Cayley變換和Cayley參數化*

劉 鋒，陳 浩，李國平

（湖南工學院，湖南 衡陽 421002）

1 Cayley(凱萊）變換

現在考慮這樣一個映射：R=(E-S)-1(E+S)

其中S是反對稱矩陣，此映射稱為Cayley（一階）變換。對于反對稱矩陣S，我們來討論其特征值，設x是屬于其特征值λ的特征向量，則Sx=λx

在上式兩邊左乘，得

2 旋轉矩陣的Cayley參數化

當n=3時，即為so(3)→SO(3)，也就是說由反對稱矩陣可以通過Cayley變換生成一個旋轉矩陣R,即旋轉矩陣的Cayley參數化，對于R∈SO(3)，其特征多項式形式為

3 其他形式的凱萊變換

Cayley變換除了前邊所給的形式之外，還有其他的形式：

上邊這三種形式可由E-S與E+S可交換，從而(E-S)-1和E+S、E-S和(E+S)-1也可交換證明它們也可生成行列式為1的正交矩陣。

4 Cayley逆變換

利用上式Cayley變換可寫成：

5 旋轉的指數表示和Cayley參數化

剛體繞軸ω→旋轉θ角的旋轉方程的指數表示為：

6 Cayley變換和旋轉矩陣Rodriguez向量參數化

為了介紹Rodriguez向量，我們先給出旋轉矩陣的Euler參數化。根據歐拉旋轉定理，我們引入Euler參數e0,e1,e2,e3，其中e0是數量，e1,e2,e3是向量的三個分量，且

7 結語

從前面的討論，我們可以看到Cayley變換將一個反對稱矩陣變換為正交矩陣，從而實現了旋轉矩陣的三維參數化。Cayley參數化雖然非奇異，但是它不是全局的。對于有特征值為-1（相應跡為-1）的旋轉矩陣，用Cayley參數化是不能表示的。繞任意軸旋轉180°對應的旋轉矩陣的跡等于-1，Cayley參數化就不能表示。

Cayley變換是李群在其單位元附近線性化的一個很重要的工具，而且它是有理的，此變換不涉及像三角函數、指數函數這樣的超越函數，這在數值計算時是很重要的，因為不需要耗費大量的計算時間。Cayley變換是可逆的，當已知旋轉矩陣時，可以利用逆變換求出相應參數。旋轉矩陣的指數表示法和Cayley參數化在形式上也是統一的。Rodriguez參數化也可以由Cayley變換推出，因此不同的姿態表示方法可以通過Cayley變換實現統一。