量X服從二項分布B（n，pn），滿足，則當n很大，p很小時，有Cknpk（1?p）n?k≈[4]。

定理2.（二項分布的正態近似）設隨機變量Y服從參數為n和p（0

（4）知識傳授與價值引領同頻共振

隨機現象在生活當中隨處可見，某種未知的結果將來可能發生也可能不發生，正如“天有不測風云，人有旦夕禍福”，說不好將來會如何。因此對生活和學習中的各種不如意要清醒認知，好好珍惜當下，做好當下的自己。但行好事，莫問前程。

推論2的結論，也是概率論中“大數定理”所展現的偶然中蘊含必然的原理。就是說，小概率事件雖不易發生，但重復次數多了，就會形成大概率事件。因此，在工作和生活中，每個人都應用辯證的眼光看待小概率事件。從積極的人生角度看，某件事情即使只有1%的成功希望，也要堅持做下去，只要有恒心，鐵杵就能磨成針，生活中的不如意終會過去，美好總會不期而至。從法律風險的角度來看，若一時未能抵住某種違法的誘惑，被發現的概率即使很低，但若不加以規范自身的行為，久而久之，終會有被發現的那天，所謂法網恢恢疏而不漏。因此，人生在世，要謹守道德和法律底線，勿以善小而不為，勿以惡小而為之。

四、結束語

課程思政是大學教育回歸育人本質的關鍵途徑，教師在肩負傳道、授業、解惑的重要使命之前，自身應明道、信道，方可傳道。針對“概率論與數理統計”課程教學，教師除自身要具備扎實的課程理論功底，不斷擴展、豐富自身知識面，還要不斷提高自身思想水平，對時事政治的認識要深刻，并能夠理性分析，以自身的好思想、好道德、好作風為學生樹立榜樣。在關注知識傳授和能力培養的同時，將辯證唯物主義、科學精神、家國情懷及社會主義核心價值觀等內容，潤物細無聲地融入課程教學，使知識傳授與價值引領同頻共振，最終實現“概率論與數理統計”課程“立德樹人”的核心功能，這也是筆者一直堅守并一以貫之的教學初心。

參考文獻：

[1] 習近平.把思想政治工作貫穿教育教學全過程[EB/OL].（2016-12-08）[2020-05-13]. http：//www.xinhuanet.com/politics/2016-12/08/c_1120082577.htm.

[2]高德毅.宗愛東.從思政課程到課程思政：從戰略高度構建高效思想政治教育課程體系[J].中國高等教育，2017（1）：43-46.

[3] 劉淑環.課程思政理念下全概公式和貝葉斯公式教學研究[J].中國政法大學教育文選，2019（26）：71-79.

[4] 劉淑環.文科高等數學[M].北京：中國政法大學出版社.2016：159，174.

[責任編輯：周曉燕]