基于高斯擬合的光纖法珀相關解調算法研究

左方俊，賈平崗，韓 超，馮 飛，熊繼軍

(中北大學 電子測試技術重點實驗室，山西 太原 030051)

0 引 言

光纖法珀傳感器的主要原理是將被測物理量轉化為光纖法珀傳感器的腔長，通過腔長的變化反映出相應物理量的變化，由于光纖法珀傳感器具有良好的抗腐蝕和抗干擾特性，目前已被廣泛應用于橋梁健康監測[1]、 核電健康監測[2]、 發動機脈動壓力檢測等領域. 光纖法珀傳感器信號解調的方法主要有強度解調[3]和相位解調[4]，強度解調的解調速度快，但是解調范圍有限，而相位解調法的解調精度高、 解調范圍大，目前，常見的相位解調法包括峰值追蹤法[5]、 傅里葉變換法[6]以及相關運算解調法[7], 在相關運算解調法中非掃描式互相關解調系統因為使用硬件進行互相關運算，擁有可動部件少、 成本低、 準確性高等優點而受到了廣泛的研究.

非掃描式相關光纖法珀解調的解算方法主要包括： 基于干涉圖樣相位的解調法和基于干涉圖樣位置的解調法等. 2015年，李鈞壽等人[8]利用小波提取干涉圖樣的包絡，采用包絡最大值位置解調光纖法珀傳感器的腔長，腔長解調的誤差僅為5 nm； 2020年，Wang等人[9]利用質心法解調峰值位置，再利用7步相移法解調出干涉圖樣的相位信息，從而解調出峰位的準確位置，配合相應的傳感器，滿量程的測量誤差低于0.019%. 目前的算法無法同時滿足解調精度和解調速度的要求，因此提高算法的解調精度和速度對光纖法珀傳感器的應用具有重要意義. 本文根據非掃描式光纖法珀解調的原理，分析了非掃描式光纖法珀解調系統的信號特點，研究了一種基于高斯擬合的解調算法； 通過軟件仿真分析了該算法的可行性和可靠性，并在FPGA+DSP的樣機系統上對該算法進行了實驗驗證.

1 非掃描式相關解調原理

非掃描式光纖法珀傳感器的解調系統由寬帶光源、 1×2耦合器以及解調儀組成，該解調系統使用寬帶光源供光，寬帶光源發出的光耦合進62.5/125 μm 的光纖后，沿著1×2耦合器傳輸至光纖法珀傳感器，在法珀腔的內部發生多光束干涉，法珀傳感器的反射光攜帶腔長信息返回至耦合器，經過耦合器的分光，其中一路反射光從耦合器的另一端出射，最后經過準直系統的變換后在光楔表面發生干涉，干涉的透射光由光電耦合器件(CCD)探測，實現光電轉換，轉換后的模擬電信號經過硬件電路的采集處理后就能解算出傳感器的腔長信息，系統的原理如圖1 所示.

圖1 解調系統示意圖Fig.1 Diagram of demodulation system

根據非掃描式相關解調的原理[10]，CCD探測到的光強在空間上的分布滿足

式中：I(λ)為光源隨波長的分布函數；R1為傳感器兩個端面的反射率；R2為光楔兩個面的反射率；L為法珀傳感器的腔長；l為光楔兩個面之間的厚度；λmax和λmin是光源的波長范圍；I(λ)為光源的光譜分布.

根據相關解調的理論，當L=l時會出現干涉峰的最大值，而光楔兩個面之間的厚度l的大小與CCD的像元位置是一一對應的，即在L=l處CCD探測到的光強達到最大，通過解算CCD像元探測到的光強最大位置就能解調出腔長.

由于CCD的像元是離散的，每個像元之間有一定的間隔，而式(1)所示的光強分布是連續的，光強最大值出現的位置有可能在兩個像元的中間，這就降低了解調的精度，此時需要算法擬合兩個像元間隔處的光強分布，從而提高解調的精度. 為此本文對式(1)進行理論仿真，取法珀傳感器的腔長L=15 μm，即可得到如圖2 的光強隨光楔厚度l的分布，通過觀測發現，干涉信號的每個峰都呈現一種類似于高斯分布的狀態，可以采用高斯擬合的方法得到連續的光強分布，對圖2 所示的信號進行測試，取光強最大位置附近的N個數據進行高斯擬合，得到如圖3 的擬合曲線，經過數學理論計算，曲線的擬合度可以達到0.999 92，擬合曲線與非掃描式光纖解調儀的干涉圖譜有比較高的擬合度，因此，光強最大位置附近的信號可以用高斯擬合來確定光強出現最大位置處的詳細坐標.

圖2 干涉信號仿真Fig.2 Simulation of interference signals

圖3 峰值附近的信號Fig.3 Signals near the peak

2 高斯擬合算法

由于非掃描式互相關解調系統的干涉信號在峰值處與高斯函數具有非常高的擬合度，因此本文研究了一種基于高斯擬合的非掃描式互相關解調系統的算法，該算法以非掃描式光纖法珀解調原理為基礎，先通過最大值尋峰算法尋找到相關信號的位置，再采用高斯擬合求出精確的位置，提高解調精度.

2.1 高斯擬合原理

高斯函數[11]的一維形式為

y=Aexp(-(x-u)2/2σ2.

(2)

對式(2)兩端同時取對數，得到化簡形式

(3)

令

(4)

將所有試驗的數據帶入式(3)，即可得到如式(5) 所示的矩陣

(5)

簡記為

Z=XB.

(6)

根據最小二乘原理得到

B=(XTX)-1XTZ.

(7)

根據式(4)即可得到高斯函數峰值位置以及峰值.

2.2 算法仿真

算法采用最大值尋峰算法與高斯擬合算法相結合的方式，實現光纖法珀傳感器的腔長解調，具體實現流程如下：

1) 利用最大值尋峰算法找到CCD采集到的最大信號的粗略像元位置Pn；

2) 提取出最大信號的像元左右各12個點的信號強度In-12，In-11,…In+11,In+12；

3) 將取出的信號強度In以及對應位置Pn進行高斯擬合，得到高斯擬合函數的峰值和峰值位置(Im,Pm);

4) 對得到的Im進行標定，即可得到傳感器腔長L.

為了確定算法的可行性與穩定性，采用軟件對CCD的采樣過程進行模擬，并用高斯擬合算法和最大值尋峰算法對數據進行解調. CCD探測到的光強分布服從式(1)，仿真過程中取傳感器兩個端面的反射率R1=0.04，光楔兩個面的反射率R2=0.3； 傳感器腔長為16 520 nm，得到10 240個點理想的光強分布，為了模擬CCD的采樣過程，將數據每隔5個點采樣1次，得到了CCD采集到的光強隨像元分布的圖樣.

分別使用最大值尋峰法、 高斯擬合法對圖4 所示的CCD采集信號進行解調仿真，為了模擬實際的信號質量，仿真過程中在信號中加入高斯白噪聲，使得信號信噪比為30 dB. 傳感器的初始腔長設定為16 520 nm，每次仿真腔長的增加量為1 nm，連續仿真1 000次，腔長總變化量1 μm，仿真結果如圖5 所示，從圖5 中可見，由于采集數據的離散化，最大值尋峰算法解調出來的腔長呈現一種階梯狀的變化，而高斯擬合后的解調結果呈現一種良好的線性變化. 這與仿真的設定相吻合，將仿真的1 000組解調結果與理論腔長之間作比較，得出仿真的理論誤差如圖6 所示，在1 000次的仿真過程中，使用高斯擬合算法的最大誤差為2.18 nm，誤差平均值為0.998 6 nm，計算誤差在±2 nm之間，具有良好的解調精度. 在僅僅使用最大值尋峰法的情況下，解調結果如圖7 所示，在1 000次的解調結果中解調誤差最大可達7.674 nm，整體誤差比較大，因此，高斯擬合算法對于最大值尋峰算法的解調精度有極大的提高.

圖4 CCD采集仿真

圖5 仿真1 000次的解調結果Fig.5 Simulate the demodulation results of 1 000 times

圖6 高斯擬合解調誤差

圖7 最大值尋峰法解調誤差

為了驗證算法的穩定性，在信號信噪比為30 dB 的情況下，設定傳感器腔長為16 520 nm，在保持傳感器腔長不變的情況下，對信號進行1 000次的連續解調仿真，解調結果如圖8 所示，在這1 000次的解調仿真過程中，解調結果的最大誤差為1.93 nm，連續測量的1 000組數據的標準差為0.288 6 nm，解調結果的波動比較穩定.

圖8 腔長不變時的1 000次解調結果

為了仿真高斯擬合算法在不同信噪比情況下的解調結果的變化，使用軟件對高斯擬合算法進行仿真，傳感器腔長為16 520 nm，得到圖2 的理想信號，在仿真的信號中加入不同能量的高斯白噪聲，使得信號的信噪比分別為20 dB，30 dB，40 dB，50 dB 以及60 dB，再使用尋峰與高斯擬合結合的算法對信號進行解算，結算結果如表 1 所示.

表 1 不同信噪比情況下的解調結果Tab.1 The result of demodulation under different SNR

當信號的信噪比較高時，最大值尋峰算法的解調結果比較穩定，解調結果與理論值之間的差值為3.83 nm，加入高斯擬合的解調結果與理論值最大相差1.78 nm，加入高斯擬合算法的解調結果更為精確. 在信號信噪比較低時，最大值尋峰算法的解調結果與理論值相差5.4 nm，而加入高斯擬合算法后的解調誤差最大為1.14 nm，因此加入的高斯擬合算法具有良好的抗干擾特性，解調的信號不需要具有較高的信噪比，但是由于高斯解調算法的應用前提是尋峰算法解算出峰值最大值的大概位置，信噪比太低會影響尋峰算法的解調結果. 加入的高斯擬合算法具有抗干擾的能力，在一定程度上降低了濾波器設計的難度.

3 實驗測試

為了檢驗在實際工況情況下算法的性能，設計了一臺處理器為FPGA+DSP的解調樣機，樣機使用TCD1304對信號進行采集，該款CCD擁有2 048個像元，探測靈敏度可達160 V/(lx·s)，采集出來的信號先在FPGA中實現最大值尋峰算法，對原始譜進行初步解調求出峰位，然后將相關數據傳輸至DSP中，實現高斯擬合以及數據標定，解調樣機采集到的原始譜如圖9 所示，經過多次測量，該算法在DSP中運行的時間大概為 700 μs.

圖9 CCD采集的光強分布Fig.9 Light intensity distribution collected by CCD

為了測量系統的穩定性，系統對光纖法珀傳感器進行解調，連續測量800次，采集到的解調結果如圖10 所示，采集的數據平均值為 16 420.25 nm，解調結果誤差的均方值為1.643 nm.

圖10 系統穩定性測試Fig.10 The stability test of system

4 結 論

本文研究了一種基于高斯擬合的非掃描式相關解調算法，利用非掃描式相關解調原理中CCD采集光強的分布形式，對峰位進行高斯擬合，從而獲得高精度的峰位解調，仿真證明，該算法有比較好的抗干擾性能，可以抑制信號噪聲對解調的影響，解調的精度比較高，實際檢驗證明，該算法的解調精度可以達到1.643 nm，在FPGA+DSP的硬件電路上解調的運算時間只有700 μs，硬件的解調時間短，對于非掃描式相關解調的工程化具有較大的應用價值.