具有非線性發生率和Markov切換的隨機SIRS傳染病模型*

何雪晴，韋煜明

（廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541000）

1 引言及預備知識

文獻[1]和[2]研究出的傳染病倉室模型和閾值理論，是傳染病動力學發展的良好開端。于是，許多研究者們紛紛建立了大量的流行病模型，如SIS、SIRS、SIER和SIQR等。[3-6]因為發病率函數對環境波動具有一定的影響，所以為了合理描述疾病的流行動態，文獻[5]中就提出了最為典型的具有飽和發生率的SIRS傳染病模型

然而它沒有考慮外界環境的隨機效應，因此如果設疾病的接觸率β能在不同環境狀態下隨機切換，那么模型（1）就可以建立具有Markov切換的SIRS傳染病模型，類似于文獻[6]。此外，發現由感染者或易感者的相互作用，疾病發生率的非線性形式更符合實際，而在許多傳染病模型中，部分病毒存活的時間短，所以在短時間內將疾病的接觸率β隨機擾動將更具有現實意義。因此，本文將研究具有感染者和易感者相互作用的非線性發生率的傳染病模型，它的接觸率β不僅可以在不同環境狀態之間隨機切換，而且還可以在短時間內進行隨機擾動。

下面假設在連續時間Markov鏈r(t),t＞0的任意相鄰兩次跳躍之間，接觸率β也會受到短時間內的Gauss白噪聲擾動，如果將系統外部環境條件分為E種不同狀態，記為Μ={1,2,…,E}，并且假設不同環境狀態之間的切換與系統的狀態相互獨立，每個環境狀態的停留時間服從指數分布，則在每一個環境狀態e∈Μ下，令β=βe+σeξ(t)，ξ(t)表示均值為0、方差為1的Gauss白噪聲，正常數σe是白噪聲在環境狀態e下的波動強度，根據文獻[7]可知ξ(t)dt=dB(t)，B(t)是一維標準的Brown運動。由此，我們建立了一個具有非線性發生率和Markov切換的隨機SIRS傳染病模型

其中，S(t),I(t),R(t)分別代表t時刻的易感者人數、染病者人數和康復者人數。Λ是單位時間內的人口輸入常數；μ是自然死亡率；λ是恢復者的免疫喪失率；α是因病死亡率；δ是染病者的恢復率。對于函數g(I(t))，我們做如下假設

(2)g(I(t))在R+上滿足Lipschitz條件，并且對任意的I(t)＞0，都有0＜g(I(t))≤g"(0)I(t)。

2 全局正解的存在唯一性及有界性

定理1對任意給定的初始值(Z0,r(0))∈R+3×Μ，模型（2）在t≥0時，存在唯一的全局解Z(t)=(S(t),I(t),R(t))∈R+3，a.s.。

證明：由模型（2）的系數滿足局部Lipschitz條件知，對任意給定的初始值(Z0,r(0))∈R+3×Μ，當t∈[0,τe)時，模型（2）存在唯一的局部解(Z(t),r(t))，其中τe表示爆炸時間。要證隨機模型（2）存在唯一的全局解，只需證τe=∞，a.s.。

3 疾病的滅絕性

在討論疾病的滅絕性之前，我們先給出一個引理，以便于對疾病滅絕所需要的充分條件進行證明。

引理3設Z(t)=(S(t),I(t),R(t),r(t))是模型（2）的解，初值為(S(0),I(0),R(0),r(0))∈Γ，其中Γ={(S(t),I(t),R(t),r(t))∈R+3×Μ:S(t)+I(t)+R(t)≤1}是一個正不變集，則

對（7）式兩端從0到t積分并同時除以t，有

4 疾病的持久性

5 數值模擬

根據以上討論，下面將利用文獻[11]中的方法對模型（2）進行數值模擬。

設連續時間Markov鏈{r(t),t≥0}只有兩個環境狀態Μ={1,2}，如果固定環境狀態e∈Μ，則模型（2）的

圖1 疾病在狀態1的情況下幾乎必然滅絕

圖2 疾病在狀態2的情況下保持平均持久性

若取π=(π1,π2)=(0.5,0.5)，則R*≈1.3＞1，S(t),I(t),R(t)在狀態1和狀態2之間隨時間t的變化如圖3所示，疾病隨機持久；若取π=(π1,π2)=(0.2,0.8)，則R*≈0.9＜1，S(t),I(t),R(t)在狀態1和狀態2之間隨時間t的變化如圖4所示，疾病隨機滅絕。

圖3 疾病在狀態1和狀態2之間隨機持久

圖4 疾病在狀態2和狀態2之間隨機滅絕